虚位移原理1.pdf
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度但约束方程是可以积分的约束 n —质点数 s —约束数
f (ri ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s
以积分的约束
y
非完整约束 — 约束方程包含质点速度、且约束方程不可
i ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s f ( ri , r
3n-s 6n-s
2n-s 3n-s
双摆
单摆
(约束: xo=0, yo=0)
按质点系(A , B): 2×2 - 2 = 2 按刚体系(OA, AB): 3×2 - 4 = 2
(约束: xol1=0, yol1=0; xAl1=xAl2, yAl1=yAl2)
判断自由度数的 实用方法:
① 固定质点系中任意质点 或刚体的任一方向的运动， 若其他质点和刚体都不会运 动，则自由度为1，如图；
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程可以写成不等式的约束。
O l A A0 y x O x
单面约束还是双面约束？ 约束方程？ l
A A0 y
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
完整约束与非完整约
完整约束 — 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速
虚位移(功)原理
Principle of Virtual Work
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等 等）只取决于作用力和运动的起始条件 ——其运动称为自由运动 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预 先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些 限制条件） ——其运动称为非自由运动
约束(Kinematic Constraints) 的运动学分类
* 虚功 ——力在虚位移上做的元功
W F r
力 F：W F r F r cos Xx Yy Zz
Or
m P ( F ) — F 对轴或瞬心P之矩，特别对刚体
W m P ( F )
此式常用 Couple
m:
W m
(一)已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的
关系或平衡位置 (二)已知质点系处于平衡状态，求内力或约束力
解题步骤 ： (一) 研究整体（不取分离体），并选广义坐标 (二)（若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义 坐标虚位移表示所有对应主动力的虚位移 （若用解析法，不画虚位移）画出直角坐标系， 并求所有对应主动力坐标的变分 (三) 列解虚功方程
例 曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。
解1：几何法 力偶M： WM
M
M
力G： WG G rC
—不易直接求C点虚位移
力F： WF F rB
rC
C G F
l WG mI (G) G cos 用G对瞬心的力矩求： 2
非定常约束－约束方程显含时间的约束(s为约束数) ：
f ( ri ，t ) 0,i 1, 2, , n ； 1,2, ,s
定常约束与非定常约束
如果已知转子的运动规律(以等角速度 旋转)，这 种运动规律就是对系统的约束，约束方程为：
＝t
——这种约束即为非定常约
虚位移(Virtual displacement)与虚功(Virtual work)
* 实位移 (real displacement) —真实运动位移 * 虚位移 —在约束容许条件下，质点(系)可能发生 的任何微小(infinitesimal)的位移。
① 为约束所容许，即不能破坏系统的约束； ② 可能发生的，即假想的，与时间无关； ③ 所有的，但不止一种； ④ 无限小，不改变系统位置。
ri 虚位移： ri qh qh h 1
i 1, 2 , , n
k
i 1,2,, n
例：曲柄连杆机构
x A r sin y A r cos r cos l cos
选为广义坐标，考虑 几何关系： x A r cos y y A r sin
表示法: 微小实位移 — d r ( d ri ); 虚位移 — r ( ri )
( 代表变分，即时间不变而函数本身的改变量) 质点的虚位移 ——线位移 Virtual Translation — rA , rB 刚体的虚位移 ——角位移 Virtual Rotation
—
虚位移与实位移的比较 虚位移与实位移的比较
xB x
O
xA
约束方程不可积分， 所以导弹所受的约束 为非完整约束。
我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面约 束（或具有双面约束性质的单面约束），其约 束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示 For a system with n particles and s constraints
f j ( x1 , y1 , z1 , , xi , y i , z i , ) 0 i 1, 2, , n; j 1, 2, , s
虚位移的求法 虚位移的求法
1. 几何法（运动分析法） 例：曲柄连杆机构 选 为广义坐标 OA杆：
I
rA OA
rA
AI
AB瞬心在 I：
rB
BI
BI BI rB rA OA AI AI
2. 解析法（变分法） 第 i 点坐标 ri ri ( q1 , q 2 , , q k )
理想约束 理想约束
理想约束——约束力虚功之和等于零的约束
W
F
F R r 0
——没有摩擦或摩擦力不作功的约束
光滑固定支承面和滚动铰链支座 光滑固定铰链支座和轴承 连接物体的光滑铰链 无重刚杆 不可伸长的柔索 刚体在固定面上无滑动的滚动
虚位移原理 Principle of Virtual Work
系统任一质点Mi的坐标可以表示为 广义坐标的函数，即质点位置矢量
ri ri ( q1 , q 2 , , q k )
i = 1, 2, …, n —质点数； q1, q1, …, qk — 广义坐标；
xi xi (q1, q2 ,, qk ) yi yi (q1, q2 ,, qk ) z z (q , q ,, q ) k i i 1 2
xB r sin l sin r(sin cos tan )
WF F xB Fr(sin cos tan ) 力G： yC r sin (l / 2) sin
yC r cos ( l 2)cos (r 2)cos WG G yC G( r 2) cosvC CFra bibliotekC C*
yC R v C 0
C R 0 vC 0 x
积分
O R
x
x 圆轮所受约
束为完整约束
xC R 0
完整约束与非完整约束
完整约束与非完整约束
y yB B
yA
A
vA
A x xB x A A yB y A y
静力学中的约束——约束的力 的性 运动约束——物体运动所受到的限制 (约束的运动的性质)
约束方程 —— 用解析表达式表示的限制条件 （Equations of constraint） 定常约束－约束方程不显含时间的约束(n为质点数)：
f ( ri ) 0,i 1, 2, , n； 1,2, , s
虚位移 实位移 1. 为约束所容许 1. 为约束所容许 2. 总为无限小 2. 可以是有限值 3. 只与约束条件有关，与力、 3. 除与约束条件有关外，尚与 时间、初条无关，是一个纯粹 力、时间、初条有关 的几何概念 4. 一个位置下可以有几组虚位 4. 一个位置下，所能实现的实 移 位移只有一组 5. 定常约束中，实位移是虚位移中的一组；非定常约束中，实 位移可不同于虚位移
x A l1 cos1 y l sin A 1 1 x B l1 cos1 l 2 cos 2 y B l1 sin 1 l 2 sin 2
x A l1 sin 1 1 , y A l1 cos 1 1 x B l1 sin 1 1 l 2 sin 2 2 y l cos l cos B 1 1 1 2 2 2
已知质点系处于平 衡状态，求主动力 之间的关系或平衡 位置
例： AO平衡，求P与M之间的关系 取广义坐标— ; 虚位移— xA = l · 虚功方程:
δxA
A l
O
P
W Px B M 0
静力学问题只有定常约束!! 约束－物体运动所受到的限制
双面约束与单面约束
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以 写成不等式的约束。
y x
y B 0(双面约束 )
B
O y
约束方程？ 单面约束还是双面约束？
x
y B 0(单面约束 )
O
B
双面约束与单面约束
的关系或平衡位置
——不需解除所有约束，只解除需要求解其约束力 （包括内力）的约束 ——以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分 析整个系统可能产生的运动，建立该系统在已知位 置上的虚功方程，就可求出未知数
(二)已知质点系处于平衡状态，求内力或约束力
——需要解除对应的约束，用相应的约束力代替， 使待求的内力或约束力“转化”为主动力
具有定常、理想约束的质点系，在给定位 置保持平衡 所有作用于该质点系上的主动 力 在任何虚位移中的 虚功之和 等于 0
i 1 n
WF
i 1
n
Fi ri 0
( Xx Yy Zz ) 0 --虚功方程
虚位移原理分析以下两类平衡问题:
(一)已知质点系处于平衡状态，求主动力之间
链: 2 自由度 (Degrees of freedom 绞 (DOF)) 平面运动: 平 动—1 广义坐标 (Generalized coordinates ) 纯滚动—2
1. 自由度数—完全描述系 统位置的独立坐标的个数
质点(刚体)数为 n; 约束数为 s
空间问题 平面问题
按质点系(A): 质点系 2×1-1 = 1 刚体系 按刚体系(OA): 3×1-2 = 1
O
y A
r
l
图(1)
B
x
② 否则，再固定质点系中质点 或刚体的另一方向的运动，若 其他质点和刚体都不会运动， 则自由度为2，如图。
2．广义坐标—完全确定系统位置的独立参变量(位移 、转角). (完整约束: 广义坐标数目=自由度数) 例：取 1、 2 为广义坐标，A、B 位置可确定如下:
xA l1 cos 1 , y A l1 sin 1 xB l1 cos 1 l2 cos 2 y l sin l sin 1 2 2 B 1
解2：变分法
y
A
C l
建立坐标系, 为广义坐标 r M 力偶M： WM M O 力F： r sin l sin r cos l cos x B r cos l cos
G
B
F
x
r cos l cos
A
r
l
r sin l sin
B
r cos l cos
O
x
x B r cos l cos
xB r sin l sin r(sin cos tan )
例∶求双摆的虚位移
取φ1，φ2 为广义坐标， A、B 位置可确定如下:
f (ri ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s
以积分的约束
y
非完整约束 — 约束方程包含质点速度、且约束方程不可
i ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s f ( ri , r
3n-s 6n-s
2n-s 3n-s
双摆
单摆
(约束: xo=0, yo=0)
按质点系(A , B): 2×2 - 2 = 2 按刚体系(OA, AB): 3×2 - 4 = 2
(约束: xol1=0, yol1=0; xAl1=xAl2, yAl1=yAl2)
判断自由度数的 实用方法:
① 固定质点系中任意质点 或刚体的任一方向的运动， 若其他质点和刚体都不会运 动，则自由度为1，如图；
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程可以写成不等式的约束。
O l A A0 y x O x
单面约束还是双面约束？ 约束方程？ l
A A0 y
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
完整约束与非完整约
完整约束 — 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速
虚位移(功)原理
Principle of Virtual Work
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等 等）只取决于作用力和运动的起始条件 ——其运动称为自由运动 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预 先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些 限制条件） ——其运动称为非自由运动
约束(Kinematic Constraints) 的运动学分类
* 虚功 ——力在虚位移上做的元功
W F r
力 F：W F r F r cos Xx Yy Zz
Or
m P ( F ) — F 对轴或瞬心P之矩，特别对刚体
W m P ( F )
此式常用 Couple
m:
W m
(一)已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的
关系或平衡位置 (二)已知质点系处于平衡状态，求内力或约束力
解题步骤 ： (一) 研究整体（不取分离体），并选广义坐标 (二)（若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义 坐标虚位移表示所有对应主动力的虚位移 （若用解析法，不画虚位移）画出直角坐标系， 并求所有对应主动力坐标的变分 (三) 列解虚功方程
例 曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。
解1：几何法 力偶M： WM
M
M
力G： WG G rC
—不易直接求C点虚位移
力F： WF F rB
rC
C G F
l WG mI (G) G cos 用G对瞬心的力矩求： 2
非定常约束－约束方程显含时间的约束(s为约束数) ：
f ( ri ，t ) 0,i 1, 2, , n ； 1,2, ,s
定常约束与非定常约束
如果已知转子的运动规律(以等角速度 旋转)，这 种运动规律就是对系统的约束，约束方程为：
＝t
——这种约束即为非定常约
虚位移(Virtual displacement)与虚功(Virtual work)
* 实位移 (real displacement) —真实运动位移 * 虚位移 —在约束容许条件下，质点(系)可能发生 的任何微小(infinitesimal)的位移。
① 为约束所容许，即不能破坏系统的约束； ② 可能发生的，即假想的，与时间无关； ③ 所有的，但不止一种； ④ 无限小，不改变系统位置。
ri 虚位移： ri qh qh h 1
i 1, 2 , , n
k
i 1,2,, n
例：曲柄连杆机构
x A r sin y A r cos r cos l cos
选为广义坐标，考虑 几何关系： x A r cos y y A r sin
表示法: 微小实位移 — d r ( d ri ); 虚位移 — r ( ri )
( 代表变分，即时间不变而函数本身的改变量) 质点的虚位移 ——线位移 Virtual Translation — rA , rB 刚体的虚位移 ——角位移 Virtual Rotation
—
虚位移与实位移的比较 虚位移与实位移的比较
xB x
O
xA
约束方程不可积分， 所以导弹所受的约束 为非完整约束。
我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面约 束（或具有双面约束性质的单面约束），其约 束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示 For a system with n particles and s constraints
f j ( x1 , y1 , z1 , , xi , y i , z i , ) 0 i 1, 2, , n; j 1, 2, , s
虚位移的求法 虚位移的求法
1. 几何法（运动分析法） 例：曲柄连杆机构 选 为广义坐标 OA杆：
I
rA OA
rA
AI
AB瞬心在 I：
rB
BI
BI BI rB rA OA AI AI
2. 解析法（变分法） 第 i 点坐标 ri ri ( q1 , q 2 , , q k )
理想约束 理想约束
理想约束——约束力虚功之和等于零的约束
W
F
F R r 0
——没有摩擦或摩擦力不作功的约束
光滑固定支承面和滚动铰链支座 光滑固定铰链支座和轴承 连接物体的光滑铰链 无重刚杆 不可伸长的柔索 刚体在固定面上无滑动的滚动
虚位移原理 Principle of Virtual Work
系统任一质点Mi的坐标可以表示为 广义坐标的函数，即质点位置矢量
ri ri ( q1 , q 2 , , q k )
i = 1, 2, …, n —质点数； q1, q1, …, qk — 广义坐标；
xi xi (q1, q2 ,, qk ) yi yi (q1, q2 ,, qk ) z z (q , q ,, q ) k i i 1 2
xB r sin l sin r(sin cos tan )
WF F xB Fr(sin cos tan ) 力G： yC r sin (l / 2) sin
yC r cos ( l 2)cos (r 2)cos WG G yC G( r 2) cosvC CFra bibliotekC C*
yC R v C 0
C R 0 vC 0 x
积分
O R
x
x 圆轮所受约
束为完整约束
xC R 0
完整约束与非完整约束
完整约束与非完整约束
y yB B
yA
A
vA
A x xB x A A yB y A y
静力学中的约束——约束的力 的性 运动约束——物体运动所受到的限制 (约束的运动的性质)
约束方程 —— 用解析表达式表示的限制条件 （Equations of constraint） 定常约束－约束方程不显含时间的约束(n为质点数)：
f ( ri ) 0,i 1, 2, , n； 1,2, , s
虚位移 实位移 1. 为约束所容许 1. 为约束所容许 2. 总为无限小 2. 可以是有限值 3. 只与约束条件有关，与力、 3. 除与约束条件有关外，尚与 时间、初条无关，是一个纯粹 力、时间、初条有关 的几何概念 4. 一个位置下可以有几组虚位 4. 一个位置下，所能实现的实 移 位移只有一组 5. 定常约束中，实位移是虚位移中的一组；非定常约束中，实 位移可不同于虚位移
x A l1 cos1 y l sin A 1 1 x B l1 cos1 l 2 cos 2 y B l1 sin 1 l 2 sin 2
x A l1 sin 1 1 , y A l1 cos 1 1 x B l1 sin 1 1 l 2 sin 2 2 y l cos l cos B 1 1 1 2 2 2
已知质点系处于平 衡状态，求主动力 之间的关系或平衡 位置
例： AO平衡，求P与M之间的关系 取广义坐标— ; 虚位移— xA = l · 虚功方程:
δxA
A l
O
P
W Px B M 0
静力学问题只有定常约束!! 约束－物体运动所受到的限制
双面约束与单面约束
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程不能写成等式、但是可以 写成不等式的约束。
y x
y B 0(双面约束 )
B
O y
约束方程？ 单面约束还是双面约束？
x
y B 0(单面约束 )
O
B
双面约束与单面约束
的关系或平衡位置
——不需解除所有约束，只解除需要求解其约束力 （包括内力）的约束 ——以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分 析整个系统可能产生的运动，建立该系统在已知位 置上的虚功方程，就可求出未知数
(二)已知质点系处于平衡状态，求内力或约束力
——需要解除对应的约束，用相应的约束力代替， 使待求的内力或约束力“转化”为主动力
具有定常、理想约束的质点系，在给定位 置保持平衡 所有作用于该质点系上的主动 力 在任何虚位移中的 虚功之和 等于 0
i 1 n
WF
i 1
n
Fi ri 0
( Xx Yy Zz ) 0 --虚功方程
虚位移原理分析以下两类平衡问题:
(一)已知质点系处于平衡状态，求主动力之间
链: 2 自由度 (Degrees of freedom 绞 (DOF)) 平面运动: 平 动—1 广义坐标 (Generalized coordinates ) 纯滚动—2
1. 自由度数—完全描述系 统位置的独立坐标的个数
质点(刚体)数为 n; 约束数为 s
空间问题 平面问题
按质点系(A): 质点系 2×1-1 = 1 刚体系 按刚体系(OA): 3×1-2 = 1
O
y A
r
l
图(1)
B
x
② 否则，再固定质点系中质点 或刚体的另一方向的运动，若 其他质点和刚体都不会运动， 则自由度为2，如图。
2．广义坐标—完全确定系统位置的独立参变量(位移 、转角). (完整约束: 广义坐标数目=自由度数) 例：取 1、 2 为广义坐标，A、B 位置可确定如下:
xA l1 cos 1 , y A l1 sin 1 xB l1 cos 1 l2 cos 2 y l sin l sin 1 2 2 B 1
解2：变分法
y
A
C l
建立坐标系, 为广义坐标 r M 力偶M： WM M O 力F： r sin l sin r cos l cos x B r cos l cos
G
B
F
x
r cos l cos
A
r
l
r sin l sin
B
r cos l cos
O
x
x B r cos l cos
xB r sin l sin r(sin cos tan )
例∶求双摆的虚位移
取φ1，φ2 为广义坐标， A、B 位置可确定如下: