2022届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
一、常用结论
1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(122
22>>=+b a b
y a x 为例）
（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则2
2
b k k AB OE −
=⋅;（证明：用点差法）
（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)
(122
22>=+b
a a
y b x 2
b AB
OE
2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程122
22=−b
y a x 为例）
图1 图2
（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22a
b k k AB
OE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22
b
a k k AB OE =⋅
3.抛物线中点弦结论
（1）在抛物线)0(22
≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0
y p k =
（2）同理可证，在抛物线)0(22
≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN
=⋅01.即：p
x k 0
=
、典例【选填解答题】
1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，
，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．1
2
−
D ．
12
【答案】C
【分析】先根据已知得到2
2
，再利用点差法求出直线的斜率.
【详解】由题得
222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以222222
11222222
2
2b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2(
)2a ()0
所以2
2
1212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2
k k +=∴=−.
2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为
的直线与椭圆：相交于，
若是线段的中点，则椭圆的离心率为
【解析】由椭圆中点弦性质可得12
22−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1
011212e e ，故e =
3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B
两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A ．
B ．
C ．
D ． 【解析】22
a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，
∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，
故选D ．
(1,1)M 1
2
−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 22
22=1x y a b
+22=14536x y +22
=13627x y +22=12718x y +22
=1189
x y +22b a 1
22c 22a b −2b 2a 22
1189
x y +=
（
全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：
14
3
+
=交于A ，B 两点，线段AB 的中
点为(1,)M m (0)m >．证明：1
2
k <−
． 【答案】证明见解析．
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，22
22
143
x y +=，
上述两式相减，则3
2
b k
k 由题设知
1212x x +=，122y y m +=，故4
3
−=⋅m k ，于是34k m =−． 由
<+
>13410
2m m 得302m <<，故12k <−．
5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()22
2210x y C a b a b
+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于
A ，
B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为
1
3
，则椭圆的离心率为
A
B
C
D ．
23
【答案】B
【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =
−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22
221x y a b y x n +=
=−+
得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴21222
2a n x x a b
+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+
，∴1212,x x x y y y =+
=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113
a b b a a +=−==，
2
2
3
a
a
，∴3
e
a ．
故选B ．
方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1
031112
222
e e e a b k k OM
AB ，得36=
e ． 故选B ．
6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中
点为，则动点的轨迹方程为（ ）D
7．已知椭圆22
17525
+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标
为（） A ．11,2
B ．11,22
C ．11,22
−
D ．11,22
−
【答案】C 【分析】
由题意知：斜率为3的弦中点01
(,)2
M y ，
设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122
b x x +=−即
可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】
由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =
+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，
∴22123648(75)02b b b
x x ∆=
−−> +=−
，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =
−，又01(,)2M y 在AB 上，则012
y =−， 故选：C
)(4R m m x y
∈+C 123
2
=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.x
y B −=)33(16.<<−+−=x x y C )265
2
6(6.<
<−−=x x y D
22
a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）
A ．2214536
x y +=
B ．2213627x y +=
C ．2212718x y +=
D ．221189
x y +=
【答案】D
【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB
k 2
2b a =，
由22b a =12
，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2
2
2222
1x y a b +=，②
①－②得1212121222()()()()
0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=2
12212()()b x x a y y +−+=22b a ，又AB
k =0131+−=12
，∴22b a =1
2
，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴189
9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>内有个内接三角形
ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则
123
111
k k k ++=（） A ．43
−
B ．
43
C ．34−
D ．
34
【答案】C
【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．
【详解】由题意可得12c a =，所以22
43,b a =不妨设为22143
y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，
2222
11221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，
134OD AB
k k =−，同理可得
1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133
()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，
10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>
>，ABC ∆的三个顶点都
在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，
2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）
A ．22:1:2a b =
C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12
−
D ．若直线OD ，O
E ，O
F 的斜率之和为1，则123
111
k k k ++的值为2− 【答案】CD
【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2
OD k k =−
，2·2OE k k =−，3·2
OF k k =−，即可判断．
【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>
，∴2
2
2112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221
x y a b
+=2
2
221x y ，两式相减可得：
21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21
·2
OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又123
111
2()2OD OE OF k k k k k k +
+=−++=−，
11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22
2
21()00a x y a b
b >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A
．±
B ．2±
C
．
D ．12
±
【答案】
C
【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +
=+=，22
22
222211a b x y a
b −= ，两式相减可得：
()()
()()2222
21221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b
−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴
，则b a
=
12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2
2
14
x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB
的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116
− B ．-1 C ．
116
D ．1
【答案】C
【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由2
211
2
22
214
14
x y x y −=
−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12
1212
4
2
x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，
将A 、B 代入双曲线2
214x
y −=得，2
2
112
22
21
414
x y x y −=
−
= ，两式相减得：()()222
21212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以1212121
4816
AB
y y k x x −==×=−.
13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22
221x y a b
−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，
且BD 的中点为3(1)M ，
.则C 的离心率为（） A ．2 B
C ．3 D
【答案】A
【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22222222
11
a b x y a b −= ，两式做差得()()()()1212121222
0x x x x y y y y a b −+−+−=
整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=
，126y y +=，代入有2
23b a =，即22
2
3c a a
−=，可得2c e a ==．
14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于
A ，
B 两点，且
AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22
145
x y −=
B ．22163
x y −=
C ．22
54
x y −=22
x y 【答案】B
【详解】设双曲线E 的标准方程为22
221x y a b
−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，
设()11,A x y ，()22,B x y ，
AB 的中点为(M −，124x x ∴+
=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22
1122
22
222211x y a b x y a
b −= −= ， 两式作差得：2222
121222
0x x y y a b
−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()(
)2
121221212AB
b x x y y k x x a y y +−====−+
，又M F AB
M F y y k x x −===−
即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22
163x y −=.
15．（2019·陕西高考模拟）双曲线22
1369
x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，
那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=
B.2100x y +−=
C.20x y −=
D.280x y +−=
【答案】C
【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，
则
22111369x y −=，22
221369
x y −=，
369
即121212129()98136()3642
y y x x k
x x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程1
2(4)2
y x −=
−，即20x y −=
． 故选：C
28
y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分
别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=
−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111
AB BC AC
k k k ++=________. 【答案】-1
【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=
，1202y y y +=，21118y x −=，2
2218
y x −=, 两式相减得()()()()1
21212128
y y y y x x x x +−−+=
，整理可得
0121208y x x y y x −=−，即1
8OD AB
k k =，
同理得18OE BC
k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以
111
1AB BC AC k k k ++=−.
17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()
2
2252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，
与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.
【答案】2
214
x y −=
【详解】设点()11,A x y ，
()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145
k −⋅=−−，所以1k =，()2
2224512b =−+=，即2
1b =，则22
11221x y a b
−=，22
22221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121
222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()2
22121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214
x y −=.
相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为2
3
−
，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22
143
x y −= C.22
152
x y −= D.22
125
x y −= 【答案】D
【解析】设双曲线的方程为
22
1(0,0)x y
a b a b
−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122
y y y y b +−，22
23a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b
=，联立22
7a b +=
22125
x y −=．故选D ．
19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交
于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.
B.
C.
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解
【详解】设线段AB 的中点坐标为，
则有， 设，代入双曲线方程有，
两式相减得， 22
22:1x y C a b
−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 0
001
1
2y x c y x c
= +
=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 22221122
2
2221,1x y x y a b a b
−=−=
可得，即， .
故选:D.
20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2
B ．2−
C ．12
D ．12
− 【答案】A
【分析】 利用点差法，21122
244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
211222
44y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，
当12x x ≠时，()121212
4y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=
，24k =， 解得：2k =
故选：A
21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）
A ．定值
B ．定值p
C ．定值2p
D ．与k 有关的值
【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．
【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），
2
2a b 002210x y a b
−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =
直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，
所以由题意得：y 0＝
＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，
故选：B ．
22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k
=得：4
=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .
23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.
解：y x =2，my x 22=，∴2
1=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：2
10=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−
=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(12
5−⋅=−
x y ，即02=+−y x .
24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．
【答案】4x ＋4y ＋5＝0
【分析】
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.
【详解】
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1
(,0)2
G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =
从而12012012412
x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又221
1222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，
则直线BC 的斜率1212
002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1
()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.
故答案为：4x ＋4y ＋5＝0
25．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C
的焦点为(0,
、
，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；
（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.
【答案】（1）2
212
y x −=；（2
. 【分析】
（1
）根据双曲线的定义c =
，a =，即可求出双曲线的方程；
（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出
【详解】
（1）双曲线C
的焦点为(0,
、，
实轴长为，
则a =
，
c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=
，122y y +=， 又221122221212
y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴1212
2y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，
由222122y x y x =− −=
，即22410x x −−=，可得1212x x =−，
则MN =
==
26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．
（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．
【答案】（1
；（2）52280x y +−=. 【分析】
（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．
（1）联立25,21,y x y x = =
− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44
x x x x +==，
故
||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,
y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552AB
y y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−
−，即52280x y +−=．。