山东省聊城市东方中学2020年高三数学理月考试卷含解析

山东省聊城市东方中学2020年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
( )
参考答案：
D
略
2. 下列命题中，真命题的个数是（）
①已知直线：，：，则“”是“”的充要条件；
②“若，则”的逆否命题为真命题；
③命题“若，则”的否命题是“若，则，至少有一个不等于”；
④命题：，，则：，.
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
详解：①直线，即或，因此题中应是充分不必要条件，
①错误；
②若，则，所以，是真命题，因此其逆否命题也是真命题，②正确；
③正确；
④是：，④错误.
所以有两个命题正确，故选C.
3. （理）若向量=（1,1,x）, =（1,2,1）, =（1,1,1）,满足条件=—2，则=（）
A． B．2 C．
D．—2
参考答案：
B
4. 设α是一个平面，是两条不同的直线，以下命题不正确的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
参考答案：
D
5. （5分）已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）
A． B． C． 8 D． 24
参考答案：
C
【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】：不等式的解法及应用；平面向量及应用．
【分析】：利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，
∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．
∴+的最小值是8．
故选：C．
【点评】：本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题．
6. 设集合，则下列关系中正确的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B 解析：
7. 能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
8. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
试题分析：假，真，真，则为真.
考点：或,且，非真假命题的判断；
9. 已知直线与圆相交于两点，且则的值是（）
A．B．C． D．0
参考答案：
A
略
10. 若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，
可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），
在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，满足，|，，则|．
参考答案：
2
，故答案为2.
12. 偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= ．
参考答案：
3
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
即f（x+4）=f（x），
则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，
法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（1）=f（3）=3，
因为f（x）是偶函数，
所以f（﹣1）=f（1）=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．
13. 数列满足：，且,则数列的前项和
参考答案：
.
14. 过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围
是．
参考答案：
15. 当a时，关于x的不等式（e x﹣a）x﹣e x+2a＜0的解集中有且只有两个整数值，则实数a的取
值范围是．
参考答案：
（，）
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】关于x的不等式（e x﹣a）x﹣e x+2a＜0可化为（x﹣1）e x＜a（x﹣2）；
设f（x）=（x﹣1）e x，g（x）=a（x﹣2），其中a＜；
利用导数判断单调性、求出f（x）的最值，画出f（x）、g（x）的图象，
结合图象得出不等式的解集中有且只有两个整数时a的取值范围．
【解答】解：当a时，关于x的不等式（e x﹣a）x﹣e x+2a＜0可化为
e x（x﹣1）﹣a（x﹣2）＜0，
即（x﹣1）e x＜a（x﹣2）；
设f（x）=（x﹣1）e x，
g（x）=a（x﹣2），其中a＜；
∴f′（x）=e x+（x﹣1）e x=xe x，
令f′（x）=0，解得x=0；
∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴x=0时f（x）取得最小值为f（0）=﹣1；
g（x）=a（x﹣2）是过定点（2，0）的直线；
画出f（x）、g（x）的图象如图所示；
要使不等式的解集中有且只有两个整数值，
∵a＜，当x=0时y=﹣1，满足条件，0是整数解；
当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2e﹣1；
当x=﹣2时，f（x）=﹣3e﹣2，此时=＞a，
不等式有两个整数解为﹣1和0，
∴实数a的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
16. 若函数为偶函数，则实数
参考答案：
略
17. 已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥
的体积为__________.
参考答案：
8
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知实数满足.
(Ⅰ) 若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；
(Ⅱ) 当时，求的最小值.
参考答案：
解析：(Ⅰ) 由知为的中点，……………………………………………………2分
设,
代入曲线方程:
,
因为的斜率为，从而,……………………………………………………5分
，故曲线为焦点在轴上的椭圆，……………………………………7分
(Ⅱ) 记
或……………………………………………………………………9分（1）若，此时………………………………………………………11分
（2）若，此时…………………………………………………………13分
略
19. （本小题满分10分）
如图，中，分别是的中点，为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．
参考答案：
连结交于点，则：
20. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知a和b是任意非零实数.
（1）求证
（2）若不等式恒成立，求实数x的取值范围.
参考答案：
(1)
(2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f (x)得
又因为则有2≥f(x)
解不等式2≥|x-1|+|x-2|得
21. 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：
短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；
（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积
S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；
解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．
∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，
∴，即
∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；
（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．
联立：，得，即，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，∴，
△F2MN的高即为点F2到直线的距离．
∴△F2MN的面积，
∵，等号成立当且仅当，即
时，
∴，即△F2MN的面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．
22. 已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）讨论函数f(x)零点的个数.
参考答案：
解：（1）当时，的定义域为，
，令得：
，，
∴的单调递增区间为.
当时，的定义域为，，
当即时，的单调增区间为，
当，即时，.
的单调递增区间为和.
（2）由（1）知当时，在内单调递增，，
故只有一个零点，
当时，在处取极大值，处取极小值. 由知，而，则，
，
∵，∴，∴，
∴当时，函数只有一个零点，
当时，
令，
，在单调递减，在单调递增，
，∴（当且仅当时，等号成立），
i）时，
，，，
由（1）函数单调性知，，所以函数在存在零点，∴在有两个零点.
ii）时，
，，，
同理可得函数在存在零点，
∴在有两个零点.
iii）时，
，函数在有一个零点.
综上所述：
当或时，函数有一个零点，
当且时，函数有两个零点.。