福建省惠安惠南中学高三数学12月份月考试卷B

惠南中学2008届高三年12月份月考数学试卷
（函数及导数应用、数列、三角函数）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）
1. 设方程2
0x px q --=的解集为A ，方程2
0x qx p +-=的解集为B,若{}1A B ⋂=，
则p+q=
A 、２
B 、０
C 、１
D 、－１
2．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i i i
+=++，则θ 的值为（ ）
A ．
32π B ．2π C ．3π D ．6
π 3．函数()3(02)x
f x x =<≤的反函数的定义域为（ ）
Ａ．(0)+∞，
Ｂ．(1
9]，
Ｃ．(01)，
Ｄ．[9)+∞，
4．函数2
1
cos cos sin 32
-+=x x x y 的最小正周期是
A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ． π2 5. 已知:14p x +≤,2
:56q x x <-,则p 是q 成立的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6. 已知x a a a x
log 10=<<，则方程的实根个数是
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、1个或2个或3个
7．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =
Ｃ．3AO OD =
Ｄ．2AO OD =
8．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )
()A 直角三角形
()B 等腰三角形
(C)等腰直角三角形
(D)正三角形
9．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，则n 的最大值为（ ） A ．17 B ．18
C ．20
D ．23
10. 曲线y=x sin x 在点)2
,2(π
π-
处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为（ ）
A. 2
2
π B. 2π Ｃ. 22π D. 2)2(21π+
11．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜
4
π
时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A.（0，1）
B.（∞-，0）
C.（∞-，1）
D.（∞-，
2
1
） 12. 如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是：（ ）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.22132
lim 1
x x x x →-++-的值等于__________________.
14．设数列｛a n ｝的通项为a n =2n -7 (n ∈N )，则|
a
1|+|a 2|+……+|a 15|= .
15．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 。

A
B
C
D
O
N Q m
K
M
P
16. 随机变量ξ的分布列如下：
其中a b c ，，成等差数列，若3
E ξ=，则D ξ的值是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（06北京卷）（本小题满分12分）
已知函数f (x )=
x
x
cos 2sin 1-
(Ⅰ)求f (x )的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=3
4
-，求f (α)的值.
18.（06安徽）（本小题满分12分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，1
23n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
（I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
19．（本小题满分12分）
设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．
（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，
∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x
x a x >-+．
20.（07山东）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的
北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20
海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒
方 向的2B 处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
21．（06湖北卷）（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设1
1n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *
∈都成立的最小正
整数m ；
22．（07浙江）（本题14分）已知22
()|1|f x x x kx =-++． （I ）若2k =，求方程()0f x =的解；
（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，
上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12
11
4x x +<
[参考答案]
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）
1-6 CDBCAB 7-12 ABDCCC
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 1x 21lim
x 12x →－＋＝－－ 14. 153 15. )3log ,(a -∞ 16. 5
9
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 解：(Ⅰ)由cos x ≠0得x ≠k π+
2π（k ∈Z ) 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2
π
,k ∈Z ｝. (Ⅱ)因为tan α=34-,且α是第四象限的角, 所以sin α=5
4-,cos α=53
,
故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα- =
43
12555
⎛⎫-⨯-⨯
⎪⎝⎭ =1549. 18.解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于
21a a c -=，322a a c -=，
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=．
又12a =，2c =，故2
2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．
当1n =时，上式也成立， 所以2
2(12)n a n n n =-+=，，．
19．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值
(2)22ln 22F a =-+．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．
于是由上表知，对一切(0)x ∈+，
∞，恒有()()0F x xf
x '=>． 从而当0x >时，恒有()0
f x '>，故()f x 在(0)+，
∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x
a x >-+．
20.解：如图，连结12
A B ，22A B =1220
10260
A A =
⨯=， 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，
在121A B B ∆中，由余弦定理得
22212111211122
2
2cos 4520220200
2
B B A B A B A B A B =+-⋅︒
=+-⨯⨯=， 12B B =因此乙船的速度的大小为
6020
=答：乙船每小时航行302海里. 21．（06湖北卷）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设1
1
n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正
整数m ；
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考
查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]
)1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13
+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61561(
21+--n n ， 故T n ＝∑=n
i i b 1
＝
21
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使
21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.
22．（07浙江）（本题14分）已知2
2
()|1|f x x x kx =-++．
（I ）若2k =，求方程()0f x =的解；
（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，
上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12
11
4x x +<． （22）本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 2
2
()|1|20f x x x x =-++=
① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22
210x x +-=
解得x =
01<<，舍去，
所以12
x -=
． ②当2
10x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x += 解得12
x =-
， 由①②得当k ＝2时，方程()0f x =
的解所以x =12x =-．
(II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，
因为22 1 ||1
() 1 ||1
x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩
所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解，
若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝－1
2
＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由1()0f x =得1
1
k x =-
， 所以1k ≤-； 由2()0f x =得22
1
2k x x =-， 所以712k -<<-；
故当7
12
k -
<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 因为0＜x 1≤1＜x 2＜2，所以1
1k x =-
，2
2221x kx +-＝0 消去k 得 2
121220x x x x --= 即
212
11
2x x x +=， 因为x 2＜2，所以
12
11
4x x +<．。