河北省沧州市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题含解析

河北省沧州市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（ ）
A ．85°
B ．105°
C ．125°
D ．160°
2．据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，这个数用科学记数法表示，正确的是（ ）
A ．204×103
B ．20.4×104
C ．2.04×105
D ．2.04×106
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=c ，下列各式中正确的是（ ）
A ．a=b•cosA
B ．c=a•sinA
C ．a•cotA=b
D ．a•tanA=b
4．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B→A→C 的路径移动，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD=x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．下列运算结果是无理数的是（ ）
A ．32×2
B ．32⨯
C ．722÷
D ．22135-
6．一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A ．x ＞1
B ．x≥1
C ．x ＞3
D ．x≥3
7．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
8．等腰三角形三边长分别为2a b 、、
，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．9或10
D ．8或10
9．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、
B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为
A ．1801801(150%)x x -=+
B ．1801801(150%)x x -=+
C ．1801801(150%)x x -=-
D ．1801801(150%)x x
-=- 10．如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这几个几何体的摆搭方式可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．老师在微信群发了这样一个图：以线段AB 为边作正五边形ABCDE 和正三角形ABG ，连接AC 、DG ，交点为F ，下列四位同学的说法不正确的是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
12．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )
A ．5 cm
B ．6 cm
C ．8 cm
D ．10 cm
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于____度．
14．若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 .
15．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=_____°．
16．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为______．
17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD ，若∠A=32°，则∠CDB 的大小为_____度．
18．比较大小：512
-_____1(填“＜”或“＞”或“＝”)． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？
20．（6分）如图，ABC ∆内接于O e ，AB AC =，CO 的延长线交AB 于点D .
（1）求证：AO 平分BAC ∠；
（2）若6BC =，3sin 5
BAC ∠=，求AC 和CD 的长. 21．（6分）A 、B 两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图，L 1，L 2分别表示两辆汽车的s 与t 的关系．
（1）L 1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？
（2）汽车B 的速度是多少？
（3）求L 1，L 2分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式．
（4）2小时后，两车相距多少千米？
（5）行驶多长时间后，A 、B 两车相遇？
22．（8分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1）、B （4，2）、C （3，4）．
（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1，并写出B 1点的坐标；
（2）画出△ABC 绕原点O 旋转180°后得到的图形△A 2B 2C 2，并写出B 2点的坐标；
（3）在x 轴上求作一点P ，使△PAB 的周长最小，并直接写出点P 的坐标．
23．（8分）如图，AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高，点O 是AC 中点，延长DO 到E ，使AE ∥BC ，连接AE ．求证：四边形ADCE 是矩形；①若AB ＝17，BC ＝16，则四边形ADCE 的面积＝ ． ②若AB ＝10，则BC ＝ 时，四边形ADCE 是正方形．
24．（10分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转37︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，2 1.4≈）
25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，且»»=AC BD
，过点O 作OE ⊥AC 于点E ⊙O 的切线AF 交OE 的延长线于点F ，弦AC 、BD 的延长线交于点G .
（1）求证：∠F ＝∠B ；
（2）若AB ＝12，BG ＝10，求AF 的长.
26．（12分）已知，抛物线2:23L y x bx =--（b 为常数）．
（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含b 的代数式表示）；
（2）若抛物线L 经过点()2,1M --且与k y x
=图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L 的简图，并求k y x
=的函数表达式； （3）如图2，规矩ABCD 的四条边分别平行于坐标轴，1AD =，
若抛物线L 经过,A C 两点，且矩形ABCD 在其对称轴的左侧，则对角线AC 的最小值是 ．
27．（12分）京沈高速铁路赤峰至喀左段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的13
，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程?若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【分析】
首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】
根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
2．C
【解析】试题分析：204000米/分，这个数用科学记数法表示2.04×105，故选C．考点：科学记数法—表示较大的数．
3．C
【解析】
∵∠C=90°，
∴cosA=b
c
，sinA=
a
c
，tanA=
a
b
，cotA=
b
a
，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义并且灵活运用是解题的关键.
4．B
【解析】
解：过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=•x•x=；
当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=•（4﹣x）•x=，故选B．
5．B
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
A选项：原式＝3×2＝6，故A不是无理数；
B6，故B是无理数；
C366，故C不是无理数；
D(135)(135)818
-+=⨯12，故D不是无理数
故选B．
【点睛】
考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
6．C
【解析】
试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞1．
故选C．
考点：在数轴上表示不等式的解集．
7．A
【解析】
分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
详解：设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，
由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，
而EC=1
2
BC=4cm，
在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，
整理得16x=48，
所以x=1．
故选：A．
点睛：此题主要考查了折叠问题，明确折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．
8．B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意可知，等腰三角形有两种情况：当a，b为腰时，a=b，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3，ab=9=n-1，解得n=1；当2为腰时，a=2（或b=2），此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4（a=4），这时三边为2，2，4，不符合三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故不合题意．所以n只能为1．
故选B
9．A
【解析】
【分析】
直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【详解】
解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
180 x ﹣
180
150%x
（）
=1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键．10．A
【解析】
【分析】
根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断．
【详解】
解：A选项几何体的左视图为
；
B选项几何体的左视图为
；
C选项几何体的左视图为
；
D选项几何体的左视图为
；
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念．
11．B
【解析】
【分析】
利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，再利用正五边形、等边三角形的性质一一判断即可；
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，△ABG是等边三角形，
∴直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，
∴DG垂直平分线段AB，
∵∠BCD=∠BAE=∠EDC=108°，∴∠BCA=∠BAC=36°，
∴∠DCA=72°，∴∠CDE+∠DCA=180°，∴DE∥AC，
∴∠CDF=∠EDF=∠CFD=72°，
∴△CDF是等腰三角形．
故丁、甲、丙正确．
故选B．
【点睛】
本题考查正多边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．C
【解析】
【分析】
连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM+MD 的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
如图，连接AD ．
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC•AD=12×4×AD=12，解得：AD=6（cm ）．
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为BM+MD 的最小值，∴△BDM 的周长最短=（BM+MD ）+BD=AD+
12BC=6+12
×4=6+2=8（cm ）． 故选C ．
【点睛】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．30
【解析】
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：AE=CE ，根据折叠可得：BC=CE ，则BC=AE=BE=AB ，则∠A=30°.
考点：折叠图形的性质
14．0或－1。

【解析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：
当k=0时，函数y 2x 1=-是一次函数，与x 轴仅有一个公共点。

当k≠0时，函数2y kx 2x 1=+-是二次函数，若函数与x 轴仅有一个公共点，则2kx 2x 10+-=有两个相等的实数根，即()224k 10k 1∆=-⋅⋅-=⇒=-。

综上所述，若关于x 的函数2y kx 2x 1=+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为0或－1。

15．1
【解析】
【分析】
先根据同旁内角互补两直线平行知AB ∥CD ，据此依据平行线性质知∠APM=∠CQM=118°，由邻补角定义可得答案．
【详解】
解：∵∠A+∠C=180°，
∴AB ∥CD ，
∴∠APM=∠CQM=118°，
∴∠CQN=180°-∠CQM=1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
16．（13463+896）π． 【解析】
【分析】
由圆弧的弧长公式及正△ABO 翻滚的周期性可得出答案．
【详解】
解：如图
作3B E ⊥x 轴于E, 易知OE=5, 33B E =,33)B =,
观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M 的运动路径为¼¼¼MN
NH HM ++'= 120?·3120?·1120?·1180180πππ++=234π+, 201736721÷=⋅⋅⋅Q
∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为2342313463672?()(896)333
ππ+=+, 故答案：13463896)π
【点睛】
本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键．
17．1
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的
性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=1
2
∠ACB=1°．
【详解】
∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=1
2
∠ACB=1°，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
18．＜
【解析】
【详解】
≈0.62，0.62＜1，
＜1；
故答案为＜．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．原计划每天种树40棵．
【解析】
【分析】
设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．
【详解】
设原计划每天种树x棵,实际每天植树(1+25%)x棵，由题意，得
1000 x −
1000
+%x （125）
=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解. 答：原计划每天种树40棵.
20．(1)证明见解析；（2）AC＝310，CD＝90 13
,
【解析】
分析：（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，由圆周
角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=5
3
BC=10，由勾股定理求出BE=8，
证出BE∥OA，得出OA OD
BE DE
，求出OD=
25
13
，得出CD=
90
13
，而BE∥OA，由三角形中位线定理得出
OH=1
2
BE=4，CH=
1
2
BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可．
本题解析：
解：(1)证明：延长AO交BC于H，连接BO.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A，O在线段BC的垂直平分线上．∴AO⊥BC.
又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC.
(2)延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径．
∴∠EBC＝90°，BC⊥BE.
∵∠E＝∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC.
∴＝.∴CE＝BC＝10.
∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5.
∵AH⊥BC，∴BE∥OA.
∴＝，即＝，
解得OD＝.∴CD＝5＋＝.
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位线．
∴OH ＝BE ＝4，CH ＝BC ＝3.∴AH ＝5＋4＝9.
在Rt △ACH 中，AC ＝＝＝3.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角函数及圆的有关计算，（1）中由三线合一定理求解是解题的关键，（2）中由圆周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC ，再利用三角函数及三角形中位线定理求出AC 即可，本题综合性强，有一定难度．
21．（1）L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B 的速度是1.5千米/分；（3）
s 1=﹣1.5t+330，s 2=t ；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A 、B 两车相遇．
【解析】
试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系； （2）由L 1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；
（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；
（4）结合（3）中函数图象求得120t =时s 的值，做差即可求解；
（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．
试题解析：（1）函数图形可知汽车B 是由乙地开往甲地，故L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；
（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；
（3）设L 1为1s kt b =+， 把点（0，330），（60，240）代入得
1.5330.k b =-=， 所以1 1.5330s t ；
=-+ 设L 2为2s k t ='，
把点（60，60）代入得 1.k '=
所以2.s t =
（4）当120t =时，12150120.s s ==，
330﹣150﹣120=60（千米）；
所以2小时后，两车相距60千米；
（5）当12s s =时， 1.5330,t t -+=
t
解得132.
即行驶132分钟，A、B两车相遇．
22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)、根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
试题解析：(1)、△A1B1C1如图所示；B1点的坐标（-4,2）
(2)、△A2B2C2如图所示；B2点的坐标:（-4，-2）
(3)、△PAB如图所示，P（2，0）．
考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．
23．(1)见解析；（2）①1；②2
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）①求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可；
②要使ADCE是正方形，只需要AC⊥DE，即∠DOC=90°，只需要OD2+OC2=DC2，即可得到BC的长．试题解析：（1）证明：∵AE∥BC，∴∠AEO=∠CDO．又∵∠AOE=∠COD，OA=OC，∴△AOE≌△COD，∴OE=OD，而OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°．∴□ADCE 是矩形．
（2）①解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，
由勾股定理得：AD=22
-=12，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=12×8=1．
178
-=22
AC CD
②当BC=102时，DC=DB=52．∵ADCE是矩形，∴OD=OC=2．∵OD2+OC2=DC2，∴∠DOC=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是正方形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解答此题的关键，比较典型，难度适中．
24．1.4米.
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【详解】
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8，
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴22
+，
EF FM
∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
9
2 AF=.
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠GAB＝∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF＝90°，证明∠F＝∠GAB，等量代换即可证明；
（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.
【详解】
（1）证明：∵¶¶
AC BD
=，
∴¶¶
AD BC
=.
∴∠GAB＝∠B，
∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AO.
∴∠GAB+∠GAF＝90°.
∵OE⊥AC，
∴∠F+∠GAF＝90°.
∴∠F＝∠GAB，
∴∠F＝∠B；
（2）解：连接OG.
∵∠GAB＝∠B，
∴AG＝BG.
∵OA＝OB＝6，
∴OG⊥AB.
∴2222
1068
OG BG OB
=-=-=，
∵∠FAO ＝∠BOG ＝90°，∠F ＝∠B ，
∴△FAO ∽△BOG ， ∴AF OB AO OG =. ∴66982OB AO AF OG ⋅⨯===.
【点睛】 本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
26．（1）2,3b b --；（2）图象见解析，6y x =或9y x
=-；（32 【解析】
【分析】
（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）根据抛物线经过点M ，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式； （3）设出A 的坐标，表示出C,D 的坐标，得到CD 的长度，根据题意找到CD 的最小值，因为AD 的长度不变，所以当CD 最小时，对角线AC 最小，则答案可求．
【详解】
解：（1）()
2222222323()3y x bx x bx b b x b b =--=-+--=--+Q ， ∴抛物线的顶点的坐标为2(,3)b b --．
故答案为：2(,3)b b --
（2）将(2,1)M --代入抛物线的解析式得：4431b +-=-
解得：12
b =-， ∴抛物线的解析式为23y x x =+-．
抛物线L 的大致图象如图所示：
将3y =代入2
3y x x =+-得： 233x x +-=，
解得：2x =或3x =-
∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为(2,3)或()3,3-．
将(2,3)代入k y x
=得：6k =， 6y x
∴=． 将()3,3-代入k y x
=得：9k =-， 9y x
=-∴． 综上所述，反比例函数的表达式为6y x =或9y x
=-． （3）设点A 的坐标为()2,23x x bx --，
则点D 的坐标为()
21,23x x bx +--， C 的坐标为21,(22)2)2(x x b x b ++---．
()
2223(22)22221DC x bx x b x b x b ⎡⎤∴=---+---=-+-⎣⎦ DC ∴的长随x 的增大而减小．
Q 矩形ABCD 在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x b =，
1x b ∴+≤
1x b ∴≤-
∴当1x b =-时，DC 的长有最小值，DC 的最小值2(1)211b b =--+-=． AD Q 的长度不变，
∴当DC 最小时，AC 有最小值．
AC ∴的最小值222AD DC +=
．
【点睛】
本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键．
27．（1）乙队单独施工需要1天完成;（2）乙队至少施工l8天才能完成该项工程．
【解析】
【分析】
（1）先求得甲队单独施工完成该项工程所需时间，设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=1”列方程解方程即可求解；
（2）设乙队施工y 天完成该项工程，根据题意列不等式解不等式即可.
【详解】
（1）由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为1÷13
=90（天）．
设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，则 301515190x
++=， 去分母，得x+1=2x ．
解得x=1．
经检验x=1是原方程的解．
答：乙队单独施工需要1天完成．
（2）设乙队施工y 天完成该项工程，则 1-363090
y ≤ 解得y≥2．
答：乙队至少施工l8天才能完成该项工程．。