2020年新人教版八年级上册期中数学试卷含答案

八年级（上）期中数学试卷
一、细心选一选（本大题有10个小题，每小题3分共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．△ABC中BC边上的高作法正确的是（）
A．B．
C．D．
3．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）
A．5 B．10 C．11 D．12
4．下列判断中错误的是（）
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
5．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
6．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）
A．360°B．250°C．180°D．140°
7．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC 于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
8．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．
A．30 B．40 C．50 D．60
9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
10．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠ADC的度数为（）
A．62°B．65°C．68°D．70°
二、精心填一填（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若正n边形的每个内角都等于150°，则n=______，其内角和为______．
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是______．
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是______．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为______cm．
15．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是______．
16．△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为______．
三、认真解一解（共72分）
17．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．
18．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．
19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是______．
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是______．（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为______．
20．已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限且纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1．
（1）求∠AOM的度数．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三边比为l：：2，求线段AB1的长和B1的纵坐标．
22．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．
23．己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2画出图形探究线段FE，FA，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
24．如图，线段AC∥x轴，点B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x轴于G，连OB，OC．（1）判断△AOG的形状，并证明；
（2）如图1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求证：OA⊥OB；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M为AO上的一点，且∠ACM=45°，若点B（1，﹣2），求M 的坐标．
八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、细心选一选（本大题有10个小题，每小题3分共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，A不合题意；
B、不是轴对称图形，B符合题意；
C、是轴对称图形，C不合题意；
D、是轴对称图形，D不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．
2．△ABC中BC边上的高作法正确的是（）
A．B．C．
D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
3．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）
A．5 B．10 C．11 D．12
【考点】三角形三边关系．
【专题】常规题型．
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11．
则此三角形的第三边可能是：10．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．
4．下列判断中错误的是（）
A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
B．有一边相等的两个等边三角形全等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个判断即可．
【解答】解：
A、符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出两三角形全等，故本选项错误；
B、∵△ABC和△A′B′C′是等边三角形，
∴AB=BC=AC，A′B′=B′C′=A′C′，
∵AB=A′B′，
∴AC=A′C′，BC=B′C′，即符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出两三角形全等，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出两三角形全等，故本选项正确；
D、
如上图，∵AD、A′D′是三角形的中线，BC=B′C′，
∴BD=B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），
∴∠B=∠B′，
在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质的应用，主要考查学生对判定定理的理解能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．
5．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a°、b°、c°，
则由题意得：，
解得：a=90，
故这个三角形是直角三角形．故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的有关性质，可利用方程进行求解．关键是掌握三角形内角和为180°．
6．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）
A．360°B．250°C．180°D．140°
【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角．
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
7．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC 于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以证得：∠OBD=∠BOD，则依据等角对等边可以证得OD=BD，同理，OE=EC，即可证得BC=C△ODE从而求解．
【解答】解：∵BO是∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠OBD，
∵OD∥AB，
∴∠ABO=∠BOD，
∴∠OBD=∠BOD，
∴OD=BD，
同理，OE=EC，
BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=C△ODE=10cm．
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，以及等腰三角形的判定方法，正确证得OD=BD是关键．
8．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．
A．30 B．40 C．50 D．60
【考点】等边三角形的性质．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
【解答】解：设AB=x，
∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周长为7 x+18=60cm．
故选D
【点评】结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．
9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
【专题】常规题型．
【分析】在AB上截取AE=AD，则易得△AEC≌△ADC，则AE=AD，CE=CD，则AB﹣AD=BE，放在△BCE中，根据三边之间的关系解答即可．
【解答】解：如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC（SAS），
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB﹣AD=AB﹣AE=BE，BC﹣CD=BC﹣CE，
∵在△BCE中，BE＞BC﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故选A．
【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形三边之间的关系，作辅助线是关键．
10．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠ADC的度数为（）
A．62°B．65°C．68°D．70°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC 的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=54°，再根据∠ADC=180°﹣∠DAC ﹣∠DCA即可得出结论．
【解答】解：延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，
∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF，
∴DE=DF，
又∵∠BAD+∠CAD=180°，
∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
过D点作DG⊥AC于G点，
在RT△CDG与RT△CDF中，
，
∴RT△ADE≌RT△ADG，
∴DE=DG，
∴DG=DF．
在RT△CDG与RT△CDF中，
，
∴RT△CDG≌RT△CDF，
∴CD为∠ACF的平分线
∠ACB=72°
∴∠DCA=54°，
△ABC中，
∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=180°﹣72°﹣50°=58°，
∴∠DAC==61°，
∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠DCA=180°﹣61°﹣54°=65°．故选：B．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°，全等三角形的判定与性质等知识是解答此题的关键．
二、精心填一填（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．若正n边形的每个内角都等于150°，则n=12，其内角和为1800°．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】先根据多边形的内角和定理求出n，再根据多边形的内角和求出多边形的内角和即可．【解答】解：∵正n边形的每个内角都等于150°，
∴=150°，
解得，n=12，
其内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为：12；1800°．
【点评】本题考查的是多边形内角与外角的知识，掌握多边形内角和定理：n边形的内角和为：（n ﹣2）×180°是解题的关键．
12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是5．
【考点】角平分线的性质．
【分析】要求△ABD的面积，有AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离=CD=2，
∴△ABD的面积是5×2÷2=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意分析思路，培养自己的分析能力．
13．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是50°．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC
于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为8cm．
【考点】轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得
到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】规律型．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A n为顶点的内角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．
故答案为：（）n﹣1×75°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
16．△ABC为等边三角形，在平面内找一点P，使△PAB，△PBC，△PAC均为等腰三角形，则这样的点P的个数为10．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
【解答】解：如图：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练运用垂直平分线性质是解题的关键．
三、认真解一解（共72分）
17．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】易证BC=EF，即可证明△ABC≌△DEF，可得∠A=∠D．即可解题．
【解答】证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABC ≌△DEF是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC于D，求∠DBC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
∴∠C=∠ABC=2∠A=72°．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC=90°﹣∠C=18°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0），C（﹣1，0）．（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是（3，﹣1）．
（2）将△ABC沿x轴翻折△A2BC，图中画出△A2BC，翻折后点A对应点A2坐标是（﹣2，﹣3）．（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为13.5．
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于x轴对称点的性质进而得出对应点位置；
（3）利用平移的性质可得△ABC扫过的面积为△A′B′C′+平行四边形A′C′CA的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，平移后点A的对应点A1的坐标是：（3，﹣1）；故答案为：（3，﹣1）；
（2）如图所示：△A2BC，即为所求，翻折后点A对应点A2坐标是：（﹣2，﹣3）；
故答案为：（﹣2，﹣3）；
（3）将△ABC向左平移2个单位，则△ABC扫过的面积为：
S△A′B′C′+S
平行四边形A′C′CA
=×3×5+2×3
=13.5．
故答案为：13.5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出平移后对应点位置是解题关键．
20．已知：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，过点D作直线交AB，CA的延长线于点E，F．当BE=CF时，求证：AE=AF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．由平行线的性质可得∠G=∠F，然后判定△BDG 和△CDF全等，根据全等三角形的性质和等量代换得到BE=BG，由等腰三角形的性质可得∠G=∠BEG，由对顶角相等及等量代换得出∠F=∠AEF，根据等腰三角形的判定得出AE=AF．
【解答】证明：过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．
∴∠G=∠F．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BDG和△CDF中，
∴△BDG≌△CDF（AAS）．
∴BG=CF．
∵BE=CF，
∴BE=BG．
∴∠G=∠BEG．
∵∠BEG=∠AEF，
∴∠G=∠AEF．
∴∠F=∠AEF．
∴AE=AF．
【点评】本题考查了全等三角形和等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造等腰三角形，并根据等腰三角形的性质得到三角形全等的条件是解题的基本思路．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限且纵坐标为1，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1．
（1）求∠AOM的度数．
（2）已知30°，60°，90°的三角形三边比为l：：2，求线段AB1的长和B1的纵坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）由点A与点A1关于直线MN对称，可得出∠AOM=∠A1OM，再由等腰三角形的性质可得出∠AOB=30°，通过角的计算即可得出结论；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B1作B1D⊥x轴于点D，通过解直角三角形以及等腰三角形的性质可得出点A、B点的坐标，再根据对称的性质即可得出点A1的坐标以及AB1=A1B，在Rt△OB1D中，利用特殊角的三角函数值即可得出B1D的长度，此题得解．
【解答】解：（1）∵点A与点A1关于直线MN对称，
∴∠AOM=∠A1OM，
∵AB=AO，∠ABO=30°，
∴∠AOB=30°，
∵∠AOB+∠AOM+∠A1OM=180°，
∴∠AOM=75°．
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B1作B1D⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠AOC=30°，∠ACO=90°，AC=1，
∴AO=2AC=2，OC=AC=，
∵AB=AO，
∴BO=2OC=2，
∴点A（﹣，1），点B（﹣2，0）．
∵点A与点A1关于直线MN对称，
∴OA1=OA=2，
∴点A1（2，0），
∴A1B=2﹣（﹣2）=2+2，
∵点A关于直线MN的对称点A1，点B关于直线MN的对称点为B1，
∴AB1=A1B=2+2，OB1=OB=2．
在Rt△OB1D中，∠B1OD=∠AOB=30°，
∴B1D=OB1=．
故线段AB1的长为2+2，B1的纵坐标为．
【点评】本题考查了对称的性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值以及角的计算，解题的关键是：（1）找出∠AOM=∠A1OM；（2）求出线段A1B和B1D的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据轴对称的性质找出相等的边角关系是关键．
22．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．
（1）如图1，连DE，求∠BDE的度数；
（2）如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；
（3）在（2）的条件下，若BF=2，求CE的长．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≌△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；
（2）先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5°即可．
（3）由（1）知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45°，过D作DM⊥CE 于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【解答】解：（2）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AC=BC，BD=AC，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC==67.5°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED，
∴∠BDE=∠ACD=22.5°，
（2）由（1）有∠BDE=22.5°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°，
由（1）有，△ADC≌△BED，
∴DC=DE，
∴∠DEC=∠BCD=67.5°，
∴∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED；
（3）如图2，
由（1）知CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC=67.5°，
∴∠CDE=45°，
过D作DM⊥CE于M，
∴CM=ME=CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°，
∵EM⊥DM，EF⊥DB，
∴EF=ME，
∵∠BFE=90°，∠B=45°，
∴∠BEF=∠B=45°，
∴EF=BF，
∴CE=2ME=2EF=2BF=4．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解本题的关键是△ADC≌△BED，解答时添加合适的辅助线是难点．
23．己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2画出图形探究线段FE，FA，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①利用中垂线得到∠FBC=∠FCB，从而得到∠FBA=∠FCA，再由等边三角形的性质得到∠ABF=∠AEF即可；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠ACD+∠ACF=30°，进而得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；
（2）先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠ACD﹣∠ACF=30°，进而得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；
【解答】解：（1）①∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FBA=∠FCA，
∵以AC为边作等边三角形ACE，
∴AE=AC=AB，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠ACF=∠AEF，
即：∠FEA=∠FCA；
②结论：EF=FA+AD，
∵以AC为边作等边三角形ACE，
∴∠EAC=60°，
由①有，∠ACF=∠AEF，
∴∠EFC=∠EAC=60°，
由①得，BF=CF，FD⊥BC，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，
∴∠BFD=∠CFD==60°，
∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，
∴∠ACD+∠ACF=30°，
∴∠ECF=∠ECA﹣∠ACF=60°﹣∠ACF=60°﹣（30°﹣∠ACD）=30°+∠ACD，
如图1，
延长AD，在AD上截取AD=DK，连接CK，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD=∠KCD，CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，∴∠FCK=∠ECF，
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=FD+AD；
（2）结论：EF=FA+AD，
如图2，
∵以AC为边作等边三角形ACE，
∴∠EAC=60°，
同（2）①的方法有，∠ACF=∠AEF，
∴∠EFC=∠EAC=60°，
同（2）①方法得，BF=CF，FD⊥BC，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，
∴∠BFD=∠CFD==60°，
∴∠FCD=90°﹣∠CFD=30°，
∴∠ACD﹣∠ACF=30°，
∴∠ECF=∠ECA+∠ACF=60°+∠ACF=60°+（∠ACD﹣30°）=30°+∠ACD，
延长AD，在AD上截取AD=DK，连接CK，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD=∠KCD，CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACD﹣∠ACF+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，
∴∠FCK=∠ECF，
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=FD+AD；
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是结论∠ACD+∠ACF=30°的判定．作辅助线是解本题的难点．
24．如图，线段AC∥x轴，点B在第四象限，AO平分∠BAC，AB交x轴于G，连OB，OC．（1）判断△AOG的形状，并证明；
（2）如图1，若BO=CO且OG平分∠BOC，求证：OA⊥OB；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M为AO上的一点，且∠ACM=45°，若点B（1，﹣2），求M 的坐标．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）由角平分线得出∠CAO=∠BAO，由平行线得出∠CAO=∠AOG，即∠BAO=∠AOG，即可；
（2）先判断出点F是BC中点，再用中位线得出AG=BG，从而判断出△AOB是直角三角形，即可；（3）先求出OG，从而求出AC，得出点A，C坐标，最后求出直线OA，CM的解析式，即可求出它们的交点坐标．
【解答】解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠BAO，
∵线段AC∥x轴，
∴∠CAO=∠AOG，
∴∠BAO=∠AOG，
∴GO=GA，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）如图1，
连接BC，
∵BO=CO且OG平分∠BOC，
∴BF=CF，
∵线段AC∥x轴，
∴AG=BG，
由（1）得OG=AG，
∴OG=AB，
∴△AOB是直角三角形，
∴OA⊥OB，
（3）如图2，连接BC，
由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，
∵点B（1，﹣2），
∴BF=2，OF=1，
在Rt△BFG中，BF=2，BG=FG+1，根据勾股定理得，（FG+1）2=FG2+4，
∴FG=，
∵AC∥OG，AG=BG，
∴AC=2FG=3，
由（2）有，BF=CF，BC⊥OG，
∵点B（1，﹣2），
∴C（1，2），A（4，2），
∴直线OA解析式为y=x①，
延长CM交x轴于E，
∵∠ACM=45°，
∴∠CEO=45°，
∴FE=FC=2，
∴E（3，0），
∵C（1，2），
∴直线AE解析式为y=﹣x+3②，
联立①②解得x=2，y=1，
∴M（2，1）．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的判定，待定系数法求直线解析式，解本题的关键是求出FG．。