18学年高中数学课时跟踪训练(五)变化的快慢与变化率北师大版选修2_2

课时跟踪训练(五) 变化的快慢与变化率
1．设函数y ＝f (x )＝x 2
－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A ．2.1
B ．1.1
C ．2
D ．0 2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，Δs Δt
为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度
B ．在t 时刻物体的瞬时速度
C ．当时间为Δt 时物体的速度
D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2
＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )
A ．4
B ．13
C ．15
D ．28 4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18
t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2
B ．1 C.12
D.14 5．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为________．
6．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 7．已知函数f (x )＝2x 2
＋3x －5.
(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx
； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx
.
8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：
s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t 2＋2， t ≥3，29＋t －2， 0≤t ＜3.求：
(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
答 案
1．选A
Δy Δx ＝f －f 1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．选B Δs Δt
中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 3．选C Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.
∴Δs Δt ＝153－2
＝15. 4．选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18
Δt ，当Δt 无限趋近于0时，12＋18Δt 无限趋近于12，因此t ＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为12
，故选C.
5．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝－2＋Δx 2－－2＋Δx ＋1－
＋4＋Δx ＝Δx －6.
答案：Δx －6
6．解析：因为Δs Δt ＝s ＋Δt －s Δt ＝1＋Δt 2
－14
Δt ＝－4＋Δt
＋Δt 2，
当Δt →0时，Δs Δt →－14，所以质点在t ＝2时的速度为－14.
答案：－14
7．解：f (x )＝2x 2＋3x －5，
∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)
＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2×x 2
1＋3×x 1－5)
＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .
(1)当x 1＝4，Δx ＝1时，Δy ＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴Δy
Δx ＝211＝21.
(2)当x 1＝4，Δx ＝0.1时，
Δy ＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴Δy
Δx ＝1.920.1＝19.2.
8．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为
Δt ＝5－3＝2，
物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs
Δt ＝482＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝29＋＋Δt －2－29－－2
Δt ＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，Δs
Δt 趋于－18，
∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝29＋＋Δt －3]2－29－－2Δt ＝3Δt －12，
当Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.。