湖南省长沙市浏阳一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)

湖南省长沙市浏阳一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题8个小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只要一个是契合标题要
求的．〕
1．〔5分〕选集U={1，2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5}，N={1，3，6}，那么集合{2，7}等于〔〕A．M∩N B．〔C∪M〕∩〔C∪N〕 C．〔C∪M〕∪〔C∪N〕D．M∪N
考
点：
子集与交集、并集运算的转换．
专
题：
计算题．
剖析：依据元素与集合的关系和集合的运算规律停止，2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合C U M且在C U N中，依据并集的意义即可．
解答：解：∵2，7即不在结合M中，也不在集合N中，所以2，7在集合C U M且在C U N中∴{2，7}=〔C U M〕∩〔C U N〕
应选B
点评：此题也可以直接停止检验，但在剖析中说明的方法是最基本的，是从元素与集合的关系以及交集和交集的含义上停止的解答，属于容易题．
2．〔5分〕〔2021•广东模拟〕设U=R，集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x∈Z|x2﹣4≤0}，那么以下结论正确的选项是〔〕
A．A∪B=〔0，+∞〕B．〔C u A〕∪B=〔﹣∞，
0]C．〔C u A〕∩B={﹣2，1，
0}
D．〔C u A〕∩B={1，2}
考
点：
交、并、补集的混合运算．
专
题：
计算题．
剖析：依据题意，剖析可得集合A、B，进而依次剖析选项：关于A，求出A∪B，可得A错误，关于B，先计算∁U A，进而由并集定义可得〔∁U A〕∪B，可得B错误，关于C，先计算∁U A，进而由交集定义可得〔∁U A〕∩B，可得C正确，同理可得D错误，综合可得答案．
解答：解：集合A为函数y=2x的值域，又由y=2x＞0，那么A={x|x＞0}，
集合B为x2﹣4≤0的整数解，那么B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
剖析选项：关于A，A∪B={x|x＞0或x=0或x=﹣1或x=﹣2}≠〔0，+∞〕，A错误；
关于B，∁U A={x|x≤0}，那么〔∁U A〕∪B={x|x≤0或x=1或x=2}≠=〔﹣∞，0]，B错误；关于C，∁U A={x|x≤0}，那么〔∁U A〕∩B={﹣2，1，0}，C正确；
关于D，同C可得D错误；
应选C．
点
评：
此题考察集合的混合运算，留意正确剖析集合B，其是一个有限集．3．〔5分〕〔2021•安徽模拟〕圆ρ=〔cosθ+sinθ〕的圆心的极坐标是〔〕
A．
〔1，〕B．
〔，〕
C．
〔，〕
D．
〔2，〕
考
点：
复杂曲线的极坐标方程．
专
题：
计算题．
剖先在极坐标方程ρ=〔cosθ+sinθ〕的两边同乘以ρ，再应用直角坐标与极坐标间的关系，即应用
析：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，停止代换化成直角坐标方程求解即得．
解答：解：将方程ρ=〔cosθ+sinθ〕两边都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．圆心的坐标为〔，〕．化成极坐标为〔1，〕．
应选C．
点评：此题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标描写点的位置，体会在极坐标系战争面直角坐标系中描写点的位置的区别，能停止极坐标和直角坐标的互化．
4．〔5分〕〔文〕设a∈R，那么a＞1是＜1 的〔〕
A．必要但不充沛条件B．充沛但不用要条件
C．充要条件D．既不充沛也不用要条件
考点：不等关系与不等式；充要条件．
专题：计算题．
剖析：
依据由a＞1，一定能失掉＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 〔如a=﹣1时〕，从而失掉结论．
解答：
解：由a＞1，一定能失掉＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 〔如a=﹣1时〕，
故a＞1是＜1 的充沛不用要条件，
应选B．
点评：此题考察充沛条件、必要条件的定义，经过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种复杂
有效的方法．
5．〔5分〕集合P={x|x2=1}，Q={x|mx=1}，假定Q⊆P，那么实数m的数值为〔〕
A．1B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1
考
点：
集合的包括关系判别及运用．
专
题：
计算题．
剖析：此题考察的是集合的包括关系判别及运用效果．在解答时，应先将集合P详细化，又Q⊆P，进而区分讨论满足题意的集合Q，从而取得效果的解答．
解答：解：∵P={x|x2=1}，∴P={﹣1，1}，
又∵Q⊆P，
∴当m=0时，Q=∅，契合题意；
当m≠0时，集合Q中的元素可表示为x=，假定=﹣1，那么m=﹣1，假定=1，那么m=1；
∴实数m组成的集合是{0，1，﹣1}．
应选D．
点评：此题考察的是集合的包括关系判别以及运用效果．在解答的进程当中充沛表达了集合元素的特性、分类讨论的思想以及效果转化的思想．值得同窗们体会反思．
6．〔5分〕〔2021•北京〕极坐标方程〔ρ﹣1〕〔θ﹣π〕=0〔ρ≥0〕表示的图形是〔〕 A．两个圆B．两条直线
C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线
考点：复杂曲线的极坐标方程．
剖析：由题中条件：〝〔ρ﹣1〕〔θ﹣π〕=0〞失掉两个因式区分等于零，结合极坐标的意义即可失掉．
解答：解：方程〔ρ﹣1〕〔θ﹣π〕=0⇒ρ=1或θ=π，
ρ=1是半径为1的圆，
θ=π是一条射线．
应选C．
点评：此题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标描写点的位置，体会在极坐标系战争面直角坐标系中描写点的位置的区别，能停止极坐标和直角坐标的互化．
7．〔5分〕在以下结论中，正确的结论是〔〕
①〝p∧q〞为真是〝p∨q〞为真的充沛不用要条件；
②〝p∧q〞为假是〝p∨q〞为真的充沛不用要条件；
③〝p∨q〞为真是〝¬p〞为假的必要不充沛条件；
④〝¬p〞为真是〝p∧q〞为假的必要不充沛条件．
A．①②B．①③C．②④D．③④
考
点：
必要条件、充沛条件与充要条件的判别；复合命题的真假．
剖析：先判别命题的正误，可知①③是正确的，②④是假命题，然后再依据¬p，必要条件、充沛条件和充要条件的定义停止判别．
解答：解：①③是正确的，②④是假命题，
其中②中，〝p∧q〞为假是〝p∨q〞为真的既不充沛也不用要条件，④〝¬p〞为真，〝p〞为假，
∴〝¬p〞为真是〝p∧q〞为假的充沛不用要条件．
点
评：
此题主要考察¬p、必要条件、充沛条件和充要条件的定义，是一道基础题．
8．〔5分〕〔2020•惠州一模〕设集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
A=，B={y|y=2x2}，那么A×B等于〔〕
A．〔2，+∞〕B．[0，1]∪[2，+∞〕C．[0，1〕∪〔2，+∞〕D．[0，1]∪〔2，+∞〕考
点：
交、并、补集的混合运算．
剖析：依据根式有意义的条件，区分求出结合A和B，然后依据新定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，停止求解．
解答：解：∵集合A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，A=={x|0≤x≤2}
B={y|y=2x2}={y|y≥0}
∴A∪B=[0，+∞〕，A∩B=[0，2]
因此A×B=〔2，+∞〕，
应选A．
点评：此题主要考察新定义、根式有意义的条件和集合交、并、补集的混合运算，新定义的题型是罕见的题型，同窗们要留意多练习这样的题．
二、填空题〔每题5分，共35分〕
9．〔5分〕〔2021•上海〕设集合A={5，log2〔a+3〕}，集合B={a，b}．假定A∩B={2}，那么A∪B={1，2，5}．
考点：并集及其运算；对数的运算性质．
专题：计算题．
剖析：由A∩B={2}可知2∈A，2∈B，树立关系可求得a、b的值，再应用并集的定义求解即可．
解答：解：∵A∩B={2}，∴log2〔a+3〕=2．
∴a=1．∴b=2．
∴A={5，2}，B={1，2}．∴A∪B={1，2，5}，
故答案为{1，2，5}．
点评：此题考察了并集的运算，对数的运算性质，属于容易题．
10．〔5分〕学校举行了排球赛，某班45名同窗中有12名同窗参赛．后来又举行了田径赛，这个班有20名同窗参赛．两项都参赛的有6名同窗．两项竞赛中，这个班共有19名同窗没有参与过竞赛．
考点：子集与交集、并集运算的转换．
专题：计算题；数形结合．
剖析：应用题意，正确画出韦氏图，即可求出这个班共有多少名同窗没有参与过竞赛．
解答：解：如下图：
∵两项竞赛都参与的有6名同窗，有12名同窗参与排球赛，有20名同窗参与田径赛，
∴只参与排球赛的同窗有6名，只参与田径赛的由14名同窗，两项至少参与一项的有6+6+14=26名同窗，由于45﹣26=19．
因此这个班共有19名同窗两项竞赛均没有参与．
故答案为：19．
点评：由题意正确画出韦氏图是解题是解题的关键．属于基础题．
11．〔5分〕集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且〔∁R B〕∪A=R，那么实数a的取值范围是a≥2．
考点：集合关系中的参数取值效果．
专题：计算题．
剖析：由题意可得，∁R B={x|x≥2或x≤1}，结合数轴可求a得范围
解答：解：由题意可得，∁R B={x|x≥2或x≤1}
结合数轴可得，a≥2
故答案为：a≥2
点评：此题主要考察了集合之间的基本运算，要留意此类效果要留意与数轴结合，属于基础试题．12．〔5分〕〔2021•广东模拟〕〔坐标系与参数方程选做题〕极坐标系下，直线与
圆的公共点个数是1．
考点：复杂曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
剖析：把极坐标方程化为普通方程，应用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，依据此距离正好等于半径，可得直线和圆相切．
解答：
解：直线，即x+y=，即x+y﹣2=0．
圆，即x2+y2=2，表示圆心在原点，半径等于的圆．
圆心到直线的距离等于=，
故直线和圆相切，
故答案为1．
点评：此题考察把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的运用，直线和圆的位置关系．13．〔5分〕有以下四个命题：
①命题〝假定xy=1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；
②命题〝面积相等的三角形全等〞的否命题；
③命题〝假定m≤1，那么x2﹣2x+m=0有实根〞的逆否命题；
④命题〝假定A∩B=B，那么A⊆B〞的逆否命题．
其中是真命题的是①②③〔填上你以为正确的命题的序号〕．
考点：命题的真假判别与运用．
剖析：命题判别一是直接判别二是用等价命题法①假定x，y互为倒数，那么xy=1成立；②三角形全等那么面积一定相等正确，③假定m≤1那么△=4﹣4m≥0方程有根④假定A∩B=B应是B⊆A．
解答：解：①假定x，y互为倒数，那么xy=1成立；②逆命题是〝三角形全等那么面积一定相等〞正确那么其否命题正确，③假定m≤1那么△=4﹣4m≥0方程有根原命题正确那么其逆否命题正确④假定A∩B=B应是B⊆A那么其逆否命题不正确．
故答案是①②③
点评：此题主要考察命题的判别方法．
14．〔5分〕设选集U={〔x，y〕|x∈R，y∈R}，子集A={〔x，y〕|2x﹣y+m＞0}，B={〔x，y〕|x+y﹣n＞0}，那么点P〔2，3〕∈〔A∩C U B〕的充要条件为m＞﹣1，n≥5．
考点：交、并、补集的混合运算；必要条件、充沛条件与充要条件的判别．
专题：不等式的解法及运用．
剖析：由P〔2，3〕∈A∩〔C U B〕，那么点P既适宜2x﹣y+m＞0，也适宜x+y﹣n≤0，从而求得结果．
解答：解：C U B={〔x，y〕|x+y﹣n≤0}
∵P〔2，3〕∈A∩〔C U B〕
∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n≤0
∴m＞﹣1，n≥5．
故答案为：m＞﹣1，n≥5．
点评：此题主要考察元素与集合的关系，必要条件、充沛条件与充要条件的判别，属于基础题．15．〔5分〕〔2020•北京〕设A是整数集的一个非空子集，关于k∈A，假设k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k 是A的一个〝孤立元〞，给定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3个元素构成的一切集合中，不含〝孤立元〞的集合共有6个．
考点：元素与集合关系的判别．
专题：压轴题．
剖析：罗列几个特殊的集合体会孤立元的意义是解此题的关键．
解答：解：依题意可知，没有与之相邻的元素是〝孤立元〞，因此无〝孤立元〞是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，契合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．
故答案为：6．
点评：此题主要考察阅读与了解、信息迁移以及先生的学习潜力，考察先生剖析效果和处置效果的才干．属于创新题型．
罗列时要有一定的规律，可以从一端末尾，做到不重不漏
三、解答题〔本大题共6个小题，共75分．解容许写出文字说明、演算步聚或推证进程．〕
16．〔12分〕集合A={x|mx2﹣2x+3=0，m∈R}．
〔1〕假定A是空集，求m的取值范围；
〔2〕假定A中只要一个元素，求m的值；
〔3〕假定A中含有两个元素，求m的取值范围．
考点：集合中元素个数的最值；空集的定义、性质及运算．
专题：计算题．
剖析：〔1〕依题意，m≠0，mx2﹣2x+3=0为一元二次方程，应用△=4﹣12m＜0可求得m的取值范围；
〔2〕对m=0与m≠0分类讨论，可求得m的值；
〔3〕A中含有两个元素⇔方程mx2﹣2x+3=0有两解⇔，从而可求得m的取值范围．
解答：解析：集合A是方程mx2﹣2x+3=0在实数范围内的解集．
〔1〕∵A是空集，
∴方程mx2﹣2x+3=0无解，显然m≠0，
∴mx2﹣2x+3=0为一元二次方程．
∴△=4﹣12m＜0，即m＞；
〔2〕∵A中只要一个元素，
∴方程mx2﹣2x+3=0只要一解．
假定m=0，方程为﹣2x+3=0，只要一个解x=；
假定m≠0，那么△=0，即4﹣12m=0，m=．
∴m=0或m=；
〔3〕∵A中含有两个元素，
∴方程mx2﹣2x+3=0有两解，
∴满足，即，
∴m＜且m≠0．
点评：此题考察集合中元素个数，考察分类讨论思想与方程思想，考察运算才干，属于中档题．17．〔12分〕〔2021•北京〕记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
〔I〕假定a=3，求P；
〔II〕假定Q⊆P，求正数a的取值范围．
考点：集合的包括关系判别及运用；其他不等式的解法；相对值不等式的解法．
剖析：
〔I〕分式不等式的解法，可转化为整式不等式〔x﹣a〕〔x+1〕＜0来解；关于〔II〕中条件Q⊆P，应结合数轴来处置．
解答：
解：〔I〕由，得P={x|﹣1＜x＜3}．
〔II〕Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．
由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形
所以a＞2，即a的取值范围是〔2，+∞〕．
点评：关于条件Q⊆P的效果，应结合数轴来处置，这样来得直观清楚，便于了解．
18．〔12分〕〔2021•沈阳模拟〕曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴树立平
面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数〕．
〔1〕写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
〔2〕设曲线C经过伸缩变换失掉曲线C′，设曲线C′上任一点为M〔x，y〕，求的最小
值．
考点：参数方程化成普通方程；伸缩变换；复杂曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：计算题；压轴题．
剖析：〔1〕应用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2〔x﹣1〕代入下式消去参数t即可；
〔2〕依据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后应用参数方程表示出曲线上恣意一点，代入，依据三角函数的辅佐角公式求出最小值．
解答：
解：〔1〕直线l的参数方程为为参数〕．
由上式化简成t=2〔x﹣1〕代入下式得
依据ρ2=x2+y2，停止化简得C：x2+y2=1〔2分〕
〔2〕∵代入C得∴〔5分〕
设椭圆的参数方程为参数〕〔7分〕
那么〔9分〕
那么的最小值为﹣4．〔10分〕
点评：此题主要考察了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及应用椭圆的参数方程求最值效果，属于基础题．
19．〔12分〕〔2021•东至县一模〕设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数f
〔x〕=x2﹣4x+3在[0，a]的值域为[﹣1，3]．假定〝p且q〞为假命题，〝p或q〞为真命题，求a的取值
范围．
考点：复合命题的真假．
专题：计算题．
剖析：命题中，依据指数函数的性质，求出a的范围，关于命题q，依据二次函数的性质，求出a的范围，由于〝p且q〞为假命题，〝p或q〞为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；
解答：
解：命题p：∵函数是R上的减函数，
由得…〔3分〕
命题q：∵f〔x〕=〔x﹣2〕2﹣1，在[0，a]上的值域为[﹣1，3]得2≤a≤4…〔7分〕
∵p且q为假，p或q为真得p、q中一真一假．
假定p真q假得，…〔9分〕
假定p假q真得，．…〔11分〕
综上，＜a＜2或．≤a≤4．…〔12分〕
点评：此题主要考察指数函数的性质以及二次函数的性质，以及分类讨论思想的运用，另外计算量比拟大要细心计算；
20．〔13分〕〔2021•丹东二模〕在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，树立极坐标系，点D的极坐标是，曲线C的极坐标方程为．
〔I〕求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；
〔II〕假定经过点D的直线l与曲线C交于A、B两点，求|DA|•|DB|的最小值．
考点：复杂曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
剖析：〔1〕应用直角坐标与极坐标间的关系，即应用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．
〔2〕先写出直线l的参数方程，将|DA|•|DB|应用参数的几何意义，结合一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解答：解：〔I〕点D的直角坐标是〔0，﹣1〕，〔2分〕
∵，∴ρ=ρcosθ+2，即x2+y2=〔x+2〕2，〔4分〕
化简得曲线C的直角坐标方程是y2=4x+4〔5分〕
〔II〕设直线l的倾斜角是α，那么l的参数方程变形为，〔7分〕
代入y2=4x+4，得t2sin2α﹣〔4cosα+2sinα〕t﹣3=0
设其两根为t1，t2，那么，〔8分〕
∴．
当α=90°时，|DA|•|DB|取得最小值3．〔10分〕
点评：此题考察点的极坐标和直角坐标的互化和直线的参数方程的运用，属于基础题．
21．〔14分〕二次函数f〔x〕的图象与x轴的交点为〔0，0〕和〔﹣2，0〕，且f〔x〕最小值是﹣1，函数g〔x〕与f〔x〕的图象关于y轴对称
〔1〕求f〔x〕和g〔x〕的解析式；
〔2〕假定h〔x〕=f〔x〕﹣λg〔x〕在区间[﹣1，1]上是增函数，务实数λ的取值范围．
考点：函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
专题：函数的性质及运用．
剖析：〔1〕设f〔x〕=ax〔x+2〕=ax2+2ax〔a＞0〕，依据顶点坐标可求a值，再由对称关系可求g〔x〕；
〔2〕表示出h〔x〕，由题意知区间[﹣1，1]是h〔x〕增区间的子集，由此可得λ的取值范围，需求分类讨论．
解答：解：〔1〕依题意，设f〔x〕=ax〔x+2〕=ax2+2ax〔a＞0〕．
∵f〔x〕图象的对称轴是x=﹣1，
∴f〔﹣1〕=﹣1，即a﹣2a=﹣1，得a=1．
∴f〔x〕=x2+2x．
又∵函数g〔x〕的图象与f〔x〕的图象关于y轴对称，
∴g〔x〕的顶点坐标为〔1，﹣1〕，与x轴的交点为〔0，0〕和〔2，0〕，启齿向上，
∴g〔x〕=x2﹣2x．
〔2〕由〔1〕得h〔x〕=x2+2x﹣λ〔x2﹣2x〕
=〔1﹣λ〕x2+2〔1+λ〕x．
①当λ=1时，h〔x〕=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数，
②当λ＜1时，h〔x〕图象对称轴是，
那么，又λ＜1，解得0≤λ＜1；
③当λ＞1时，同理那么需，
又λ＞1，解得λ＞1，
综上，满足条件的实数λ的取值范围是[0，+∞〕．
点评：此题考察函数解析式求法及二次函数性质，考察分类讨论思想．。