第七章工业机器人的轨迹规划
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图 智能机器人的规划层次
7
轨迹规划的目的是——将操作人员输入的 简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只 输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便 是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间 和速度等。这里所说的轨迹是指随时间变化的位置、 速度和加速度。
19
线性函数插值图
利用抛物线过渡的线性函 数插值图
20
7.3 直角坐标空间法
前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动 轨迹经过给定的路径点。但是在直角坐标空间，路径 点之间的轨迹形状往往是十分复杂的，它取决于机械 手的运动学机构特性。在有些情况下，对机械手末端 的轨迹形状也有一定要求，如要求它在两点之间走一 条直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这 时便需要在直角坐标空间内规划机械手的运动轨迹．
在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样 的机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采 用声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒 一杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自 然语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命 今后，如何来完成主人交给的任务。
4
首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务 分解成为“取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、 “把水倒人杯中”、“把水送给主人”等一系列子任务。这 一层次的规划称为任务规划(Task planning)，它完成总体任务 的分解。
5
上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的， 从高层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节 轨迹规划，最后才是底层的控制(见图)。在上述例子 中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有些机器人 来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部或关 节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单 。
14
显然，这些光滑函数必须满足以下条件：
q0 q0 q t f qf
（7-1）
同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
q0 0 qtf 0
（7-2）
那么可以选择如下的三次多项式：
qt a0 a1t a2t2 a3t3
（7-3）
作为所要求的光滑函数。式7-3中有4个待定系数，而 该式需满足式7-1和7-2的4个约束条件，因此可以唯一地解 出这些系数：
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。而且一般的工业机器人也不具 备力的反馈，所以，工业机器人通常只具有轨迹规划 的和底层的控制功能。
6
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
手部从A点移到B 点 关节从A点移到B点
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的 规定，这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律 ，这是关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
用户将要求实现的动作编成相应的应用程序，其 中有相应的语句用来描述轨迹规划，并通过相应的 控制作用来实现期望的运动。
23
13
下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法 1） 三次多项式函数插值
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到 目标位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求 出一组起始和终了的关节位置．现在的问题是求出一组通 过起点和终点的光滑函数。满足这个条件的光滑函数可以 有许多条，如下图所示：
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒 入杯中”这一子任务为例，可以进一步分解成为“把水壶提 到杯口上方”、“把水壶倾斜倒水入杯”、“把水壶竖直“ 、“把水壶放回原处”等一系列动作，这一层次的规划称为 动作规划(Motion P1anning)，它把实现每一个子任务的过程分 解为一系列具体的动作。
直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具 坐标相对于基坐标的位置和姿态．每一个点由6个量 组成，其中3个量描述位置，另外3个量描述姿态。
在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数 插值法和圆弧插值法。
21
7.4 轨迹的实时生成
前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划 出运动轨迹的所有参数。
例如，在用三次多项式函数插值时，便是产生出 多项式系数a0,a1,a2,a3从而得到整个轨迹的运动方 程：
7.2 关节空间法
关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点，通 过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关节 空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的终 点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终点 的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期望 的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之间 的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互相 独立的。
要求的任务 人 机
接 口
规
期望的 运动和力
控
控制作用 机 器
实际的 运动和力
人
划
制
本
体
图 机器人的工作原理示意图
9
上图中，要求的任务由操作人员输入给机器人， 为了使机器人操作方便、使用简单，必须允许操作人 员给出尽量简单的描述。
上图中，期望的运动和力是进行机器人控制所必 需的输入量，它们是机械手末端在每一个时刻的位姿 和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一时刻期 望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望 的加速度等。
解：
根据所给约束条件，直接代入式(7-4)，可得：
a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：
t 15 20t2 4.44t3
（7-5）
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
t 40t 13.33t2
（7-6）
t 40 26.66t
（7-7）
17
q t ai0 ai1t ai2t2 ai3t3
对上式求导，可以得到速度和加速度
q t ai1 2ai2t 3ai3t 2 q t 2ai2 6ai3t
22
7.5 路径的描述
前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出运 动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并以 合适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法便 是利用机器人语言。
根据式(7-5)～(7-7)可画出它们随时间的变化 曲线如下图所示。由图看出，速度曲线为一抛物 线，加速度则为一直线。
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
18
2）抛物线连接的线性函数插值 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法
。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条 直线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函 数插值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连 续，它也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然 是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛 物线与直线连接起来，在抛物线段内，使用恒定的 加速度来平滑地改变速度，从而使得整个运动轨迹 的位置和速度是连续的。
工业机器人系统组成
执行系统
工
业
驱动系统
机
器
人
控制系统
人工智能系统
手部
臂部
腕部
机身
行走机构 各种电、液、气装置
运动控制装置
位置检测装置
示教再现装置 触觉、听觉、嗅觉、视觉装置
语音识别装置
逻辑判断装置
学习装置
1
主要内容
7.1 机器人规划的基本概念 7.2 关节空间法 7.3 直角坐标空间法 7.4 轨迹的实时生成 7.5 路径的描述
15
a0 q0
a1 0
a2
3
t
2 f
q f q0
a3
2
t
3 f
q f q0
（7-4）
16
例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原
来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即 要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨 迹，并画出关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线 。
2
7.1 机器人规划的基本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是
——机器人根据自身的任务，求得完成这一任 务的解决方案的过程。这里所说的任务，具有
广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具 体任务，也可以是机器人的某个动作，比如手 部或关节的某个规定的运动等。
3
为说明机器人规划的概念，我们举下面的 例子：
8
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任 务变为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信 号，产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力， 从而完成期望的任务。这一过程表述如下图所示。这里，机器 人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控Байду номын сангаас级，以便对规 划和控制的结果做出适当的修正。
11
对于CP控制:
机械手末端的运动轨迹是根据任务的需要给定的 ，但是它也必须按照一定的采样间隔，通过逆运动 学计算，将其变换到关节空间，然后在关节空间中 寻找光滑函数来拟合这些离散点．最后，还有在机 器人的计算机内部如何表示轨迹，以及如何实时地 生成轨迹的问题。
12
轨迹规划问题又可以分为关节空间的轨迹规划和 直角空间的轨迹规划。
10
对于PTP控制:
通常只给出机械手末端的起点和终点，有时也给 出一些中间经过点，所有这些点统称为路径点。应 注意这里所说的“点” 不仅包括机械手末端的位置 ，而且包括方位，因此描述一个点通常需要6个量 。通常希望机械手末端的运动是光滑的，即它具有 连续的一阶导数，有时甚至要求具有连续的二阶导 数。不平滑的运动容易造成机构的磨损和破坏，甚 至可能激发机械手的振动。因此规划的任务便是要 根据给定的路径点规划出通过这些点的光滑的运动 轨迹。
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轨迹规划的目的是——将操作人员输入的 简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只 输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便 是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间 和速度等。这里所说的轨迹是指随时间变化的位置、 速度和加速度。
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线性函数插值图
利用抛物线过渡的线性函 数插值图
20
7.3 直角坐标空间法
前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动 轨迹经过给定的路径点。但是在直角坐标空间，路径 点之间的轨迹形状往往是十分复杂的，它取决于机械 手的运动学机构特性。在有些情况下，对机械手末端 的轨迹形状也有一定要求，如要求它在两点之间走一 条直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这 时便需要在直角坐标空间内规划机械手的运动轨迹．
在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样 的机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采 用声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒 一杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自 然语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命 今后，如何来完成主人交给的任务。
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首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务 分解成为“取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、 “把水倒人杯中”、“把水送给主人”等一系列子任务。这 一层次的规划称为任务规划(Task planning)，它完成总体任务 的分解。
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上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的， 从高层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节 轨迹规划，最后才是底层的控制(见图)。在上述例子 中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有些机器人 来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部或关 节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单 。
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显然，这些光滑函数必须满足以下条件：
q0 q0 q t f qf
（7-1）
同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
q0 0 qtf 0
（7-2）
那么可以选择如下的三次多项式：
qt a0 a1t a2t2 a3t3
（7-3）
作为所要求的光滑函数。式7-3中有4个待定系数，而 该式需满足式7-1和7-2的4个约束条件，因此可以唯一地解 出这些系数：
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。而且一般的工业机器人也不具 备力的反馈，所以，工业机器人通常只具有轨迹规划 的和底层的控制功能。
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给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
手部从A点移到B 点 关节从A点移到B点
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的 规定，这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律 ，这是关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
用户将要求实现的动作编成相应的应用程序，其 中有相应的语句用来描述轨迹规划，并通过相应的 控制作用来实现期望的运动。
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下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法 1） 三次多项式函数插值
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到 目标位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求 出一组起始和终了的关节位置．现在的问题是求出一组通 过起点和终点的光滑函数。满足这个条件的光滑函数可以 有许多条，如下图所示：
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒 入杯中”这一子任务为例，可以进一步分解成为“把水壶提 到杯口上方”、“把水壶倾斜倒水入杯”、“把水壶竖直“ 、“把水壶放回原处”等一系列动作，这一层次的规划称为 动作规划(Motion P1anning)，它把实现每一个子任务的过程分 解为一系列具体的动作。
直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具 坐标相对于基坐标的位置和姿态．每一个点由6个量 组成，其中3个量描述位置，另外3个量描述姿态。
在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数 插值法和圆弧插值法。
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7.4 轨迹的实时生成
前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划 出运动轨迹的所有参数。
例如，在用三次多项式函数插值时，便是产生出 多项式系数a0,a1,a2,a3从而得到整个轨迹的运动方 程：
7.2 关节空间法
关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点，通 过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关节 空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的终 点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终点 的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期望 的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之间 的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互相 独立的。
要求的任务 人 机
接 口
规
期望的 运动和力
控
控制作用 机 器
实际的 运动和力
人
划
制
本
体
图 机器人的工作原理示意图
9
上图中，要求的任务由操作人员输入给机器人， 为了使机器人操作方便、使用简单，必须允许操作人 员给出尽量简单的描述。
上图中，期望的运动和力是进行机器人控制所必 需的输入量，它们是机械手末端在每一个时刻的位姿 和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一时刻期 望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望 的加速度等。
解：
根据所给约束条件，直接代入式(7-4)，可得：
a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：
t 15 20t2 4.44t3
（7-5）
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
t 40t 13.33t2
（7-6）
t 40 26.66t
（7-7）
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q t ai0 ai1t ai2t2 ai3t3
对上式求导，可以得到速度和加速度
q t ai1 2ai2t 3ai3t 2 q t 2ai2 6ai3t
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7.5 路径的描述
前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出运 动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并以 合适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法便 是利用机器人语言。
根据式(7-5)～(7-7)可画出它们随时间的变化 曲线如下图所示。由图看出，速度曲线为一抛物 线，加速度则为一直线。
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
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2）抛物线连接的线性函数插值 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法
。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条 直线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函 数插值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连 续，它也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然 是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛 物线与直线连接起来，在抛物线段内，使用恒定的 加速度来平滑地改变速度，从而使得整个运动轨迹 的位置和速度是连续的。
工业机器人系统组成
执行系统
工
业
驱动系统
机
器
人
控制系统
人工智能系统
手部
臂部
腕部
机身
行走机构 各种电、液、气装置
运动控制装置
位置检测装置
示教再现装置 触觉、听觉、嗅觉、视觉装置
语音识别装置
逻辑判断装置
学习装置
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主要内容
7.1 机器人规划的基本概念 7.2 关节空间法 7.3 直角坐标空间法 7.4 轨迹的实时生成 7.5 路径的描述
15
a0 q0
a1 0
a2
3
t
2 f
q f q0
a3
2
t
3 f
q f q0
（7-4）
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例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原
来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即 要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨 迹，并画出关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线 。
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7.1 机器人规划的基本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是
——机器人根据自身的任务，求得完成这一任 务的解决方案的过程。这里所说的任务，具有
广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具 体任务，也可以是机器人的某个动作，比如手 部或关节的某个规定的运动等。
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为说明机器人规划的概念，我们举下面的 例子：
8
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任 务变为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信 号，产生相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力， 从而完成期望的任务。这一过程表述如下图所示。这里，机器 人实际运动的情况通常还要反馈给规划级和控Байду номын сангаас级，以便对规 划和控制的结果做出适当的修正。
11
对于CP控制:
机械手末端的运动轨迹是根据任务的需要给定的 ，但是它也必须按照一定的采样间隔，通过逆运动 学计算，将其变换到关节空间，然后在关节空间中 寻找光滑函数来拟合这些离散点．最后，还有在机 器人的计算机内部如何表示轨迹，以及如何实时地 生成轨迹的问题。
12
轨迹规划问题又可以分为关节空间的轨迹规划和 直角空间的轨迹规划。
10
对于PTP控制:
通常只给出机械手末端的起点和终点，有时也给 出一些中间经过点，所有这些点统称为路径点。应 注意这里所说的“点” 不仅包括机械手末端的位置 ，而且包括方位，因此描述一个点通常需要6个量 。通常希望机械手末端的运动是光滑的，即它具有 连续的一阶导数，有时甚至要求具有连续的二阶导 数。不平滑的运动容易造成机构的磨损和破坏，甚 至可能激发机械手的振动。因此规划的任务便是要 根据给定的路径点规划出通过这些点的光滑的运动 轨迹。