【2019最新】高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第4节函数y=Asinωx φ的图象及应用课时训练理

【2019最新】高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第4节函数y=Asinωx+φ的图象及应用课时训练理
【选题明细表】
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2016广州质检)为了得到函数y=2sin(2x-)的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象( A )
(A)向右平移个单位长度(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度(D)向左平移个单位长度
解析:y=2sin(2x-)=2sin 2(x-).
可由函数y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到.
2.(2016太原质检)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )ϕϕ
(A)关于直线x=对称
(B)关于直线x=对称
(C)关于点(,0)对称
(D)关于点(,0)对称
解析:因为f(x)的最小正周期为π,所以=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)=sin[2(x-)+]=sin(2x-+)的图象,又g(x)的图象关于原点对称,所以-+=kπ,k∈Z,所以=+kπ,k∈
Z,ϕϕϕϕ
又||<,所以|+kπ|<,所以k=-1,=-,所以f(x)=sin(2x-),当x=
时,2x-=-,所以A,C错误;当x=时,2x-=,所以B正确,D错误.ϕϕ
3.(2015德州月考)已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象可能是( B )
解析:函数图象均沿y轴向上平移1个单位,三角函数的周期为T=,观察选项,振幅大于1的有B,D,振幅小于1的有A,C.当振幅大于1时,因为|a|>1,所以T<2π,D不符合要求;对于B,振幅大于1,周期小于2π,符合要求;对于A,应该0<a<1,T>2π,但此图周期恰为2π,不可能;对于C,-1<a<0,x=π时,应有y>1,图象不满足此要求.故选B.
4.(2016郑州检测)如图,函数f(x)=Asin(ωx+) (其中A>0,ω>0,||≤)的部分图象与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(1,0),M(2,-2)为线段QR的中点,则A的值为( C ) ϕϕ
(A)2 (B) (C) (D)4
解析:依题意得,点Q的横坐标是4,R的纵坐标是-4,所以
T==2|PQ|=6,Asinϕ
=-4,f()=A,所以ω=,Asin(×+)=A,所以sin(+φ)=1,又||≤,所以≤+
≤,所以+=,=-,所以Asin(-)=-4,A=,故选C.ϕϕϕϕϕ
5.(2015河南六市第三次联考)为了得到函数y=sin(x+)的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是( A )
(A) (B) (C)π (D)2π
解析:由y=sin x左移+2k1π,k1∈N个单位,可以得到y=sin(x+)的图象,
所以m=+2k1π,k1∈N.
同理可以向右平移n=π+2k2π,k2∈N个单位.
即|m-n|=|2(k1-k2)π-|.
所以当k1-k2=1时,|m-n|的最小值为.
6.(2015宁夏石嘴山高三联考)一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是( B )
(A)h(t)=-8sint+10 (B)h(t)=-8cost+10
(C)h(t)=-8sint+8 (D)h(t)=-8cost+8
解析:设h(t)=Acos ωt+B,
由题=12,
所以ω=.
又因为最大、最小值分别为18,2,
所以⇒
所以h(t)=-8cost+10.
7.将函数y=sin(2x+)(0≤<π)的图象向左平移个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则的值是. ϕϕϕ
解析:函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位后,ϕ
得y=sin(2x++),则+=kπ+,k∈Z.ϕϕ
又0≤<π,ϕ
故=.ϕ
答案:
8.已知函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||< )在一个周期内的图象如图
所示,M,N分别是最大、最小值点,且·=0,则ωA= . ϕϕ
解析:由图象知T=4(-)=π,
所以ω==2.
又M(,A),N(,-A),
由已知·=0,
得(,A)·(,-A)=0,
解得A=π,
所以ωA=π.
答案:π
9.(2016龙岩调研)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos[(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,
12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为℃.
解析:因为当x=6时,y=a+A=28;
当x=12时,y=a-A=18,
所以a=23,A=5,
所以y=f(x)=23+5cos[(x-6)],
所以当x=10时,
f(10)=23+5cos(×4)=23-5×=20.5.
答案:20.5
10.(2016潍坊质检)已知函数f(x)=2sin(2x+).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象,并说明y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象怎样变换得到的.
解:(1)f(x)=2sin(2x+),
则f(x)的最小正周期T==π.
当2x+=2kπ+(k∈Z),
即当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=2.
(2)列表如下:
根据列表,描点、连线,作图如下.
y=f(x)的图象是由y=sin 2x的图象经过以下变换得到的:先将y=sin 2x的图象向左平移个单位,得到y=sin(2x+)的图象,再将y=sin(2x+)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到y=2sin(2x+)的图象.
11.(2016临沂质检)已知函数f(x)=2cos2ωx-1+2cos ωxsin ωx(0<ω<1),直线x=是f(x)图象的一条对称轴.
(1)试求ω的值;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g(2α+)=,α∈(0, ),求sin α的值.
解:(1)f(x)=2cos2ωx-1+2cos ωxsin ωx
=cos 2ωx+sin 2ωx
=2sin(2ωx+).
由于直线x=是函数f(x)=2sin(2ωx+)图象的一条对称轴,所以sin(ω+)=±1.
所以ω+=kπ+(k∈Z).
所以ω=k+(k∈Z).
又0<ω<1,
所以-<k<.
又因为k∈Z,从而k=0,所以ω=.
(2)由(1)知f(x)=2sin(x+),
由题意可得
g(x)=2sin[(x+)+],
即g(x)=2cos x.
因为g(2α+)=2cos(α+)=,
所以cos(α+)=.
又α∈(0, ),
所以<α+<,
所以sin(α+)=,
所以sin α=sin[(α+)-]
=sin(α+)cos -cos(α+)sin
=×-×
=.
能力提升练(时间:15分钟)
12.(2016台州质检)将函数y=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( A )
(A)(0,0) (B) (,0)
(C) (,0) (D)(π,0)
解析:函数y=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得y=cos(x+),再向左平移个单位可得y=cos[(x+))+]=cos(x+)
=-sinx,
一个对称中心为(0,0).
13.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位,向右平移n(n>0)个单位,所得到的两个图象都与函数y=sin(2x+)的图象重合,则m+n的最小值为( C )
(A) (B) (C)π (D)
解析:利用图象变换的结论,函数y=sin 2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位,得函数y=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位,得函数y=sin
[2(x-n)]=sin(2x-2n)的图象,它们都与函数y=sin(2x+)的图象重合,
则最小的m,n应该为2m=,2π-2n=,从而m+n=π.
14.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的
距离.
解:依题意,有A=2,=3,又T=,
所以ω=,
所以y=2sinx,x∈[0,4],
所以当x=4时,y=2sin=3,
所以M(4,3),又P(8,0),
所以MP===5(km),
即M,P两点间的距离为5 km.
15.(2015锦州月考)如图是函数f(x)=Asin(ωx+) (A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最
低点,点F(0,1)是线段MD的中点,·=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解:(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点,可知A=2,
因为·=·=(T为f(x)的最小正周期),
所以T=,ω=3,
所以f(x)=2sin(3x+).ϕ 设D 点的坐标为(xD,2),
则由已知得点M 的坐标为(-xD,0), 所以xD-(-xD)=T=×,
则xD=,
则点M 的坐标为(-,0),
所以sin(-)=0.ϕ 因为0<<,ϕ 所以=,ϕ
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(3x+). (2)由2k π-≤3x+≤2k π+(k ∈Z), 得2k π-≤3x ≤2k π+(k ∈Z),
得-≤x ≤+(k ∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为
[-,+](k ∈Z).
精彩5分钟
1.已知函数f(x)=2sin(ωx+) (ω>0,且||<)的部分图象如图所示,则
函数f(x)的一个单调递增区间是( D ) ϕϕ
(A)[-,] (B)[-,-]
(C)[-,] (D)[-,]
解题关键:注意数形结合思想在本题中的应用,分析给出的数据与周期的关系以及的取值.
解析:由函数的图象可得T=π-π,
所以T=π,则ω=2.
又图象过点(π,2),
所以2sin(2×π+)=2,
所以=-+2kπ,k∈Z.ϕ
因为||<,所以取k=0,ϕ
即得f(x)=2sin(2x-),
其单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,取k=0,
即得选项D.
2.(2015淄博模拟)函数f(x)=sin(ωx+) (ω>0,||<)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象( D )ϕϕ
(A)关于点(,0)对称 (B)关于直线x=对称
(C)关于点(,0)对称 (D)关于直线x=对称
解题关键:解决本题的关键是平移之后得到函数为奇函数,可以求得,从而求得解析式.ϕ
解析:由函数的最小正周期是π可知ω==2,
所以有f(x)=sin(2x+),ϕ
向右平移个单位后有
f(x)=sin[2(x-)+]=sin(2x+-)是奇函数,ϕϕ
所以-=kπ(k∈Z).ϕ
因为||<,所以=-,ϕϕ
所以f(x)=sin(2x-),
关于点(,0)对称,关于直线x=对称.。