2017-2018学年江苏省宿迁市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

宿迁市2017—2018学年度高一第一学期期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A = 1 ， 2 ，B = −1， 2 ，则A ∪B =______． 【答案】{-1,1,2}；
【解析】A ∪B = 1 ， 2 ∪ −1， 2 ={-1,1,2}
2. 函数f (x )=lg (x −2)+ x 的定义域为______． 【答案】(2,3]；
【解析】因为
x −2>03−x ≥0
⇒2<x ≤3 ,所以定义域为(2,3] 3. 计算sin (−330°)的值为____． 【答案】1
2；
【解析】sin (−330°)=sin 300=1
2
4. 已知幂函数f (x )=x α的图象经过点(8,2)，则f (27)的值为______． 【答案】3；
【解析】因为8α=2⇒α=1
3 ,所以f (27)=271
3=3
5. 不等式3x −2>1的解集为______． 【答案】(2,+∞)；
【解析】3x −2>1⇒3x −2>30⇒x −2>0⇒x >2 ,所以解集为(2,+∞)
6. 若将函数f (x )=sin (2x −π
3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位长度，得到函数g (x )=sin 2x 的图象，则
φ 的最小值为______．
【答案】π
6
 ；
【解析】因为函数f (x )=sin (2x −π3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位长度，得到y =sin (2x +2φ−π
3),所以2φ−
π3
=2k π(k ∈Z )∴φ=
π6
+k π(k ∈Z )∵φ>0∴φ 的最小值为π
6
7. 计算(1681
)1
4+log 82的值为______．
【答案】1；
【解析】(1681)1
4+log 82(243
4)1
4+log 232=23+13
=1
8. 已知函数y =sin (2x −π3)，x ∈[0,π
2
]，则它的单调递增区间为______．
【答案】(0,5
π12)（区间写成半开半闭或闭区间都对）；
【解析】由−π2+2k π≤2x −
π3
≤
π2
+2k π(k ∈Z )得−
π12
+k π≤x ≤5π12
+k π(k ∈Z )
因为x ∈[0,π
2]，所以单调递增区间为[0,5
π12]
9. 若sin (α−π
6)=13，其中π<α<76π，则sin (2π
3−α)的值为______．
【答案】−
2 23
；
【解析】sin (2π
3−α)=sin (π
2+π
6−α)=cos (α−π
6)
因为π<α<7
6π，所以α−π6∈(5π6,π)∴cos (α−π6)=− 1−sin 2(α−π6)=− 1−19=−2 2
3
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 10. 已知向量a = 1,−2 ,b = −1,1 ，若 a −b ⊥ a +k b ，则实数k 的值为______． 【答案】8
5；
【解析】由题意得(a −b )⋅(a +k b )=0∴(2,−3)⋅(1−k ,−2+k )=0,2−2k +6−3k =0,k =8
5
11. 若点P (1，2)在角α终边上，则tan α
sin 2α−sin αcos α的值为_____． 【答案】5；[1,3)
【解析】由三角函数定义得tan α=2,sin α= 5cos α= 5∴tan αsin 2α−sin αcos α2
45−25
=1
12. 已知函数f x = |log 2x |, 0<x ≤2,−x +3 , x >2, 若函数g (x )=f (x )−m (m ∈R )有三个不同的零点x 1,x 2,x 3，
且x 1<x 2<x 3，则 x 1x 2+1 m −x 3的取值范围是____． 【答案】(−2,0)；
【解析】作图可知:−log 2x 1=log 2x 2⇒x 1x 2=1,−x 3+3=m ,0<m <1∴ x 1x 2+1 m −x 3=2m −
x 3=2m −3+m ∈(−2,0)
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−1)=0，若对任意的x1,x2∈−∞,0，当x1≠x2时，都
有x1⋅f(x1)−x2⋅f(x2)
x1−x2
<0成立，则不等式f(x)<0的解集为_____．
【答案】 −∞，−1∪0，1；
【解析】令g(x)=x f(x),则g(x)为偶函数,且g(−1)=0,当x<0时, g(x)为减函数
所以当−1<x<1时, g(x)<0;当x>1或x<−1时, g(x)>0;因此当0<x<1时, f(x)<0;当x<−1时, f(x)<0,即不等式f(x)<0的解集为 −∞，−1∪0，1
点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.
14. 已知函数f(x)=−x2+a x+1， (x)=2x，若不等式f(x)> (x)恰有两个整数解，则实数的
取值范围是________．
【答案】[−65
24,−13
8
)∪(7
2
，16
3
].
【解析】因为f(0)= (0),所以f(−2)> (−2)
f(−3)≤ (−3)或
f(2)> (2)
f(3)≤ (3)
即−2a−3>1
4
−3a−8≤1
8
或2
a−3>4
3a−8≤8
∴的取值范围是[−65
24
,−13
8
)∪(7
2
，16
3
].
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答
．．．．．．．．．．，解答时应写出
文字说明、证明过程或计算步骤．
15. 设全集U=R，集合A={x1≤x≤4}，B={x m≤x≤m+1}，m∈R．（1）当m=3时，求A∩∁
 U
B；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围.
【答案】(1)[1,3)(2)[1,3]
试题解析：（1）当m=3时，B={x|3≤x≤4}，
所以∁
 U
B=(−∞,3)∪(4,+∞)，
故A∩∁
 U
B=1,3；
（2）因为B⊆A，所以
m≥1 ，m+1≤4.
解得1≤m≤3.
16. 已知函数f(x)=A si n(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ<π)，它的部分图象如图所示. （1）求函数f(x)的解析式；
（2）当x∈ −π
12,5π
12
时，求函数f(x)的值域.
【答案】(1)f(x)=2sin(2x−π
6
)(2)[−3,2]
【解析】试题分析:（1）根据最值得A，根据四分之一个周期求ω，代入最值点求φ（2）先确定正
弦函数定义区间：−π
3≤2x−π
6
≤2π
3
，再根据正弦函数性质求值域
试题解析：（1）依题意，A=2,T=4π
3−π
12
=π=2π
ω
,ω=2，
故f(x)=2si n(2x+φ).
将点π
3,2的坐标代入函数的解析式可得sinφ+2π
3
=1，
则φ=2kπ−π
6(k∈Z)，又φ<π，故φ=−π
6
，
故函数解析式为f(x)=2si n(2x−π
6
).
（2）当x∈ −π
12,5π
12
时，−π
3
≤2x−π
6
≤2π
3
，
则−3
2≤sin(2x−π
6
)≤1，−3≤2sin(2x−π
6
)≤2，
所以函数f(x)的值域为 −3,2.
点睛：已知函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=y max−y min
2,B=y max+y min
2
.
(2)由函数的周期T求ω,T=2π
ω
.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
17. 如图所示，在▱A B C D中，已知A B=3，A D=2,∠B A D=120°. （1）求A C的模；
（2）若A E=1
3A B，B F=1
2
B C，求A F⋅D E的值.
【答案】(1)7(2)7
2
【解析】试题分析:（1）根据向量数量积定义可得A B⋅A D，再根据向量加法几何意义以及模的性质可得结果（2）先根据向量加减法则将A F，D E化为A B，A D，再根据向量数量积定义求值
试题解析：（1）|A C|=|A B+A D|=(A B+A D)2=A B2+2A B⋅A D+A D2
=
|A B|2+2|A B|⋅|A D|cos∠B A D+|A D|2
=9+2×3×2×(−1
2
)+4=7；
（2）因为A F=A B+B F=A B+1
2A D，D E=A E−A D=1
3
A B−A D，
所以A F⋅D E=(A B+1
2A D)⋅(1
3
A B−A D)=1
3
A B2−5
6
A B⋅A D−1
2
A D2
=1
3
|A B|2−
5
6
|A B|⋅|A D|cos∠B A D−
1
2
|A D|2=
1
3
×9−
5
6
×3×2×(−
1
2
)−
1
2
×4
=3+5
2
−2=7
2
.
18. 近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC （如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形DBE，DAG和ECF，其中D G、E F与D E分别相切于点D、E，且D G与E F无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪. 设BD长为x（单位：百米），草坪面积为S（单位：百米2）.
（1）试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积，并写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1)S1=π
6x2,S2=π
6
(2−x)2,x∈[1,3](2) 当BD长为4
3
百米时，草坪面积最大，最大值为
(3−4π
9
)百米2.
【解析】试题分析:（1）根据扇形面积公式可得结果，根据条件可得C F+A G≤A C，且BD长小于高，解得x的取值范围；（2）列出草坪面积函数关系式，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值
试题解析：（1）如图，B D=x，则B E=x，A D=A G=E C=F C=2−x,
在扇形D B E中，弧D E长=π
3
x，
所以S扇形B D E=1
2×π
3
x2=π
6
x2，
同理，S扇形A D G=1
2×π
3
(2−x)2=π
6
(2−x)2，
因为弧DG与弧EF无重叠，
所以C F+A G≤A C，即2−x+2−x≤2，则x≥1，又三个扇形都在三角形内部，则x≤3，
所以x∈[1,.
（2）因为S △A B C = 3，
所以S 阴影=S △A B C −S 扇形B D E −S 扇形A D G −S 扇形C E F = 3−π
6[x 2+2(2−x )2]
= 3−π
6[3(x −43)2+8
3]，
所以当x =4
3∈[1, 3]时，S 阴影取得最大值为 3−
4π9
，
答：当BD 长为43百米时，草坪面积最大，最大值为( 3−4π
9
)百米2
. 19. 已知函数f (x )=
|x −a |
x
(a >0)，且满足f (1
2)=1.
（1）判断函数f (x )在(1,+∞)上的单调性，并用定义证明； （2）设函数g (x )=
f (x )
x
，求g (x )在区间[1
2
,4]上的最大值；
（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程2(x −a )2−x |x −a |+2mx 2=0恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)见解析(2) x =1
2时，g (x )max =2. (3) (0,1
16)
试题解析：(1) 由f (1
2)=
|12
−a |
12
=1，得a =1或0.
因为a >0，所以a =1，所以f (x )=|x −1|
x
.
当x >1时，f (x )=x −1x =1−1
x
，任取x 1,x 2∈(1,+∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)−f (x 2)=
x 1−1x 1−x 2−1x 2=(x 1−1)x 2−(x 2−1)x 1x 1x 2=(x 1−1)x 2−(x 2−1)x 1x 12x 22
=x 1−x 2x 1x 2，
因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0, x 1x 2>0，f (x 1)−f (x 2)<0， 所以f (x )在(1,+∞)上为增函数； （2）g (x )=
f (x )x =|x −1|x =
x −1
x ,1≤x ≤41−x x 2,1
2
≤x <1
，
当1≤x≤4时，g(x)=x−1
x =1
x
−1
x=
−(1
x
−1
2
)2+1
4
，
因为1
4≤1
x
≤1，所以当1
x=
1
2
时，g(x)max=1
4
；
当1
2≤x<1时，g(x)=1−x
x2
=1
x2
−1
x=
(1
x
−1
2
)2−1
4
，
因为1
2≤x<1时，所以1<1
x
≤2，所以当1
x=
2时，g(x)max=2；
综上，当1
x=2即x=1
2
时，g(x)max=2.
（3）由（1）可知，f(x)在(1,+∞)上为增函数,当x∈(1,+∞)时，f(x)=1−1
x
∈(0,1).
同理可得f(x)在(0,1)上为减函数，当x∈(0,1)时，f(x)=1
x
−1∈(0,+∞).
方程2(x−1)2−x|x−1|+2mx2=0可化为2|x−1|2
x2−|x−1|
x
+2m=0，
即2f2(x)−f(x)+2m=0.
设t=f(x),方程可化为2t2−t+2m=0.
要使原方程有4个不同的正根，
则方程2t2−t+2m=0在(0,1)有两个不等的根t1,t2，
则有
1−16m>0
2m>0
2×12−1+2m>0
，解得0<m<1
16
，
所以实数m的取值范围为(0,1
16
).
20. 已知函数f(x)=log
4(a⋅2x−4
3
a) (a≠0, a∈R)，g(x)=log
4
(4x+1)．
（1）设 (x)=g(x)−k x(k∈R)，若 (x)是偶函数，求实数k的值；
（2）设F(x)=f(log
2x)−g(log
4
x)，求函数F(x)在区间[2,3]上的值域；
（3）若不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) k=1
2(2) [log
4
2a
9
,log
4
5a
12
](3) [−3
4
,0)∪(0,6)
【解析】试题分析:（1）根据偶函数定义得log
4(4−x+1)+k x=log
4
(4x+1)−k x，再根据对数运算性
质解得实数k的值；（2）根据对数运算法则得F(x)=log
4[a(1−7
3(x+1)
]，再求分式函数值域，即得F(x)在
区间[2,3]上的值域（3）设t=2x，将不等式化为t2−a t+4
3a+1>0，再分离变量得t>4
3
,a<(t2+1
t−4
3
)min
且0<t<4
3,a>(t2+1
t−4
3
)max，最后根据基本不等式可得最值，即得实数的取值范围.
试题解析：（1）因为 (x )=log 4(4x +1)−k x 是偶函数，
所以log 4(4−x +1)+k x =log 4(4x +1)−k x ， 则2k x =log 44x +1
4−x +1=log 4
4x +1
1+4x 4x
=x 恒成立，所以k =12
.
（2）F (x )=f (log 2x )−g (log 4x )=log 4(a x −4
3a )−log 4(x +1)
=log 4
a (x −4
3)x +1
=log 4[a (1−7
3(x +1)]，
因为x ∈[2,3]，所以x −4
3>0，所以a >0， 则1−7
3(x +1)∈[29,5
12]，则a [1−7
3(x +1)]∈[2a 9,5a
12]， 所以F (x )∈[log 4
2a 9
,log 45a 12]，即函数F (x )的值域为[log 4
2a 9
,log 45a
12].
（3）由f (x )<g (x )，得log 4(a ⋅2x −4
3a )<log 4(4x +1)，
设t =2x ，则t 2−a t +4
3a +1>0，设φ(t )=t 2−a t +4
3a +1
若a >0则t >4
3，由不等式t
2−a t +43a +1>0对t >4
3
恒成立，
①当a
2≤4
3，即0<a ≤8
3时，此时φ(4
3)=
259
>0恒成立；
②当a
2>4
3，即a >8
3时，由Δ=a 2−163
a −4<0解得8
3<a <6；
所以0<a <6；
若a <0则0<t <43，则由不等式t 2−a t +43a +1>0对0<t <4
3恒成立， 因为a <0，所以a
2<0 ，只需φ(0)=43a +1≥0，解得−3
4≤a <0； 故实数的取值范围是[−3
4,0)∪(0,6).
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。