高考概率与统常考点解析

高考概率与统计常考点解析
概率、统计是每年高考的重点考查内容之一，在近几年新课标各省市的高考试卷中，一般命制1～2道题，在整套试卷中占12～17分左右，一般有一道选择题或填空题和一道解答题，在选择题或填空题中往往单独考查古典概型和几何概型，在解答题中往往是概率与统计综合考查．命题特点是：(1)强化应用意识．试题一般以应用题的形式呈现，例如2011年山东高考题以我们的日常生活和社会热点为背景，重在考查应用数学的能力．(2)注重综合能力，尤其加强对数学符号使用能力的考查．下面简要分析了近年来高考中概率与统计的常考点：
考向一：抽样方法：
考查抽样方法及抽样中的计算．应抓住各种抽样方法及各自特点．对于分层抽样，与其有关计算在高考试题中较常见，难度较低，关键抓住按怎样的比例分层．【示例1】►(2011·天津)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析: 本题主要考查用分层抽样抽取样本的问题，分层抽样是随机抽样常用的方法之一，其特点是样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等．
抽取的男运动员的人数为
21
48＋36
×48＝12.
反思：本题考查了分层抽样方法在解决实际问题中的应用，注重考查了考生的实际应用能力．
考向二：频率分布直方图的考查：
考查频率分布直方图的识图与计算．重点考查看图、识图的能力，对频率分布直方图中各参数的认识，以及在统计学中样本对总体的估计作用．
延伸(1)频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．注意频率分布直方图
中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频率
组距
＝频率．
(2)各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1.
(3)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分
布的总体态势．
(4)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容．
【示例2】►(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)， [130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________． 解析: 根据频率之和等于1，可知
＋＋＋a ＋×10＝1，解得a ＝；身高在[120,150]内的频率为，人数为60人，抽取比例是1860，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×18
60＝3人．
反思：本题主要考查频率分布直方图的应用、考生的识图与用图能力，同时也考查了考生的数据处理能力和分析解决问题的能力．
考向三：有关茎叶图的考查考查：
茎叶图的识图与计算．高考常借助样本的数字特征，频率分布直方图、茎叶图来考查考生的绘图、识图和计算能力．
延伸 (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示；
(2)茎叶图只便于表示两位(或一位)有效数字的数据，对位数多的数据不太容易操作；而且茎叶图只方便记录两组数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组数据那么直观、清晰；
(3)茎叶图对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
【示例3】►(2010·天津)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.
解析: 由茎叶图可知甲的平均数为
乙的平均数为
反思：本题考查茎叶图和平均数的基本知识，考查观察能力和计算能力，属于基本题．茎叶图是近几年考查的热点之一，常与平均数、方差、中位数和众数联合考查．
考向四：有关样本的数字特征的考查
考查样本的数字特征的计算．中位数、众数、平均数、标准差(方差)是进行统计分析的重要数字特征，是高考的常考点．我们不但要熟练掌握公式进行计算，还要理解公式的本质及联系．
【示例4】►(2011·南京模拟)对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31； 乙：33,29,38,34,28,36. 根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
解析: 根据统计知识可知，需要计算两组数据的x 与s 2，然后加以比较，最后作出判断．
∵x 甲＝1
6
×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
x 乙＝1
6
×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，
s 2甲＝16
×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2
]
＝16×94＝1523
，
s 2乙＝1
6
[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2
]
＝16×76＝1223
. ∴x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙.
由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
反思：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定．
考向五：变量的相关性：
虽然任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到具有实际价值的回归直线方程；线性相关系数可以为正、为负或为零，线性相关系数为正时是正相关，为负时是负相关，反之也成立． 【示例5】►(2011·江西)变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，,2)，,3)，,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，,4)，,3)，,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )．
A ．r 2＜r 1＜0
B ．0＜r 2＜r 1
C ．r 2＜0＜r 1
D ．r 2＝r 1
解析：对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2＜0，所以有r 2＜0＜r 1.故选C.
反思：本题主要考查两个变量间的线性相关性、线性相关系数以及正相关、负相关等概念．利用正相关、负相关求解是问题得到解决的关键所在．
考向六：回归分析：
对于回归分析，要理解其基本思想方法，建立回归直线方程的基本思想是使通过建立的方程得到的估计值和真实值之差的平方和最小，无论建立的是什么样的回归方程(直线的和曲线的)，由这个回归方程得到的预报变量的值只能是估计值，或者说是在大量的重复情况下得到的数值的平均值，这个值不是精确值，这就是回归分析中建立的函数模型与通常意义下的函数模型的不同之处，也是统计思维和确定性思维的差异所在．
【示例6】►(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份20052006200720082009 收入x 1315
支出Y 1012
均支出有________线性相关关系．
解析：由表可以得到中位数为13，画出散点图，可知成正相关关系．
反思：本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力．
考向七：独立性检验：
独立性检验中统计量K2的计算公式中分母是列联表中除了总合计的四个合计量的乘积，分子是总合计量与样本频数中四个数交叉乘积之差的平方的乘积．解题时要对照公式正确使用列联表中的数据．
【示例7】►(2011·湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
爱好402060
不爱好203050
总计6050110
由 R2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，K2＝
2
60×50×60×50
≈.
附表：
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运运与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析: 据独立性检验的思想方法，可知正确选项为A.
反思：本题考查独立性检验的定义，考查学生分析数据的能力，属容易题．
考向八：古典概型：
古典概型是一种最基本的概率模型，在概率部分占有相当重要的地位．从近年各省市的概率考题来看，古典概型是高考的一个热点．
在解答题中常与统计综合，考查基本概念和基本运算，解答时对数学符号的运用要加以重视．对于较为复杂的基本事件空间，列举时要按照一定的规律进行，做到不重不漏．
【示例8】►(2011·江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解析：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种.
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件，则
(1)P(D)＝
1 10；
(2)P(E)＝3
5
，P(F)＝P(D)＋P(E)＝
7
10
.
反思：本题型主要弄清题干中的事件的基本事件个数，一般可以列举出每个事件，从而得到结果．
考向九：互斥事件的概率加法公式：
概率加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些较为复杂的事件的概率，运用该公式的关键是分清事件之间是否为互斥的关系，高考题中涉及的事件一般都不复杂，容易辨别，属于中低档题．另外，此类试题往往与统计综合考查，例如2011年陕西高考题．认真审题是正确解决该类问题的前提条件．【示例9】►国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
(1)射中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率
解析：记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝＋＝.
(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝＋＋＝.
(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
反思：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，
即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接求解法就显得较简便．
考向十：几何概型：
几何概型也是一种基本的概率模型，几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有：长度、面积、体积等，解决该类问题的关键是找准几何度量．例如2011年福建高考题涉及的几何度量就是面积．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主．
【示例10】►(2009·山东)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0
到1
2之间的概率为( )．
解析 在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cos
πx
2
的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根
据几何概型的计算公式可知P ＝2×
13
2＝1
3
.
反思：解答本题要抓住它的本质特征，即与长度有关．
考向十一：概率统计初步综合问题：
概率统计是高中数学中与实际生活联系最紧密的部分，因此，高考越来越重视对概率统计的考查，把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋向．概率统计初步综合解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法．
【示例11】►(2011·天津)编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(2)
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
解析：(1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A
13
}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．
②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．
所以P(B)＝
5
15
＝
1
3
.
反思：本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．。