极限的求法综述
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一
ｌ ｉ ｍ ｚ ＝ ａ ， 则有ｌ ｉ ｍ ｙ ＝ ａ ．
ｘ＿ ∞ 。 。
ｘ一
∞
”
利 用 夹 逼 准 则求 极 限关 键 在 Ｔ ｇ ， ｘ 的表 达 式 中 ， 通 常 通 过
放 大 或 缩 小 的 方 法 找 出 两个 有 相 同极 限值 的 数 列 ｛ ｙ ｝ 和｛ ｚ ｌ ， 使
当变 形 ， 使之具有相应的形式 ， 有 时也 可 通 过 变 量 替 换 使 问题
简化 ． 三、 利 用 夹逼 准则 求 极 限 夹逼 准则 ： 若 一 正 整 数 Ｎ， 当ｎ ＞ Ｎ Ｉ ｔ ￣， ＂ ｉｘ ｆ ≤ｙ ≤ｚ ￣ ． １ ｉ ｍｘ ＝
极 限法 在 现 代 数 学 乃 至 物 理 等学 科 中有 着 广 泛 的应 用 ． 这 是 由它 本 身 固有 的 思 维 功 能 所 决 定 的 ． 极 限 法 揭 示 了变 量 与常量 、 无 限 与有 限 的对 立统 一 关 系 ． 是 唯 物 辩 证 法 的对 立 统 规 律 在 数 学 领 域 中 的应 用 ． 借助极 限法 ． 人 们 可 以从 有 限认 识无 限 ， 从“ 不变 ” 认识 “ 变” ， 从 直 线 形 认 识 曲线 形 ， 从 量 变 认 识质变 ． 从 近似 认 识 准 确 ． 极 限的原始思想 可追溯 到古代． 在 中国 ， 公 元前４ 世 纪 的
ห้องสมุดไป่ตู้
六、 利用 无 穷 小 量 的 性 质 求极 限 无 穷 小量 的性 质 ：无 穷 小 量 与 有 界 量 的 乘 积 还 是无 穷小 量． 如果 ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） ＝ ０， ｇ （ ｘ ） 在某 区间（ Ｘ ｏ － ￣， ｘ ｏ ） ， （ ｘ ｎ ， Ｘ ０ ＋ ８ ） 有界 ， 那
—墨墨
张 晶
极 限 的 求 法 综 述
（ 哈 尔滨 师 范 大 学 ， 黑龙 江 哈 尔 滨
１ ５ ０ ０ ２ ５ ； 林 甸 县第 二 中学 ， 黑 龙江 林 甸 １ ６ ６ ３ ０ ０ ）
摘 要 ：本 文 归纳 了１ ５ 种 求 极 限 的基 本 方 法． 对 一般 的 极 限 用这 些方 法可 以求 出来 ，较 复 杂 的 可 能要 综合 几种 方 法 才 能 求 出． 关键 是 “ 运 用之 妙 ． 存乎一心” ． 关键词 ： 极 限 求 法 数 学 分析
￣ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） ・ ｇ （ ｘ ） ： Ｏ ． 七、 利 用 等 价 无 穷 小 量 代换 求极 限
等价无穷小量 ： 当 一ｌ 时， 称ｙ ， ｚ 是 等 价 无 穷 小量 ： 记 为
Ｚ
两个重要极限为： ｌ ｉ ｍ ： １ ， ｌ ｉ ｍ（ １ ＋ｌ ＿Ｘ ＝ ｅ 或ｌ ｉ ｍ（ １ ＋ ｘ ）
一
这 种 方 法 适 用 于 求 复 合 函数 的极 限． 如果 ｕ ＝ ｇ （ ｘ ） 在点ｘ 连
续ｇ （ ｘ 。 ） ＝ ｕ 。 ， 而ｙ ＝ ｆ （ ｕ ） 在点ｘ 。 连续 ， 那 么 复 合 函 数ｙ ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ ） ） 在 点
ｘ。
、
连续 ． １ ￣ ｌ ｌ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｇ （ ｘ ） ） ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ 。 ） ） ＝ ｆ （ １ ｉ ｍ ｇ （ ｘ ） ） ．
公孙龙有 “ 一 尺之棰 ， １ ３取 其 半 ， 万世不竭 ” 的提 法 ， 古 希 腊 欧 多克斯 提出“ 穷竭 法” ， 后来欧几 里得 、 阿基米德 等对面积 、 体
积 的研 究 。 都 导 向极 限思 想 ． 极 限 思 想 贯 穿 整 个 高 等 数 学 课 程 之 中 ，给 定 函数 的极 限 的 求 法 是极 限思 想 的基 础 。 现 总结 其 求 法 如 下 ． 利 用极 限的 四则 运 算 性 质 求极 限 对和、 差 、 积、 商形式 的 函数求极 限 ． 自然 会 想 到 极 限 四 则运 算 法则 ， 法则本 身 很简 单 ， 但 为 了能够 使用 这 些法 则 ， 往 往 需 要 先 对 函 数 做 某 些 恒 等 变 形 或 化 简 。而 要 采 用 怎 样 的变 形和化 简 ． 要 根据具 体 的算式 确定 ． 常 用 的 变 形 或 化 简 有分 式 的约分 或通 分 、 分式 的分 解 、 分 子或 分母 的 有理 化 、 三 角 函 数 的 恒 等 变 形 、某 些 求 和 或 求 积 公 式 及 适 当 的 变 量 替换． 为 叙述 方 便 ， 我 们 把 自变 量 的某 个 变 化 过 程 略去 不 写 ， 用 记 号ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） 表示 ｆ （ Ｘ ） 在 某个 极 限 过 程 中的 极 限 ． 二、 利 用 两 个 重 要 极 限 公 式 求极 限
ｘ — 呻 Ｘ Ｘ ｘ ０
＝ ｅ ． 使用它们求极限时 ， 最 重 要 的 是 对 所 给 的 函数 或 数 列 做 适 数 有一 个 特 点 ， 就是写一个行列式或者一个矩阵 、 一 个 线 性 方 程 组很 费 时 间 ， 也 占用 了 很 多黑 板 面 。 这 样 教 师 很 多 时 间 耗 费 在 没有 技 术 含 量 的工 作 上 。 由于 线 性 代 数 的 课 时 非 常有 限 ， 讲 解 的 内容 又 很 多 ， 很 多 老 师 为 了赶 进 度 ． 不得不满 堂灌 。 学 生 很 难 一 下 子 接受 这 么 多 新 知 识 。 以 至于 后 续 学 习 跟 不 上 多 媒 体 作 为 一种 新 型 的教 学工 具 ．如果 能 应 用 到 线 性 代 数 这 样 的 课 程中 ， 就 可 以将 很 多 非 常 繁 琐 的 证 明过 程 简 化 ， 将 大 量 的 书 写 过程 省 去 ， 每 堂 课 都 能 留下 充 足 的时 间让 学 生 思考 ． 把 时 间
得ｙ ≤ｘ ≤ｚ ． 四、 利 用 单调 有 界 准 则 求 极 限 单调有界准则 ： 单 调 有 界 数 列必 有 极 限 ． 而且 极 限唯 一 ． 利用单调有界准则求极限 ， 关 键 是先 证 明 数列 的存 在 ， 然 后 根 据 数 列 的 通 项 递推 公 式 求 极 限． 五、 利 用 函数 的连 续 性 求 极 限
ｌ ｉ ｍ ｚ ＝ ａ ， 则有ｌ ｉ ｍ ｙ ＝ ａ ．
ｘ＿ ∞ 。 。
ｘ一
∞
”
利 用 夹 逼 准 则求 极 限关 键 在 Ｔ ｇ ， ｘ 的表 达 式 中 ， 通 常 通 过
放 大 或 缩 小 的 方 法 找 出 两个 有 相 同极 限值 的 数 列 ｛ ｙ ｝ 和｛ ｚ ｌ ， 使
当变 形 ， 使之具有相应的形式 ， 有 时也 可 通 过 变 量 替 换 使 问题
简化 ． 三、 利 用 夹逼 准则 求 极 限 夹逼 准则 ： 若 一 正 整 数 Ｎ， 当ｎ ＞ Ｎ Ｉ ｔ ￣， ＂ ｉｘ ｆ ≤ｙ ≤ｚ ￣ ． １ ｉ ｍｘ ＝
极 限法 在 现 代 数 学 乃 至 物 理 等学 科 中有 着 广 泛 的应 用 ． 这 是 由它 本 身 固有 的 思 维 功 能 所 决 定 的 ． 极 限 法 揭 示 了变 量 与常量 、 无 限 与有 限 的对 立统 一 关 系 ． 是 唯 物 辩 证 法 的对 立 统 规 律 在 数 学 领 域 中 的应 用 ． 借助极 限法 ． 人 们 可 以从 有 限认 识无 限 ， 从“ 不变 ” 认识 “ 变” ， 从 直 线 形 认 识 曲线 形 ， 从 量 变 认 识质变 ． 从 近似 认 识 准 确 ． 极 限的原始思想 可追溯 到古代． 在 中国 ， 公 元前４ 世 纪 的
ห้องสมุดไป่ตู้
六、 利用 无 穷 小 量 的 性 质 求极 限 无 穷 小量 的性 质 ：无 穷 小 量 与 有 界 量 的 乘 积 还 是无 穷小 量． 如果 ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） ＝ ０， ｇ （ ｘ ） 在某 区间（ Ｘ ｏ － ￣， ｘ ｏ ） ， （ ｘ ｎ ， Ｘ ０ ＋ ８ ） 有界 ， 那
—墨墨
张 晶
极 限 的 求 法 综 述
（ 哈 尔滨 师 范 大 学 ， 黑龙 江 哈 尔 滨
１ ５ ０ ０ ２ ５ ； 林 甸 县第 二 中学 ， 黑 龙江 林 甸 １ ６ ６ ３ ０ ０ ）
摘 要 ：本 文 归纳 了１ ５ 种 求 极 限 的基 本 方 法． 对 一般 的 极 限 用这 些方 法可 以求 出来 ，较 复 杂 的 可 能要 综合 几种 方 法 才 能 求 出． 关键 是 “ 运 用之 妙 ． 存乎一心” ． 关键词 ： 极 限 求 法 数 学 分析
￣ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） ・ ｇ （ ｘ ） ： Ｏ ． 七、 利 用 等 价 无 穷 小 量 代换 求极 限
等价无穷小量 ： 当 一ｌ 时， 称ｙ ， ｚ 是 等 价 无 穷 小量 ： 记 为
Ｚ
两个重要极限为： ｌ ｉ ｍ ： １ ， ｌ ｉ ｍ（ １ ＋ｌ ＿Ｘ ＝ ｅ 或ｌ ｉ ｍ（ １ ＋ ｘ ）
一
这 种 方 法 适 用 于 求 复 合 函数 的极 限． 如果 ｕ ＝ ｇ （ ｘ ） 在点ｘ 连
续ｇ （ ｘ 。 ） ＝ ｕ 。 ， 而ｙ ＝ ｆ （ ｕ ） 在点ｘ 。 连续 ， 那 么 复 合 函 数ｙ ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ ） ） 在 点
ｘ。
、
连续 ． １ ￣ ｌ ｌ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ｇ （ ｘ ） ） ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ 。 ） ） ＝ ｆ （ １ ｉ ｍ ｇ （ ｘ ） ） ．
公孙龙有 “ 一 尺之棰 ， １ ３取 其 半 ， 万世不竭 ” 的提 法 ， 古 希 腊 欧 多克斯 提出“ 穷竭 法” ， 后来欧几 里得 、 阿基米德 等对面积 、 体
积 的研 究 。 都 导 向极 限思 想 ． 极 限 思 想 贯 穿 整 个 高 等 数 学 课 程 之 中 ，给 定 函数 的极 限 的 求 法 是极 限思 想 的基 础 。 现 总结 其 求 法 如 下 ． 利 用极 限的 四则 运 算 性 质 求极 限 对和、 差 、 积、 商形式 的 函数求极 限 ． 自然 会 想 到 极 限 四 则运 算 法则 ， 法则本 身 很简 单 ， 但 为 了能够 使用 这 些法 则 ， 往 往 需 要 先 对 函 数 做 某 些 恒 等 变 形 或 化 简 。而 要 采 用 怎 样 的变 形和化 简 ． 要 根据具 体 的算式 确定 ． 常 用 的 变 形 或 化 简 有分 式 的约分 或通 分 、 分式 的分 解 、 分 子或 分母 的 有理 化 、 三 角 函 数 的 恒 等 变 形 、某 些 求 和 或 求 积 公 式 及 适 当 的 变 量 替换． 为 叙述 方 便 ， 我 们 把 自变 量 的某 个 变 化 过 程 略去 不 写 ， 用 记 号ｌ ｉ ｍｆ （ ｘ ） 表示 ｆ （ Ｘ ） 在 某个 极 限 过 程 中的 极 限 ． 二、 利 用 两 个 重 要 极 限 公 式 求极 限
ｘ — 呻 Ｘ Ｘ ｘ ０
＝ ｅ ． 使用它们求极限时 ， 最 重 要 的 是 对 所 给 的 函数 或 数 列 做 适 数 有一 个 特 点 ， 就是写一个行列式或者一个矩阵 、 一 个 线 性 方 程 组很 费 时 间 ， 也 占用 了 很 多黑 板 面 。 这 样 教 师 很 多 时 间 耗 费 在 没有 技 术 含 量 的工 作 上 。 由于 线 性 代 数 的 课 时 非 常有 限 ， 讲 解 的 内容 又 很 多 ， 很 多 老 师 为 了赶 进 度 ． 不得不满 堂灌 。 学 生 很 难 一 下 子 接受 这 么 多 新 知 识 。 以 至于 后 续 学 习 跟 不 上 多 媒 体 作 为 一种 新 型 的教 学工 具 ．如果 能 应 用 到 线 性 代 数 这 样 的 课 程中 ， 就 可 以将 很 多 非 常 繁 琐 的 证 明过 程 简 化 ， 将 大 量 的 书 写 过程 省 去 ， 每 堂 课 都 能 留下 充 足 的时 间让 学 生 思考 ． 把 时 间
得ｙ ≤ｘ ≤ｚ ． 四、 利 用 单调 有 界 准 则 求 极 限 单调有界准则 ： 单 调 有 界 数 列必 有 极 限 ． 而且 极 限唯 一 ． 利用单调有界准则求极限 ， 关 键 是先 证 明 数列 的存 在 ， 然 后 根 据 数 列 的 通 项 递推 公 式 求 极 限． 五、 利 用 函数 的连 续 性 求 极 限