2011年清远市初中毕业生学业考试

2011年清远市初中毕业生学业考试
数学科试题
说明
: 1．全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，
用2B铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑.答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不
能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无
效.
4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，
只有一个是正确的，请将所选选项的字母涂在相应题号的答题卡上.
1．3-的倒数是( ).
A.3
B.3-
C.
3
1
D.
3
1
-
2．数据2、2、3、4、3、1、3中，众数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
3．图1中几何体的主视图是( ).
4．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680000000元，这个数用科学记数法可表示为( ).
A.9
10
68
.0⨯ B.8
10
8.6⨯ C.7
10
8.6⨯ D.7
10
68⨯
5．下列选项中，与2
xy是同类项的是( ).
A.2
2xy
- B.y
x2
2 C.xy D.2
2y
x
6．已知︒
=
∠35
α，则α
∠的余角是 ( ).
A.︒
35 B.︒
55 C.︒
65 D.︒
145
7．不等式2
1>
-
x的解集是( ).
A.1
>
x B.2
>
x C.3
>
x D.3
<
x
8．如图2，点A、B、C在⊙O上，若︒
=
∠20
BAC，则BOC
∠的度数为 ( ).
A.︒
20 B.︒
30 C.︒
40 D.︒
70
9．一次函数2
+
=x
y的图象大致是( ).
A C
B D 图1
图2
10．如图3，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是( ).
A.CD AB =
B.BC AD =
C.BC AB =
D.BD AC =
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把下列各题的正确答案填写在相应题号的答题卡上. 11．计算：=⋅3252x x .
12．分解因式：=-x x 622 .
13．反比例函数x
k
y =
的图象经过点P （2-，3），则k 的值为 . 14．已知扇形的圆心角为︒60，半径为6，则扇形的弧长为 .（结果保留π） 15．为了从甲、乙、丙三位同学中选派一位同学参加环保知识竞赛，老师对他们的五次环
保知识测验成绩进行了统计，他们的平均分均为85分，方差分别为182=甲S ，122
=乙S ，232=丙S . 根据统计结果，应派去参加竞赛的同学是 .（填“甲、乙、丙”
中的一个） 16．如图4，在□ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 、BC 的延长线交于
点F .若△ECF 的面积为1，则四边形ABCE 的面积为 .
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
17．计算：012011)21
(60cos 29-+︒+-.
18．解方程：0142=--x x .
19．△ABC 在方格纸中的位置如图5所示，方格纸中的
每个小正方形的边长为1个单位.
（1）△111C B A 与△ABC 关于纵轴（y 轴）对称，
请你在图5中画出△111C B A ；
（2）将△ABC 向下平移8个单位后得到△222C B A ，
请你在图5中画出△222C B A .
20．先化简、再求值：
1)111(2
-÷+-x x
x ，其中12+=x .
21．如图6，小明以3米/秒的速度从山脚A 点爬到山顶B 点，已知点B 到山脚的垂直距离BC
为24米，且山坡坡角A ∠的度数为︒28，问小明从山脚爬上山顶需要多少时间？（结果精确到1.0）
E B C
D
A 图4 B
图3
A B
C
D O
（参考数据：46.028sin ≈︒，87.028cos ≈︒，53.028tan ≈︒）
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
22．如图7，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，D 为⊙O 上一点，AD 与OC
相交于点E ，且C DAB ∠=∠. （1）求证：OC ∥BD ；
（2）若5=AO ，8=AD ，求线段CE 的长．
23．在一个不透明的口袋中装有白、黄两种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中
黄球有1个，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为31
.
（1）求袋中白球的个数；
（2）第一次摸出一个球，做好记录后放回袋中，第二次再摸出一个球，请用列表或
画树状图的方法求两次都摸到黄球的概率.
24．如图8，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，BC AE =，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接
DE ．
（1）求证：DF AB =；
（2）若10=AD ，6=AB ，求EDF ∠tan 的值．
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
25．某电器城经销A 型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，
结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元．．，今年销售额只有4万元．．. （1）问去年四月份每台A 型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B 型号彩电.已知A 型号彩电每台进货价为
1800元，B 型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元．．且不少于2.3万元．．
的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？ （3）电器城准备把A 型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B
型号彩电以每台
图7
B
C
A
D
E
F
图8
1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
26．如图9，抛物线k x y ++=2)1(与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）. （1）求抛物线的对称轴及k 的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PC PA +的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限.
①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；
②当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标.
2011年清远市初中毕业生学业考试数学科试题
参考答案与评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.D
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.A 10.C 二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 510x 12.)3(2-x x 13.6- 14. π2 15.乙 16.3
三、解答题：（每小题6分，共30分）
17.解：原式1221
23-+⨯+= ………………………………………………………(4分)
1213-++= ………………………………………………………(5分) 5=. ………………………………………………………(6分) 18.解法一：这里，1=a ，4-=b ，1-=c . …………………………(1分) ∵020)1(14)4(422>=-⨯⨯--=-ac b ， …………………………(2分) ∴522
5
241220)4(±=±=⨯±--=
x ，
…………………………(4分)
即 521+=x ，522-=x . …………………………(6分)
A
B
O x
y
图9
C
解法二：142=-x x ， …………………………………………(1分) 2222124+=+-x x ， …………………………………………(2分) 即 5)2(2=-x . …………………………………………(3分) 52±=-x ，
…………………………………………(4分)
即 52=-x ，或52-=-x . …………………………………………(5分) ∴521+=x ，522-=x . …………………………………………(6分) 19.解：如图5所示：（注：画出△
1B A 1
分，共6分）
20.解：原式1
)1111(
2
-÷+-++=x x
x x x ……………………………………………(1分) x
x x x 1
12-⋅
+= ……………………………………………(2分) x
x x x x )
1)(1(1-+⋅
+= ……………………………………………(3分) 1-=x . ……………………………………………(4分)
当12+=x 时，
原式112-+= ……………………………………………(5分) 2=. ……………………………………………(6分) 21.解：依题意：
在Rt △ACB 中，︒=∠90ACB ，
AB BC
A =sin ， ……………………………………(1分)
∴17.5246
.024
28sin 24sin ≈≈︒==
A BC A
B (米). …………………………………(4分) ∴4.1739.173
17
.52≈==
t （秒）. 答：小明从山脚爬上山顶需要的时间约为4.17秒.…………………………………(6分) 四、解答题：（每小题8分，共24分）
22.(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径，∴︒=∠90D . …………………………(1分) ∵AC 与⊙O 相切，∴︒=∠90CAB . …………………………(2分) 即︒=∠+∠90DAB CAD . ∵C DAB ∠=∠，
∴︒=∠+∠90C CAD .
∴︒=∠90AEO . ∴D AEO ∠=∠. …………………………(3分)
∴OC ∥BD . …………………………(4分) (2)解: ∵︒=∠90AEO ，∴AD OE ⊥.
∴482
1
21=⨯==AD AE . …………………………(5分)
在Rt △OEA 中，︒=∠90AEO ，
∴3452222=-=-=AE OA OE . …………………………(6分) ∵︒=∠=∠90OEA AEC ，DAB C ∠=∠，
∴△ACE ∽△OAE .∴
OE
AE
AE CE =
， …………………………(7分) 即
3
4
4=CE . 解得：3
16
=
CE . …………………………(8分) (注:其它证法可参照本证法给分) 23.解：（1）由黄球有1个，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为3
1
得：
袋中共有乒乓球的个数为：33
1
1=÷（个）. …………………(2分) 所以袋中白球的个数为2个. …………………(3分) （2）解法一：
依题意，列表为：
黄 白 白
黄
（黄，黄） （黄，白） （黄，
白）
白
（白，黄） （白，白） （白，
白） 白
（白，黄） （白，白） （白，
白）
由上表可知，共有9种结果，其中两次都摸到黄球的结果只有1种，
所以两次都摸到黄球的概率为91
. …………………(8分)
解法二：
依题意，画树状图为：
(黄,黄) (黄,白) (黄,白) (白,黄) (白,白) (白,白) (白,黄) (白,白) (白,白) (6分)
由以上树状图可知，共有9种结果，其中两次都摸到黄球的结果只有1种，
所以两次都摸到黄球的概率为9
1
. …………………(8分)
24.（1）证明：在矩形ABCD 中，BC AD =，AD ∥BC ，︒=∠90B .
∵AD ∥BC ，∴FAD BEA ∠=∠. …………………………(1分) ∵DF ⊥AE ，∴︒=∠90DFA .
∴DFA B ∠=∠. …………………………(2分)
……………(6分)
开始 黄 白 白 黄 白 白 黄 白 白 黄 白 白
y A B H
∵BC AE =，BC AD =，
∴AD AE = …………………………(3分) ∴△AEB ≌△DAF
∴DF AB =. …………………………(4分)
（2）解：由（1）可知：6==AB DF ，10==AD AE . …………………………(5分) 在Rt △AFD 中，︒=∠90DFA ，
∴86102222=-=-=DF AD AF . …………………………(6分) ∴2810=-=-=AF AE EF ， …………………………(7分) 在Rt △DFE 中，︒=∠90DFE ，
∴3
1
62tan ===∠DF EF EDF . …………………………(8分)
五、解答题（每小题9分，共18分） 25.解：（1）设去年四月份每台A 型号彩电售价x 元，依题意：
2000
40000
50000=
x . ………………(2分) 解得：2500=x .
经检验，2500=x 是原方程的解. ∴2500=x .
答：去年四月份每台A 型号彩电售价是2500元. ………………(3分) （2）设电器城在此次进货中，购进A 型号彩电a 台，则B 型号彩电)20(a -台，依题意： ⎩
⎨⎧≤-+≥-+.33000)20(15001800,
32000)20(15001800a a a a ………………(5分)
解得：
103
20
≤≤a . 由于a 只取非负整数，所以7=a ，8，9，10. ………………(6分)
所以电器城在此次进货中，共有4种进货方案，分别是： 方案一：购进A 型号彩电7台、B 型号彩电13台； 方案二：购进A 型号彩电8台、B 型号彩电12台； 方案三：购进A 型号彩电9台、B 型号彩电11台；
方案四：购进A 型号彩电10台、B 型号彩电10台. ………………(7分)
（3）设电器城获得的利润为y 元，则y 与a 的函数关系式为：
6000100)20)(15001800()18002000(+-=--+-=a a a y . ……………(8分) ∵6000100+-=a y ，y 随a 的增大而减小，且7=a ，8，9，10. ∴当7=a 时，y 可取得最大值，530060007100=+⨯-=最大y .
因此，当购进A 型号彩电7台、B 型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最
大利润为5300元. ………………(9分)
(注:其它解法可参照本解法给分) 26.解：（1）抛物线k x y ++=2)1(的对称轴为：直线1-=x .…………(1分) ∵抛物线k x y ++=2)1(过点C （0，3-），则k ++=-2)10(3， ∴4-=k .…………(2分)
（2）如图9，根据两点之间线段最短可知，当P 点在线段AC 上就可使PC PA +的值
最小，又因为P 点要在对称轴上，所以P 点应为线段AC 与对称轴直线1-=x 的交点.
由（1）可知，抛物线的表达式为：324)1(22-+=-+=x x x y .
令0=y ，则04)1(2=-+x ，解得：31-=x ，12=x . 则点A 、B 的坐标分别是A （3-，0）、B （1，0）.
设直线AC 的表达式为b kx y +=，则
⎩⎨⎧-==+-303b b k 解得：⎩
⎨⎧-=-=31
b k
所以直线AC 的表达式为3--=x y .…………(3分) 当1-=x 时， 23)1(-=---=y ，
所以，此时点P 的坐标为（1-，2-）. ………… (4分)
（3）①依题意得：
当点M 运动到抛物线的顶点时，△AMB 的面积最大.
由抛物线表达式4)1(2-+=x y 可知，抛物线的顶点坐标为（1-，4-）.
∴点M 的坐标为（1-，4-）. …………(5分)
△AMB 的最大面积84)13(21
=⨯+⨯=∆A M B S . …………(6分)
②方法一：
如图9，过点M 作x MH ⊥轴于点H ，连结AM 、MC 、CB .
点M 在抛物线上，且在第三象限，设点M 的坐标为（x ，322-+x x ），则 OBC OHM C AM H AM C B S S S S ∆∆++=梯形四边形 3121
))(323(21)32)(3(2122⨯⨯+-+--++--+=
x x x x x x 62
9
232+--
=x x …………(7分) 8
75
)23(232+
+-=x . 当23-=x 时，四边形AMCB 的面积最大，最大面积为875
.………(8分) 当2
3-
=x 时，4153)23(2)23(3222-=--⨯+-=-+x x .
∴四边形AMCB 的面积最大时，点M 的坐标为（23-
，4
15
-）. (9分) 方法二：
如图9，过点M 作x MH ⊥轴于点H ，交直线AC 于点N ，连结AM 、MC 、CB . 点M 在抛物线上，且在第三象限，设点M 的坐标为（x ，322-+x x ），则 点N 的坐标为（x ，3--x ），则x x x x x MN 3)32(322--=-+---=.
则AM C ABC AM C B S S S ∆∆+=四边形3)3(21
3)13(212⨯--+⨯+⨯=x x
62
9
232+--
=x x …………(7分) 8
75
)23(232+
+-=x . 当23-=x 时，四边形AMCB 的面积最大，最大面积为875
.………(8分) 当2
3-
=x 时，4153)23(2)23(3222-=--⨯+-=-+x x .
∴四边形AMCB 的面积最大时，点M 的坐标为（23-
，4
15
-）. (9分)。