2019大一轮高考总复习文数讲义：第08章 立体几何 第2节 空间几何体的表面积和体积 含答案 精品

第二节 空间几何体的表面积和体积
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
1. 辨明三个易误点
(1)求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．
(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
(3)易混侧面积与表面积的概念．
2．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
3．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()
(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()
(3)球的体积之比等于半径比的平方．()
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()
(5)长方体既有外接球又有内切球．()
(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()
答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×
2．(2018·大连双基测试)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()
A ．16
3π
B ．323π
C ．16π
D ．24π
解析：选B 设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2.所以体积为43πR 3＝32π3
. 3．(教材习题改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A ．1 cm
B ．2 cm
C ．3 cm
D ．3
2
cm
解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2 cm.
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A ．1
B ．1
2
C ．13
D ．16
解析：选D 由三视图可知，该几何体为三棱锥，V ＝13Sh ＝13×12×1×1×1＝1
6，故选D ．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
表面积为2×2＋2×1
2
×π×12＋π×1×2＝4＋3π.
空间几何体的表面积 [明技法]
空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． [提能力]
【典例】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：(1)观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×1
2×(2＋4)×2＝12.故选
B ．
(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×1
2×2×3×h ＝23，∴h
＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×1
2
×2×2＝12.
答案：(1)B (2)12 [刷好题]
1．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是( )
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π
解析：选A 由三视图可得此几何体为一个球切割掉1
8后剩下的几何体，设球的半径为
r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋3
4
πr 2＝17π，选A ．
2．(2018·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．
解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋1
2
×2π×1＝26.
答案：26
空间几何体的体积 [析考情]
空间几何体的体积是高考中的高频考点，主要有以下两个方面：一是求简单几何体的体积，二是求组合体的体积，三是由三视图求相关几何体的体积. 各种题型均有可能考查，难度中低档，分值约5分．
[提能力]
命题点1：求简单几何体的体积
【典例1】 (2018·潍坊模拟)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )
A ．3
12 B ．34 C ．
6
12
D ．
64
解析：选A 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为
32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 命题点2：求组合体的体积
【典例2】 (2018·唐山模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )
A ．
2
3
B ．
3
3
C ．4
3
D ．32
解析：选A 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，
容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝3
2，
∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝2
4
，
∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝2
3.故
选A ．
命题点3：与三视图有关的几何体的体积
【典例3】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
解析：选B 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1
2，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋
π×32×6×1
2
＝63π.故选B ．
方法二 (估值法)由题意知，1
2
V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几
何体
<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． [悟技法]
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进
行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法
等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[刷好题]
1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A ．1
6
B ．1
3
C ．1
2
D ．1
解析：选A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，通过侧视图得高h ＝1，通过俯视图得底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝1
6
.
2．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝1
3π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.
答案：7
与球体有关的切、接问题 [明技法]
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．
[提能力]
【典例】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )
A ．4π
B ．9π
2
C ．6π
D ．32π3
解析：选B 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10，要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .
则12×6×8＝1
2×(6＋8＋10)·r ，则r ＝2. 此时2r ＝4＞3，不合题意．
因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大． 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92
π.
[母题变式1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．
解：将直三棱柱补形为长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′， 则球O 是长方体ABEC -A ′B ′E ′C ′的外接球， ∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．
因此2R ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πR 2＝169π.
[母题变式2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
解：如图，设球心为O ，半径为r ，
则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝9
4，
则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×(94)3＝243π
16.
[刷好题]
(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π
B ．3π
4
C ．π
2
D ．π4
解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝
12－⎝⎛⎭⎫122＝32.
∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π
4.故选B ．。