兴隆台区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

兴隆台区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 定义运算：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．22⎡-⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．,12⎤⎥⎣⎦
D ．1,2⎡-⎢⎣⎦
2． 已知=（2，﹣3，1），=（4，2，x ），且⊥，则实数x 的值是（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
3． 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至
少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
5． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
6． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（ ）
A．（11，12）B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）
7．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（）A．M∪N B．M∩N C．∁I M∪∁I N D．∁I M∩∁I N
8．已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（）
A．{0}∈M B．{0}∉M C．0∈M D．0⊆M
9．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A）∪B为（）
A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}
10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）
A． B． C．4 D．
11．设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
12．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当+取得最小值时，实数a的值是（）
A．B． C．或D．3
二、填空题
13．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是米．（太阳光线可看作为平行光线）
14．1785与840的最大约数为．
15．若tanθ+=4，则sin2θ=．
16．当时，4x＜log a x，则a的取值范围．
17．已知，是空间二向量，若=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为．
18．对于函数(),,
y f x x R
=∈,“|()|
y f x
=的图象关于y轴对称”是“()
y f x
=是奇函数”
的▲条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
三、解答题
19．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5
B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．
20．如图：等腰梯形ABCD，E为底AB的中点，AD=DC=CB=AB=2，沿ED折成四棱锥A﹣BCDE，使AC=．
（1）证明：平面AED⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
21．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
22．已知函数f （x ）=•，其中=（2cosx ， sin2x ），=（cosx ，1），x ∈R ．
（1）求函数y=f （x ）的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，a=，且sinB=2sinC ，求△ABC 的面
积．
23．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()
2x
f x x ax a e =++，其中a R ∈，e 是
自然对数的底数.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调减区间；
（3）若()4f x ≤在[]
4,0-恒成立，求a 的取值范围.
24．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知k sin B＝sin A＋sin C（k为正常数），a＝4c.
时，求cos B；
（1）当k＝5
4
（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．
兴隆台区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
2．【答案】A
【解析】解：∵=（2，﹣3，1），=（4，2，x），且⊥，
∴=0，
∴8﹣6+x=0；
∴x=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直，解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为0，建立关于x的方程求出x的值．
3．【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为=
故选D．
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单． 4． 【答案】D
【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，
∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，
∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4）， 解得
=13．
故选：D ．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
5． 【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯
⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 6． 【答案】 A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2， 当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3， 当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4， 当n=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的数对为（11，12）， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
7． 【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}， M ∩N={3}；
∁I M ∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}； ∁I M ∩∁I N={2，7，8}， 故选：D ．
8． 【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；
对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．
故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
9．【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}，
∵B={0，1，4}，
∴（C U A）∪B={0，1，2，4}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．11．【答案】D
【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减
结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C
当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B
故选D
【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题
12．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
13．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．14．【答案】105．
【解析】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
15．【答案】．
【解析】解：若tanθ+=4，则
sin2θ=2sinθcosθ=====，
故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
16．【答案】．
【解析】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示
若不等式4x＜log a x恒成立，则y=log a x的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足＜a＜1
故答案为：（，1）
17．【答案】60°．
【解析】解：∵|﹣|=，
∴
∴=3，
∴cos＜＞==
∵
∴与的夹角为60°．
故答案为：60°
【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的表示式．
18．【答案】必要而不充分 【解析】
试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y ），
∵，∴x+y=17，①
∵
，
=，
∵
，得（x ﹣8）2+（y ﹣8）2
=1，②
由①②解得或，
∵x ＜y ，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C ，则事件C 包含个基本事件，
共有个基本事件，
∴P （C ）=
，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X 所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
20．【答案】
【解析】（1）证明：取ED的中点为O，
由题意可得△AED为等边三角形，
，，
∴AC2=AO2+OC2，AO⊥OC，
又AO⊥ED，ED∩OC=O，AO⊥面ECD，又AO⊆AED，
∴平面AED⊥平面BCDE；…
（2）如图，以O为原点，OC，OD，OA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，﹣1，0），A（0，0，），C（，0，0），B（，﹣2，0），
，，，
设面EAC的法向量为，
面BAC的法向量为
由，得，∴，
∴，
由，得，∴，
∴，
∴，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…
2016年5月3日
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
x g x g x
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2
x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．
又∵0＜A＜π，∴A=．…
∵a=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC∴b=2c ②…
由①②得c 2
=．…
∴S △ABC=．…
23．【答案】（1）210x y -+=（2）当2a =时，()f x 无单调减区间；当2a <时，()f x 的单调减区间
是()2,a --；当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.（3）2
44,4e ⎡⎤-⎣⎦
【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式()4f x ≤进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极
值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为()()()()2
'222x
x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦，
当2a =时，()()2
'20x
f x x e =+≥，所以()f x 无单调减区间.
当2a ->-即2a <时，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是()2,a --.
当2a -<-即2a >时，()()()'2x
f x x x a e =++，列表如下：
所以()f x 的单调减区间是(),2a --.
综上，当2a =时，()f x 无单调减区间；
当2a <时，()f x 的单调减区间是()2,a --； 当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.
（3）()()()()2'222x x
f x x a x a e x a x e ⎡⎤=+++=++⎣⎦
. 当2a =时，由（2）可得，()f x 为R 上单调增函数，
所以()f x 在区间[]
4,0-上的最大值()024f =≤，符合题意. 当2a <时，由（2）可得，要使()4f x ≤在区间[]
4,0-上恒成立，
只需()04f a =≤，()()2
244f a e --=-≤，解得2442e a -≤<.
当24a <≤时，可得()4a a
f a e
-=
≤，()04f a =≤. 设()a a g a e =，则()1'a a
g a e
-=，列表如下：
所以()()max
114g a g e ⎡⎤==
<⎣⎦
，可得4a a
e
≤恒成立，所以24a <≤. 当4a >时，可得()04f a =≤，无解.
综上，a 的取值范围是2
44,4e ⎡⎤-⎣⎦.
24．【答案】
【解析】解：（1）∵54sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得5
4
b ＝a ＋
c ，
又a ＝4c ，∴5
4b ＝5c ，即b ＝4c ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c ＝1
8.
（2）∵S △ABC ＝3，B ＝60°.
∴1
2
ac sin B ＝ 3.即ac ＝4. 又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×1
2＝13.
∴b ＝13，
∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，
由正弦定理得k ＝a ＋c b ＝513
＝513
13，
即k的值为513
13.。