人教B版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第五章 数列 培优课 等差数列习题课 分层作业册

2
d=3,所以
2.[探究点一·2023河南郑州高三阶段练习]已知数列{an}是各项均为正数的
等差数列,a5=10,且a4a6=96,则其公差为( B )
A.-2
B.2
C.-2或2
D.4
解析 设等差数列{an}的公差为d,由题可知d>0.
∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),
令n=2,可得a1+a2=S2=22×(2+1)+1,解得a2=10.
(2)因为Sn=n2(n+1)+1,
则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=[n2(n+1)+1]-[(n-1)2n+1]=3n2-n,
且由(1)知,a1=3不满足上式,
3, = 1,
所以 an=
32 -, ≥ 2.
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成的新数列{an}为以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为
(-1)
n×1+
×6=3n2-2n.
2
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10.[探究点四]数列{an}是首项为23,公差为-4的等差数列.
(1)当an>0时,求n的取值范围;
2
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11.[探究点二·2023安徽师范大学附属中学高二阶段练习]已知数列{an}前n
项和Sn满足Sn=n2(n+1)+1.求:
(1)a1,a2;
(2)数列{an}的通项公式.
解 (1)因为Sn=n2(n+1)+1,
令n=1,可得a1=S1=1×2+1=3,
(2)由
3 63
an=2n- 2 ≤0,得
∴当 n≤21
n≤21.
3
时,Tn=-Sn= (41n-n2).
4
当 n>21 时,
3 2
Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an=Sn-2S21= (n -41n)+630.
4
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(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;
(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.
解(1)设数列{an}的公差为d.
∵a16+a17+a18=a9=-18,
17 - 9
∴a17=-6,∴d= 17-9
=
3
,
2
∴a1=a9-8d=-30,
3 63
3 2 123
∴an=2n- 2 ,Sn=4n - 4 n.
为Sn,S35<0,S36>0,若对任意正整数n,都有Sn≥Sk,则整数k=
.
解析
又
35( 1 + 35 )
在等差数列{an}中,S35=
=35a
18<0,则
2
36( 1 + 36 )
S36=
=18(a18+a19)>0,则
2
a18<0.
a18+a19>0,即有 a19>-a18,
于是数列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是递增数列,其前18项均为负数,从
解析 由于S5<S6,S6=S7>S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a8<0,所以
d<0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,所以S9<S6,所以C选
项错误.故选C.
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4
3
4
3
2
12
47
时,a1=S1= ,不满足上式,
12
∴数列{an}不是等差数列.
17
47
∵a2=12 <a1=12 ,
∴数列{an}不是递增数列.
1
5 47 1
5
2a5-a1-a9=2×( ×5+ )- -( ×9+ )=-3≠0,
2
12 12 2
12
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∴等差数列{an}的公差为2.
故选B.
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3.[探究点四]设数列{an}是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且
S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是( C )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S6
D.S6与S7均为Sn的最大值
3
.
9.[探究点一]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},
2-2n
3n
则{an}的前n项和为
.
解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶
数项均为偶数.显然{3n-2}中的所有奇数项均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}
与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列组
2

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2
+1
.
解析 因为 a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n,
以上 n 个式子累加,得
则
(+1)
an=1+2+3+…+n=
,
2
5×6
a5= 2 =15.
1
因为

1
1
+1
A级
必备知识基础练
1.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a1=
1
3
,a1+a6=4,an=37,则n的值为
( C )
A.50
B.49
C.56
解析 设数列{an}的公差为 d.因为
1
2
an= +(n-1)× =37,所以
3
3
D.51
1
a1+a6=2a1+5d=4,a1=3,所以
n=56.
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∴S10=10a1+
10 × 9
d=-20+45=25.
2
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6.[探究点四]在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn
为最小时,n的值为
12
.
解析 由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根据等差数列的性质,
+1

不是等差数列,故 C 不正
确;
由题可知an+1是an与an+2的等差中项,所以2an+1=an+an+2,故D正确.
故选ABD.
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13.已知数列{an}的前n项和
1 2 2
Sn= n + n+3(n∈N+),则下列结论正确的是
的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为
解析 由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,
∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数
时,an=2,∴a18=3.
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解析 因为数列{an}是公差为d的等差数列,所以an+1-an=d,即an+1=an+d,所以
A正确;
因为an+1-an=d,所以(-an+1)-(-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;
1
1
−
+1

=
- +1
+1
=
-
1
,不是常数,所以数列
a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,又a1<0,从而a12<0,a13>0,故Sn的
最小值为S12.
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7.[探究点四·2023福建福州第一中学高二期末]设等差数列{an}的前n项和
18
4.[探究点一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一
天多走d千米,九天他一共行走了1 260千米,求d的值.关于该问题,下列结论
错误的是( A )
A.d=15
B.此人第二天行走了110千米
C.此人前七天共行走了910千米
D.此人前八天共行走了1 080千米
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
≤ 0,
设前 n 项和的最小值为 Sk(k∈N+),则
+1 ≥ 0,
即
3 63
≤
0,
2
2
3
63
( + 1)- 2
2
∴k=20 或 k=21.
≥ 0,
故当n=20或21时,Sn取最小值,最小值为S20=S21=-315.
对;
080,D 对.
故选 A.
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5.[探究点一]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则
25
S =
.
10
解析 设等差数列{an}的公差为d.
∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1,
16.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足 62 =a1a21.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an,且b1=3,求数列
1

解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
61 + 15 = 60,
= 2,
则
2 解得 = 5.
4
3
( D )
A.数列{an}是等差数列
B.数列{an}是递增数列
C.a1,a5,a9成等差数列
D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列
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解析 当 n≥2
当 n=1
1 2 2
1
1
5
2 2
时,an=Sn-Sn-1= n + n+3-[ (n-1) + (n-1)+3]= n+ ;
∴a1,a5,a9 不成等差数列.
1
5
35
S6-S3= ×(4+5+6)+ ×3= ,
2
12
4
1
5
53
S9-S6=2×(7+8+9)+12 ×3= 4 ,
1
5
71
S12-S9=2×(10+11+12)+12 ×3= 4 ,
53×2
∴ 4
−
35
4
−
71
=0,
4
∴S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.
故选D.
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14. [2023江苏南通高二期末]如图的形状被称为“三角垛”.已知某“三角垛”
的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层(从上往下)
球数组成一个数列{an},则 a5=
15
1
;
1
1
1
+ +…+ =
=
2
1
1
=2 - +1
(+1)
2
=2-+1
=
1
,所以
1
+
1
1
+…+ =2
2

2
.
+1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
1- 2
+
1 1
2 3
+…+
15.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.
1 (1 + 20) = (1 + 5) ,
1
则an=2n+3.
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第19项起为正数,
因此Sn的最小值为S18,所以对任意正整数n,都有Sn≥S18,所以k=18.
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8.[探究点三]“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项
的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列
解析 设此人第n(n∈N+)天走an千米,则数列{an}是公差为d的等差数列,记
数列{an}的前n项和为Sn,
1 = 100,
由题意可得
解得 d=10,A 错;
9 = 91 + 36 = 1 260,
a2=a1+d=110,B 对;
6×7
S7=7a1+ 2 d=910,C
7×8
S8=8a1+ 2 d=1
B级
关键能力提升练
12.(多选题)[2023山东菏泽高二阶段练习]已知数列{an}是公差为d的等差
数列,则下列说法正确的是( ABD )
A.an+1=an+d
B.数列{-an}是等差数列
C.数列
1

是等差数列
D.2an+1=an+an+2
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(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值.
解(1)由题可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,
3
∴n<6 .
4
又n是正整数,∴n的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.
(2)由(1)知n≤6时an为正数,n≥7时an为负数,所以Sn的最大值为