积分变限函数求导公式

积分变限函数求导公式
分变限（IntegrationByParts）是一种利用积分计算积分形式的方法，它可以将复杂的积分问题简化为计算几个基本函数的积分问题。

积分变限有许多应用，例如估计确定型积分，解决积分方程以及分析带有参数的变分问题等。

在学习积分变限的过程中，求导是一个重要部分。

首先，让我们来看看积分变限的求导公式。

对于二元函数
$f(x,y)$，积分变限的求导公式为：
$$frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} int_{a}^{b} f(x,y)
mathrm{d}y = f(x,b)-f(x,a) + int_{a}^{b}
frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$$
这里，$a$和$b$是某一区间$[a,b]$上$f(x,y)$的定义域中的两
端点，$f(x,y)$是在定义域内有定义的函数，
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$是此函数在定义域内的变量$x$的偏导数。

从上述公式中，可以看出，积分变限的求导结果分为两部分：首先，计算$f(x,b)-f(x,a)$，其结果即为上式右端第一项；其次，计
算$int_{a}^{b} frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，其结果即为上式右端第二项。

若要求出上式右端第二项，即$int_{a}^{b}
frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，就需要求出函
数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，将其
代入上式，即可求得积分变限的求导结果。

为了求得函数$f(x,y)$的偏导数
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，我们需要使用泰勒展开公
式（Taylor’s Formula）。

泰勒展开公式是个关于多变量函数的展开公式，它可以把一个具有多个变量的函数展开为更多函数的和。

当我们使用泰勒展开公式来求函数$f(x,y)$的偏导数
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$时，该公式为：
$$f(x,y)=f(x_0,y_0) + frac{partial f(x_0,y_0)}{partial x}(x-x_0) + frac{partial f(x_0,y_0)}{partial y}(y-y_0) +
frac{1}{2!}frac{partial^2 f(x_0,y_0)}{partial x^2}(x-x_0)^2 + frac{1}{2!}frac{partial^2 f(x_0,y_0)}{partial
y^2}(y-y_0)^2 + cdots$$
其中，$x_0$、$y_0$为某一点$(x_0,y_0)$，$frac{partial
f(x_0,y_0)}{partial x}$为此处的$x$偏导，$frac{partial
f(x_0,y_0)}{partial y}$为此处的$y$偏导，$frac{partial^2
f(x_0,y_0)}{partial x^2}$为此处的$x$二阶偏导，
$frac{partial^2 f(x_0,y_0)}{partial y^2}$为此处的$y$二阶偏导，$cdots$为更高阶的偏导数。

从上式可见，求出函数$f(x,y)$的$x$偏导数
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$只需在函数$f(x,y)$的定义
域内选择$(x_0,y_0)$，将此处的$x$偏导$frac{partial
f(x_0,y_0)}{partial x}$代入上式，即可得出函数$f(x,y)$的$x$偏
导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$。

另外，从常用的泰勒展开还可发现，当$x$变量相对$y$变量改变不大时，函数$f(x,y)$的偏导数
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$趋于一定的常数，此时可以运用泰勒展开第一项和第二项（即$f(x_0,y_0)$和$frac{partial f(x_0,y_0)}{partial x}$）在定义域内做线性近似，从而计算出函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$。

总之，积分变限的求导方法由两部分组成，首先要计算
$f(x,b)-f(x,a)$；其次，计算$int_{a}^{b}
frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x} mathrm{d}y$，并需要求解函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$，而求解$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$的方法有：首先，使用泰勒展开公式求函数$f(x,y)$的偏导数
$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$；其次，当$x$变量相对$y$变量改变不大时，可以运用泰勒展开第一项和第二项的线性近似来求函数$f(x,y)$的偏导数$frac{mathrm{d}f(x,y)}{mathrm{d}x}$。

以上就是积分变限求导的基本原理及具体求解方法，希望读者能够对积分变限求导有一个更深入的了解。