2024-2025学年上海交大附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)

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交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考
2024.09
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .
2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .
3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为
1
8
，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .
5.已知二项式31n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .
6.不等式21log x x <−+的解集是 .
7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则
{}n a 的公差d 取值范围是 .
8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.
10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=
11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于
9
8
,则q 的取值范围是 .
2
12.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()
i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中
{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。

则m M +的值为 .
二、选择题.(本题共4小题,前2题每小题4分;后2题每小题5分,共18分） 13.若1i −是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根,则a b +的值为（ ）. A.-1 B.1 C.0 D.4 14.在ABC ∆中,若2
0AB BC AB ⋅−=,则ABC ∆的形状一定是（ ）. A.等边三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
15.正方体1111ABCD A B C D −有六个面,每个面有两条对角线,则这十二条对角线所在的十二 条直线中，可以组成异面直线（ ）.
A.24对
B.30对
C.32对
D.64对
16.定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的最小周期分别是1T 和2T ,已知
()()y f x g x =+的最小正周期为1,则下列选项中可能成立的是（ ）. A.121,2T T == B.1213
,24T T ==
C. 1235,44T T ==
D. 123
,32
T T ==
三、解解厥。

（本大题共5小题，满分78分。

请写出必要的证明过程或演算步骤） 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O
，高为2。

(1)求该圆锥的侧面积:
3
(2)设,OA OB 为该圆锥的底面半径,且90,AOB M ∠=为线段AB 的中点,求直线PM 与直线 OB 所成的角的余弦值.
18.（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 已知()22,f x x x a a =+−为常数。

(1)若()y f x =为偶函数,求a 的值; (2)设()()0,f x a g x x
>=，若函数()(],0y g x x ,a =∈为减函数，求实数a 的取值范围。

4
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地面积为1万平方千米，其中70%的面积是沙 漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把上一年沙漠面积的16%改造为绿洲，同时上 一年绿洲面积的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第n 年绿洲面积为n a 万平方米. （1）求第n 年绿洲面积n a 与上一年绿洲面积()12n a n −≥的关系; （2）至少经过几年,绿洲面积可超过60%?
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20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆()2
211x y +−=的圆心的直线交抛物线与圆 分别为,,,A C D B （从左到右）。

(1)若抛物线的焦点与圆心重合,求抛物线的方程; (2)若抛物线和圆只有一个公共点,求p 的取值范围;
(3)在(1)的条件下, ,AOC BOD ∆∆的面积满足:4AOC BOD S S ∆∆=,求弦AB 的长.
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21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞,若存在常数0T >,使得对任意的()0x ,∈+∞,都有
()()f Tx f x T =+,则称函数()y f x =具有性质()P T . （1）若函数()y f x =具有性质()3P ,求: ()()31f f −的值;
（2）设()12
f x lo
g x =,求证:存在常数0T >,使得()y f x =具有性质()P T ;
（3）若函数()y f x =具有性质()P T ,且()y f x =的图像是一条连续不断的曲线,求证:函 数()y f x =的值域为R .
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参考答案
一、填空题
1.3a ≥;
2.()2,2;
3.8;
4.4;
5.4;
6. ()0,1;
7. 1d >;
8.-1;
9.36; 10.
32
π
；
11(
)
,−∞⋃+∞.
12. 612
−
11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于
9
8
,则q 的取值范围是 .
【答案】(
)
,−∞⋃+∞
【解析】298
d =
=
=
≥
>
(
)
424990,q q q −−>⇒∈−∞⋃
+∞
12.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为
12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()
i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中
{}{}{}{}12345,12345i,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。

则m M +的值为 .
【答案】612
−
【解析】当{}{}
,,,,i j k a a a AC AD AE =时，i j k a a a ++最大，为5； 对应的取{}{}
,,r s t d d d DB DA DF ++=，r s t d d d ++最大，为5；
且二者反向，故25m =−.当{}{}
,,,,i j k a a a AB AC AF =时，i j k a a a ++最小； 对应的取{}{}
,,r s t d d d DB DC DE ++=，r s t d d d ++最小； 可验证，两者数量积最大.
记123,,AB e AF e BC e ===,故()()
13
2
311222M e e e
e =−++=−
,所以m M +=612
−.
8
二、选择题
13.C 14.D 15.B 16.D
15.正方体1111ABCD A B C D −有六个面,每个面有两条对角线,则这十二条对角线所在的十二 条直线中，可以组成异面直线（ ）.
A.24对
B.30对
C.32对
D.64对 【答案】B
【解析】每条面对角线都有另外5条面对角线与之形成一对异面直线，所以有125
302
⋅= 对异面直线。

16.定义在R 上的函数()y f x =和()y g x =的最小周期分别是1T 和2T ,已知()()y f x g x =+的最小正周期为1,则下列选项中可能成立的是（ ）.
A.121,2T T ==
B.1213
,24T T ==
C. 1235
,44
T T == D. 123,32T T ==
【答案】D
【解析】由题意，1T 和2T 的共同倍数一定是()()y f x g x =+的周期，()()y f x g x =+的 周期一定能被其最小正周期整除. 可排除ABC. 三．解答题
17.（1
） （2
18.（1）0
a = （2）02a <≤
19.（1）()1424
,255
n n a a n N n −=+∈≥ （2）6年
20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过圆()2
211x y +−=的圆心的直线交抛物线与圆 分别为,,,A C D B （从左到右）。

(1)若抛物线的焦点与圆心重合,求抛物线的方程;
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(2)若抛物线和圆只有一个公共点,求p 的取值范围;
(3)在(1)的条件下, ,AOC BOD ∆∆的面积满足:4AOC BOD S S ∆∆=,求弦AB 的长.
【答案】（1）24x y = （2）1p ≥ （3）9
2
AB =
【解析】(1)由F 为圆()2
211x y +−=的圆心可知:()01.F ,又抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,所以
12
p
=,解得:2p =.所以抛物线的方程为24x y =. （2）()()222
2222002211
x py
y p y y y p x y ⎧=⎪⇒+−=⇒==−⎨+−=⎪⎩ 由题意2201p p −≤⇒⇒ （3）设A ()()1122,,,A x y B x y
因为4AOC BOD S S ∆∆=且两个三角形等高,所以4AC BD =.
因为()()()1
AC BD AF CF BF DF AF BF AF BF ⋅=−⋅−=⋅−++
()()()121212111111y y y y y y =++−++++==
由41AC BD AC BD ⎧=⎪⎨⋅=⎪⎩
，解得21
2
AC BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以192222AB =++= 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞,若存在常数0T >,使得对任意的()0x ,∈+∞,都有
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()()f Tx f x T =+,则称函数()y f x =具有性质()P T . （1）若函数()y f x =具有性质()3P ,求: ()()31f f −的值;
（2）设()12
f x lo
g x =,求证:存在常数0T >,使得()y f x =具有性质()P T ;
（3）若函数()y f x =具有性质()P T ,且()y f x =的图像是一条连续不断的曲线,求证:函 数()y f x =的值域为R .
【答案】（1）()()313f f −= （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）函数()f x 具有性质()3P ,所以对任意()0x ,∈+∞,都有()()33f x f x =+ 令1x =,则()()313f f =+,所以()()313f f −=； （2）证明:函数()f x 具有性质()P T 的可知: 存在0T >,使得()112
2
log Tx log x T =+,即12
log T T =，
设()12
g x log x x =−易知()g x 在()0,+∞上单调递减,
因为()111110,10222g g ⎛⎫
=−<=−=> ⎪⎝⎭
,所以在区间112,⎛⎫ ⎪⎝⎭上函数()g x 存在零点0x ,
取0T x =,则12
log T T =,此时函数()f x 具有性质()P T ；
（3）反证法. 令()()g x f x c =−.
情况一：()0g x >恒成立()()()1110,1,...,1n g g g T g g nT T T ⎛⎫⎛⎫
⇒>=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
取()11g n T ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
，则()()()
111,10n g g n g g T T T T ⎛⎫><−⋅= ⎪⎝⎭，这与()0g x >恒成立矛盾. 情况二：()0g x <恒成立()()()1110,1,...,1n g g g T g g nT T T ⎛⎫⎛⎫
⇒<=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
取()11g n T ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
，则()()()()11,10n g g n g T g T T T >−>−⋅=，这与()0g x <恒成立矛盾. 综上所述，假设不成立.。