高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题附解析

新《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A ．若//a α，//b α，则//a b
B ．若a α⊥，//a b ，则b α⊥
C ．若a α⊥，a b ⊥r r
，则//b α D ．若//a α，a b ⊥r r
，则b α⊥
【答案】B 【解析】 【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解． 【详解】
若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；
若a α⊥，//a b ，则由直线与平面垂直的判定定理知b α⊥，故B 正确； 若a α⊥，a b ⊥r r
，则//b α或b α⊂，故C 错误；
若//a α，a b ⊥r r
，则//b α，或b α⊂，或b 与α相交，故D 错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
2．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A ．
34
B ．
78
C ．
1516
D ．
2324
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，
该几何体的体积为11117
11132228
⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
3．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存
在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A 7
B ．3
C ．3
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】
把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值，
Q ||||3AB AD ==1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==．
所以11=90+60=150MA D ∠o o o
221111111113
2cos 13223()72
MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-⨯⨯-
⋅⨯=
故选A ． 【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
4．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）
A ．
3417
B ．
234
17
C ．
517
17
D ．
317
17
【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，
则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.
因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，
所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1
222
HG AC =
=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167
cos 22669
PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，
则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =.
在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317
2317
==
⨯⨯. 故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面
α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）
A ．36
B ．6
C ．5
D 53
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】
1,,A P C 确定一个平面α，
因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==
所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111
cos 25
AP PC AC APC AP PC +-∠=
=⨯ 所以126
sin APC ∠=
所以S 四边形1APQC 111
2sin 262
AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
6．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．
32
3
π C ．12π D ．32π
【答案】A 【解析】
先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】
BCD V 外接圆直径
23
sin
3
CD d CBD =
==∠ , 故球的直径平方222222(23)16D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】
本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,根据球直径22D d h =+求解即可.属于中等题型.
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．
273
B ．
276
C ．
274
D ．
272
【答案】D 【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】
几何体为一个三棱锥，高为33333，
，所以体积为1
127
=33333=322
V ⨯⨯⨯，选D. 【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
8．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F
分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C 【解析】 【分析】
设AE BF a ==，1
3
B EBF EBF V S B B '-'=
⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】
设AE BF a ==，则()()2
3119333288B EBF
a a V a a '-+-⎡⎤
=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当3a a =-，即3
2
a =
时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=
352AF =2292
A F AA AF ''=+=，132
22
EF AC =
=
， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，
由余弦定理得2
2
2
81945
2424cos 93222222
A F EF A E A FE A F EF +-
''+-'∠==='⋅⋅⨯，
∴4
A FE π
'∠=．
方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系，
则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭
u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，
所以992
2cos ,92322
A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，
所以异面直线A F '与AC 所成的角为4
π． 故选：C 【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.
9．在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与
AC 所成角可能为（ ）
A ．
12
π
B ．
4
π C ．
512
π D ．
2
π 【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与
AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三
角形PMQ 中()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-，即可求出
33cos QPM ∠∈⎣⎦
，，进而求出结果.
【详解】
取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：
设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，
在BMQ ∆中，2
2
2
2
2cos 6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-， 在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =， 所以在等腰三角形PMQ 中，()2
cos 0442QPM x x x
∠=
≤≤+-，
所以33cos 123QPM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦
，，
所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π
. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．
64
3
C ．16
D ．
163
【答案】D 【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116
4433V =⨯⨯=，故选D.
11．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
12．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米7144411.62
=≈斛．
故选：A ．
13．四棱锥P ABCD -所有棱长都相等，M 、N 分别为PA 、CD 的中点，下列说法错误的是（ ）
A ．MN 与PD 是异面直线
B ．//MN 平面PB
C C ．//MN AC
D ．MN PB ⊥
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A 、B 、C 的正误，由线线垂直可判断选项D ．
【详解】
由题意可知四棱锥P ABCD -所有棱长都相等， M 、N 分别为PA 、CD 的中点，MN 与PD 是异面直线，A 选项正确；
取PB 的中点为H ，连接MH 、HC ，
四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴且AB CD =，
M Q 、H 分别为PA 、PB 的中点，则//MH AB 且12
MH AB =， N Q 为CD 的中点，//CN MH ∴且CN MH =，则四边形CHMN 为平行四边形， //MN CH ∴，且MN ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，B 选项正
确；
若//MN AC ，由于//CH MN ，则//CH AC ，事实上AC CH C ⋂=，C 选项错误； PC BC =Q ，H 为PB 的中点，CH PB ∴⊥，//MN CH Q ，MN PB ∴⊥，D 选项正确.
故选：C ．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及直线与平面的平行与垂直的位置关系的判断，是中档题.
14．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng ，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A ．3
B ．5
C ．6
D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】 首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.
【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113⨯⨯⨯=， 中间棱柱的体积131232
V =⨯⨯⨯= , 所以该刍甍的体积是1235⨯+=.
故选：B
【点睛】
本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.
15．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B
【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为2 2的圆，且高为2， 所以其表面积为222)22212S πππ=+=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13，此三棱柱的高为23
A ．323π
B ．163π
C ．83π
D ．643
π 【答案】A
【解析】
【分析】 求得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)2r =+=，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为2221(3)21r r =+=⇒=，
根据球的性质，可得外接球的直径为22222(2)2(23)4R r h =+=+=，解得2R =，
所以该三棱柱的外接球的体积为343233
V R ππ=
=，故选A. 【点睛】
本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，15AA =，垂直于1AA 的截面分别与面对角线1D A ，1B A ，1B C ，1D C 相交于四个不同的点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为（ ）.
A ．83
B ．1258
C ．12825
D ．64081
【答案】D
【解析】
【分析】
由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形EFGH 为矩形，设点1A 到平面EFGH 的距离为()501t t <<，可表示出,EF FG ，根据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于t 的函数，利用导数可求得所求的最大值.
【详解】
Q 四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1AA ∴⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面1111D C B A
∴平面//EFGH 平面ABCD ，平面//EFGH 平面1111D C B A ，
由面面平行性质得：11EF //B D //GH ，EH //AC//FG ，
又11B D AC ⊥，EF FG ∴⊥，∴四边形EFGH 为矩形.
设点1A 到平面EFGH 的距离为()501t t <<，
11AC B D ==Q )1EF t ∴=-，FG =，
∴四棱锥1A EFGH -的体积()()
231160532133V t t t t t =⨯⨯-=-， ()2160233V t t '∴=-，∴当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0V '>，当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<， ∴当23t =时，max 16048640392781V ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：D .
【点睛】
本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.
18．在空间中，下列命题正确的是
A ．如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B ．两条异面直线所成的有的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
D ．如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个角可能互补判断A ；根据两条异面直线所成的角不能是零度,判断B ；根据根据两个平面平行的性质定理知判断C ；利用直线与这个平面平行或在这个平面内判断D.
【详解】
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A 不正确； 两条异面直线所成的角不能是零度,故B 不正确；
根据两个平面平行的性质定理知C 正确；
如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D 不正确,综上可知只有C 的说法是正确的,故选C.
【点睛】
本题考查平面的基本性质及推论,考查等角定理,考查两个平面平行的性质定理,考查异面直线所成的角的取值范围,考查直线与平面平行的判断定理,意在考查对基础知识的掌握情况，本题是一个概念辨析问题.
19．如图1，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M ，N ，Q 分别是线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上的动点，当三棱锥Q-BMN 的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为
A ．2
B ．1
C ．32
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】 判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．
【详解】
由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点，
俯视图如图所示：
可得其面积为：1113222111122222
⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】 本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.
20．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】
由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2， 则21122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】 本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。