山东省2013届高三高考模拟卷(三)-数学(理).

山东省
2013届高三高考模拟卷（三）
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120
分钟 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义},|),{(*Q b P a b a Q P ∈∈=，则Q P *的子集个数为
A ．7
B ．12
C ．32
D ．64
2．已知20<<a ，复数z 的实部为a ，虚部为1，则||z 的取值范围是
A ．(1，5)
B ．(1，3)
C ．)5,1(
D ．)3,1( 3．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则
A ．命题p 不一定是假命题
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 与命题q 同真同假
4．已知数阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛3332
31
232221
131211a
a a
a
a a
a a a
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3
个数也依次成等差数列，若822=a ，则这9个数的和为
A ．16
B ．32
C ．36
D ．72
5．某几何体的三视图如右图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为
A ．
63π B ．33π C ．2
3π D ．π3 6．执行如右图所示的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 的值是
A ．8
B ．5
C ．3
D ．2 7．函数()cos(2)f x x x π=-的图象大致为
8．连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为72、
34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1．
其中真命题的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．在直角坐标系中，若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧--≤≤≥1)1(,2,0x k y x y y 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范
围是
A ．)1,(--∞
B ．),0(+∞
C ．),2()2,0(+∞
D ．),2()2,0()1,(+∞--∞
10．将“你能HOlD 住吗”8个汉字及英文字母填人5×4的方格内，其中“你”字填入左上角，“吗”字填入右下角，将其余6个汉字及英文字母依次填入方格，要求只能横读或竖读成一句原语，如图所示为一种填法，则共有不同的填法种数是
A.35
B.15
C.20
D.70 11．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F ，斜率为
3
4
的直线交抛物线于A ，B 两点，若)1(>=λλ，则λ的值为
A ．5
B ．4
C ．
34 D ．2
5 12．对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=4，2*3=6，且有一个非零实数m ，使得对任意实
数x ，都有x m x =*，则=m
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13．若非零向量,满足||||=，0)2(=⋅+，则a 与b 的夹角为______． 14．已知2
6
()k
x x
+（k 是正整数）的展开式中，常数项小于120，则=k _______． 15．若关于x 的不等式3|||1|>++-m x x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______．
16．过双曲线的一个焦点的直线垂直于一条渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的取值范围是_________．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把
答案填写在答题纸的相应位置． 17．(本小题满分12分)
已知函数1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f ，R x ∈． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)求函数)(x f 在区间]4
3,8[π
π上的最小值与最大值．
18．(本小题满分12分)
某学校的一间功能室统一使用某种节能灯管，已知这种灯管的使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布),(2
σμN ，且使用寿命不少于12个月的概率为0．8，使用寿命不少于24个月的概率为0．2．
(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；
(2)假设一间功能室一次性换上2支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，设需要更换的灯管数为η，求η的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 靠近B ，C 的三等分点，点G 为BC 边的中点，线段AG 交线段ED 于点F ．将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB ，AC ，AG ，形成如图乙所示的几何体． (1)求证：BC ⊥平面AFG ；
(2)求二面角D AE B --的余弦值．
20．(本小题满分12分)
已知常数0>p 且1=/p ，数列}{n a 的前n 项和)1(1n n a p
p
S --=
，数列}{n b 满足121log -+=-n p n n a b b 且11=b ．
(1)求证：数列}{n a 是等比数列；
(2)若对于在区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k ，当k n ≥时，
)23)(1(--≥n b n λ恒成立，求k 的最小值．
21．（本小题满分13分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的长轴长为4，离心率22
=e
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：3=x 分别交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值．
22．（本小题满分13分）
已知函数⎩
⎨⎧≥<+++-=)1(ln )
1()(23x x a x c bx x x x f ，的图象过点)2,1(-，且在点))1(,1(--f 处
的切线与直线-x 015=+y 垂直． (1)求实数c b ,的值；
(2)求)(x f 在e e ](,1[-为自然对数的底数）上的最大值；
(3)对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上？
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 【解析】集合Q P *中的元素为(3，6)，(3，7)，(4，6)，(4，7)，(5，6)，(5，7)共6个，故Q P *的子集个数为6426
=．
2．C 【解析】由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且20<<a ，故由21||a z +=得
5||1<<z ．
3．B 【解析】由题可知“非p ”是真命题，所以p 是假命题，又因为“p 或q ”是真命题，所以q 是真命题．故选B ． 4．D 【解析】依题意得
+++++++31232221131211a a a a a a a 3332a a +72933322322212==++=a a a a ．
5．B 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形（如图）．圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高
=
h 31222=-．易知该几何体的体积就是整个圆锥体的体积，即
3
331313122πππ=⨯⨯=h r ． 6．C 【解析】由题知，第一次进入循环，满足1<4，循环后1=p ，1=s ，1=t ，2=k ；第二次进入循环，满足2<4，循环后2=p ，=s 1，2=t ，3=k ；第三次进入循环，满足3<4，循环后3=p ，2=s ，3=t ，4=k ，因为4=4，不满足题意，所以循环结束．输出
p 的值为3，选C ．
7．A 【解析】因为()cos(2)cos f x x x x x π=-=，
)(cos )cos()()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以函数x x x f cos )(=为奇函数，排除B ，
C ；又因为当2
0π
<
<x 时，=)(x f 0cos >x x ，故选择A ．
8．C 【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d d 、'，利用勾股定理可求出3='d ，2=d ，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又5='+d d ，1=-'d d ，所以③④正确．故选C ．
9．A 【解析】 由题意可知，直线1)1(--=x k y 过定点)1,1(-．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率)1,(--∞∈k ；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，
1)1(--≤x k y 所表示的区域是直线1)1(--=x k y 及其右下
方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是)1,(--∞．
10．A 【解析】要把6个汉字及英文字母依次填入6个方格中，按照规则分为两类：一类是4个字横向2个字纵向，有2
6C 种填法；另一类是3个字横向3个字纵向，有3
6C 种填法：所以共有3520153
62
6=+=+C C 种填法．
11．B 【解析】 根据题意设),(11y x A ，),(22y x B ．由FB AF λ=得
),2
(),2(
2211y p
x y x p -=--λ，故21y y λ=-，即=λ21y y -．设直线AB 的方程为)2
(34p x y -=，联立直线与抛物线方程，消元得02322=--p py y ．故p y y 23
21=+，
=21y y 2
p -，4
92)(122121221-=++=+y y y y y y y y ，
即=+--21
λλ49-．又1>λ，故4=λ． 12．D 【解析】由定义可知，⎩⎨⎧=++==++=66323*24222*1c b a c b a ，解得⎩⎨⎧+=-=2
26c b c
a ，又对任意实数x ，
都有x m x =*，即++-=+++-=c x c cm cxm m c cx m x 2()6()22(6*x m =)2恒成立，
则⎩⎨⎧=+=-0)22(16m c c cm ，解得⎩⎨⎧=-=51m c 或⎪⎩⎪⎨⎧
=-=0
61m c （舍）
． 第Ⅱ卷
13．︒120【解析】由题意得⋅=+⋅=⋅+22
||22)2(a b b a b b a 0,cos 2
=+><a b a
，所以
2
1
,cos ->=<，所以,的夹角为︒120．
14．1【解析】二项展开式的通项为r r r
r x
k
x C T )()(6261-+=r
r r x
k C 3126-=，令0312=-r ，得
4=r ，故常数项为446k C ，由常数项小于120，即<446k C 120，得84<k ．又k 是正整数，
故1=k ．
15．),2()4,(+∞--∞ 【解析】由题意知，不等式+-|1|x 3||>+m x 恒成立，即函数
|||1|)(m x x x f ++-=的最小值大于3，根据不等式的性质可得--≥++-)1(||||1|x m x x |1||)(+=+m m x ，故只要3|1|>+m 即可，所以31>+m 或
31-<+m ，即得m 的取值范围是),2()4,(+∞--∞ ．
16． ),2(+∞【解析】不妨设双曲线的方程为)0,0(122
22>>=-b a b
y a x ，焦点,(c F 0)，
渐近线x a
b y =
，则过点F 的直线方程为)(c x b a
y --=，与双曲线联立，消去y 得
02)(42244244=--+-b a c a a x a b α，由⎪⎩⎪⎨⎧<-->∆020
4
44a
b c a 得4
4a b >，即a b >，故2>e ．
三、17．【解析】(1)1)sin (cos cos 2)(+-=x x x x f 1sin cos 2cos 22
+-=x x x
)4
32sin(2222sin 2cos π
+
+=+-=x x x ．（4分） 因此，函数)(x f 的最小正周期为π．（6分） (2)由题易知)432sin(22)(π
++=x x f 在区间]8
3,8[ππ上是减函数， 在区间]43,83(
π
π上是增函数，
（8分） 又2)8(=πf ，22)83(-=πf ，3)4
3(=π
f ，（10分）
所以，函数)(x f 在区间]4
3,8[π
π上的最大值为3，最小值为22-．
（12分） 18．【解析】(1)因为),(~2
σμξN ，8.0)12(=≥ξP ，2.0)24(=≥ξP ，
所以2.0)12(=<ξP ，显然)24()12(≥=<ξξP P ．（3分）
由正态分布密度曲线的对称性可知，182
24
12=+=
μ， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月．（6分）
(2)这种灯管的使用寿命少于12个月的概率为2.08.01=-． 由题意知，η的可能取值为0，1，2，（8分） 则64.08.02.0)0(2
2=⨯==C P η，
⨯==1122.0)1(C P η32.08.01=，
04.08.02.0)2(0222=⨯==C P η．（10分）
所以η的分布列为
所以4.004.0232.0164.00=⨯+⨯+⨯=ηE ．（12分）
19．【解析】(1)在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，
易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，DE//BC ．（2分）
在图乙中，因为DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，AF FG=F ，所以DE ⊥平面AFG ． 又DE//BC ，所以BC ⊥平面AFG ．（4分） (2)因为平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面BCDE=DE ， DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，
所以FA ，FD ，FG 两两垂直．
以点F 为坐标原点，分别以FG ，FD ，FA 所在的直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz F -．则)32,0,0(A ，)0,3,3(-B ，)0,2,0(-E ，
所以)32,3,3(--=，,1,3(-=0)．（6分） 设平面ABE 的一个法向量为),,(z y x =．
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0AB n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--0303233y x z y x ，
取1=x ，则3=
y ，1-=z ，则)1,3,1(-=．（8分）
显然)0,0,1(=为平面ADE 的一个法向量， 所以5
5
|
|||,cos =
⋅>=
<n m ．（10分） 又由图知二面角D AE B --为钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为5
5-．（12分）
20．【解析】(1)当2≥n 时，-----=
-=-1(1)1(11p
p
a p p S S a n n n n )1-n a ，整理得1-=n n pa a ．（3分）
由)1(1111a p p S a --=
=，得=1a 0>p ，则恒有0>=n n p a ，从而p a a
n n =-1
．所以数列}{n a 为等比数列．（6分）
(2)由(1)知n
n p a =，则12log 121-==--+n a b b n P n n ，
所以=+-++-+-=---112211)()()(b b b b b b b b n n n n n 222
+-n n ，（8分）
所以)23)(1(222--≥+-n n n λ，则+-+-n n n 5)23(2
λ04≥在]1,0[∈λ时恒成立．
记45)23()(2
+-+-=n n n f λλ，由题意知，⎩
⎨
⎧≥≥0)1(0
)0(f f ，解得4≥n 或1≤n ．（11
分）
又2≥n ，所以4≥n ．综上可知，k 的最小值为4．（12分） 21．【解析】(1)由题意得42=a ，故2=a ，（1分）
因为2
2==
a c e ，所以2=c ，2)2(22
22=-=b ，（3分） 所以所求的椭圆方程为12
42
2=+y x ．（4分） (2)依题意，直线AS 的斜率k 存在，且0>k ，
故可设直线AS 的方程为)2(+=x k y ，从而)5,3(k M ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124
)
2(22y x x k y 得+1(0488)22222=-++k x k x k ．（6分）
设),(11y x S ，则2212148)2(k k x +-=⨯-，得2212142k k x +-=，从而21
214k k
y +=， 即)214,2142(2
22k
k
k k S ++-，（8分）
又由B(2，0)可得直线SB 的方程为
221422
0214022
2
-+--=-+-k
k x k k
y ， 化简得)2(21
--
=x k
y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=--=3)2(21x x k y 得⎪⎩
⎪⎨⎧-==k y x 213，所以)21,3(k N -，
故|21
5|||k
k MN +
=，（11分） 又因为0>k ，所以102152215||=∙≥+
=k
k k k MN ， 当且仅当k
k 21
5=
，即1010=k 时等号成立，
所以10
10
=
k 时，线段MN 的长度取最小值10．（13分） 22．【解析】(1)当1<x 时，b x x x f ++-='23)(2
，（2分）
由题意，得⎩⎨
⎧-=-'=-,5)1(,
2)1(f f 即⎩⎨⎧-=+--=+-,
523,22b c b 解得0==c b ．（4分）
(2)由(1)，知⎩⎨⎧≥<+-=),
1(ln ),
1()(23x x a x x x x f （5分）
①当11<≤-x 时，)23()(--='x x x f ，由0)(>'x f ，得3
2
0<
<x ；由0)(<'x f ，得01<≤-x 或132<<x ．所以)(x f 在)0,1[-和)1,3
2
(上单调递减，在)32,0(上单调递增．
因为2)1(=-f ，27
4
)32(=f ，0)0(=f ，所以)(x f 在)1,1[-上的最大值为2．
②当e x ≤≤1时，x a x f ln )(=，当0≤a 时，0)(≤x f ；当0>a 时，)(x f 在],1[e 上单调递增．（7分）
所以)(x f 在],1[e 上的最大值为a ．
所以当2≥a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为a ； 当2<a 时，)(x f 在],1[e -上的最大值为2．（8分）
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不妨设)0))((,(>t t f t P ，则由△POQ 斜边的中点在y 轴上知,(t Q -)23t t +，且
1≠t ．所以0))((232=++-t t t f t ．
（*） 是否存在两点P ，Q 满足题意等价于方程(*)是否有解．
若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入方程(*)，得++-+-3232)((t t t t 0)2
=t ， 即0124=+-t t ，而此方程无实数解；
当1>t 时，则t a t f ln )(=，代入方程(*)，得0)(ln 232=+∙+-t t t a t ，即t t a
ln )1(1+=。

（11分） 设)1(ln )1()(≥+=x x x x h ，则011ln )(>++='x
x x h 在),1[+∞上恒成立， 所以)(x h 在),1[+∞上单调递增，从而0)1()(=≥h x h ，即)(x h 的值域为),0[+∞． 因为1>t ，所以t t t h ln )1()(+=的值域为),0(+∞，
所以当0>a 时，方程t t a
ln )1(1+=有解，即方程(*)有解． 所以对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上．（13分）。