河南省市鲁山一中2020-2021学年高一数学上学期12月月考试题(含解析)

河南省平顶山市鲁山一中2020-2021学年高一数学上学期12月月考试
题（含解析）
1.已知集合{|20}A x x =-<，{|lg 0}B x x =<，则A B =（ ）
A. {|02}x x <<
B. {|01}x x <<
C. {|12}x x <<
D. φ
【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合,A B 的元素，根据交集定义计算． 【详解】解：{|2},B {|01}A x x x x =<=<<；
∴{|01}A
B x x =<<．
故选B ．
【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题． 2.下列函数中，与y x =是同一函数的是( )
()1y =
()2log ;x
a y a = ()log 3;a x y a = ()4y = ())5.y n N =∈*
A. ()()24
B. ()()23
C. ()()12
D. ()()35
【答案】A 【解析】 【分析】
对选项一一判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数． 【详解】y ＝x 的定义域和值域均为R
对于（1）：y x =
=，可知y ≥0，对应法则不相同，∴不是同一函数；
对于（2）：y ＝log a a x
＝x ，定义域和值域均为R ，∴是同一函数；
对于（3）：y ＝log a x a ，定义域满足x ＞0，定义域不相同，∴不是同一函数；
对于（4）：y =
=x ，定义域和值域均为R ，∴是同一函数；
对于（5）：y n
n
x =（n ∈*
N ）*2k 21x n k N x n k ⎧==∈⎨=-⎩
，（），，对应法则不相同，∴不是同一函
数；
与y ＝x 是同一函数的是（2），（4）． 故选A ．
【点睛】本题考查函数的定义，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．
3.已知0a >，1a ≠，x
y a =和log ()a y x =-的图像只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像. 【详解】函数log ()a y x =-的定义域为(),0-∞，据此可排除选项A ,C ； 函数x
y a =与log ()a y x =-的单调性相反，据此可排除选项D ， 故选B .
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4.()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2
f -的值为（ ） A. 0 B. 3
C.
32
D. 92
-
【答案】A 【解析】 【分析】
首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭的值即可. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.已知()2
21f x x ax =-+在区间[]2,8上为单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )
A. [)8,+∞
B. (]
,2-∞ C. [)2,+∞ D. (]
,8-∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象的开口向上以及在[]
2,8上递增，所以对称轴在区间左边．由此可求实数
a 的取值范围.
【详解】
()221f x x ax =-+的对称轴为x a =，
又()f x 的图象是开口向上的抛物线，在[]
2,8上递增， 所以2a ≤， 故选B ．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，属基础题． 6.函数()42
x
x
f x -=-
的零点所在区间是( ) A. (1,0)- B. 1(0,)4
C. 11(,)42
D. 1(,1)2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意知函数是减函数，利用零点存在性定理即可找到零点所在区间.
【详解】易知函数()f x 为减函数，又121111
()402424
f -=-=->，11(1)042f =-<，根据
零点存在性原理，可知函数()42x
x f x -=-
的零点所在的区间是1
(,1)2
, 故选D.
【点睛】本题主要考查了函数零点，函数单调性，属于中档题.
7.已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
()
1.22b f -=，12c f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A. a c b >>
B. b c a >>
C. b a c <<
D. a b c >>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，由f （﹣x ）＝f （x ）可得f （x ）为偶函数，结合函数的单调性可得f （x ）在（0，+∞）上递减，进而又由2
﹣1.2
＜2﹣1
＜1＜log 23，分析可得答案．
【详解】解：根据题意，函数y ＝f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， 又由函数y ＝f （x ）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上递减，
a ＝f （
12log 3）＝f （log 2
3）
，b ＝f （2﹣1.2），c ＝f （12
）＝f （2﹣1）， 又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log 23， 则b ＞c ＞a ， 故选B ．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题． 8.已知3
log 14
a <，则a 的取值范围是（ ） A. 3
014a
a 或< B.
3
14
a << C. 34
a <
D. 34
a >
【答案】A 【解析】 【分析】
把1看成log a a ，利用指数函数的单调性求不等式的解. 【详解】原不等式等价于3
log log 4
a a a < ①， 当1a >时， ①必成立； 当01a <<时，①等价于3
4a <，故304
a <<， 综上，有3
04
a <<
或者1a >，故选A. 【点睛】一般地，()()()log log 0,1a a f x g x a a >>≠可等价地化为： （1）当1a >时，有()()0f x g x >>； （2）当01a <<，有()0()f x g x <<.
当对数的底数不确定时，要分类讨论，注意真数恒正的要求.
9.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意1x 、
()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10
x f x -≥的解集为（ ） A. (],1-∞
B. [)1,+∞
C. (][],01,2-∞
D.
[][)0,12,+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且函数()y f x =在()1,+∞上单调递
增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减，()()20f f =，由()()10x f x -≥可得出
()100x f x -≤⎧⎨≤⎩或()
10
0x f x ->⎧⎨
≥⎩，解出即可. 【详解】
()()2f x f x =-，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，
该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00f =，
对任意1x 、()21,x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， 可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，
所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得出该函数在(),1-∞上单调递减， 当10x -≤时，即1x ≤时，则有()()00f x f ≤=，
由于函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤≤； 当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，
由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥. 综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞.
故选：D.
【点睛】本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对1x -的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.已知函数22,1()log ,1
a x ax x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 03a <≤
B. 2a ≥
C. 23a ≤≤
D.
02a <≤或3a ≥
【答案】C 【解析】
因为()f x 单调递增，所以12130a a a ⎧≥⎪⎪
>⎨⎪-+≤⎪⎩
，所以23a ≤≤，故选C ．
点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足．本题中，结合函数的性质，可以得到
1,1,302
a
a a ≥>-+≤，所以解出23a ≤≤． 11.已知函数()2log ,0,2,0x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩
， 若()1
2f a =，则实数a 的值为（ ） A. -1
C. -1
D.
1或-【答案】C 【解析】 【分析】
解两组方程21log 20a a ⎧
=⎪⎨⎪>⎩或1220
a a ⎧=
⎪⎨⎪≤⎩即可.
【详解】由题设有21log 20a a ⎧
=⎪⎨⎪>⎩或1220
a a ⎧=
⎪⎨⎪≤⎩
，故a =1a =-，故选C.
【点睛】分段函数的相关问题，有两个基本的解题思路：（1）分段处理即利用各段的解析式构建相应的方程或不等式，注意不同的解析式对应的范围；（2）利用图像即画出函数在给定范围的图像，利用图像求解相应的不等式或方程的解.
12.若关于x 的不等式342x
a log x -≤
在102x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B. 10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D. 30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题4x -log a x≤
32对102x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，恒成立，函数3
y 42
x =- 的图象不在y=log a x 图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数a 讨论．即
可求解．
【详解】由题意得4x -
32≤log a x 在102x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，上恒成立， 即当102x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦，时，函数3
y 42x
=-
的图象不在y=log a x 图象的上方， 由图知：当a ＞1时，函数31
y 40)2
2
x
x （=-<≤
的图象在y=log a x 图象的上方； 当0＜a ＜1时，121
log 2
a
≥ ，解得114a ≤< ．
故选A ．
【点睛】本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a 讨论．属于中档题．
13.计算：121lg lg 251004-⎛⎫
-÷= ⎪⎝⎭
________.
【答案】20-. 【解析】 【分析】
根据对数和指数的运算性质可得出答案. 详解】原式(
)1
2
2
22
22
1
lg 2lg5100lg
10(lg10)102102025
--=-⨯=⨯=⨯=-⨯=-⨯， 故答案为20-.
【点睛】本题考查对数与指数的运算，解题的关键就是熟练运用对数与指数的运算性质进行计算，考查计算能力，属于基础题.
14.已知函数()()
2
lg 2f x x ax =-+在区间()1,2上的减函数，则实数a 的取值集合是______.
【答案】{1} 【解析】 【分析】
设2t 2x ax =-+, 要使题设函数在区间()1,2上是减函数，只要2t 2x ax =-+在区间()1,2）上是减函数，且t ＞0，故可得对称轴'()x φ 且2240a -+≥ ，由此可求实数a 的取值集合. 【
详解】】设2t 2x ax =-+,由题意可得对称轴'()x φ，而且2240a -+≥，联立可得1a =. 即答案为{}1.
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了转化的数学思
想，属于基础题．
15.已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=5
2
，a b =b a ，则a= ，b= . 【答案】42 【解析】
试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为215
22
t t a b t +=
⇒=⇒=， 因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算．
【易错点睛】在解方程5
log log 2
a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5
log log 2
a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误
16.已知函数21,0
(){(1),0
x x f x f x x --+≤=->，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不
同的实数根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】11[,)32
【解析】
【详解】
由已知，作出函数()y f x =与函数()()log 201a y x a =+<<的图象， 将条件“方程有且仅有两个不同的实数根”， 转化为“两个函数有且仅有两个不同的交点”，
由图象可知当0x <时，两函数已有一交点，则当0x ≥时， 确保再有一个交点即可，
所以()()1log 021log 21
11
{log 121{log 312332
0101
a a a a a a a a -+>->-+≤-⇒≤-⇒<≤⇒≤<<<<<.
点睛：此题主要考查有关指数函数、对数函数、分段函数，以及函数交点等方面知识，数形结合法等技能，属于中高档题型，也是高频考点.数形结合的思想方法应用广泛，常见的比如在解方程和不等式问题中，在求解三角函数问题中，在求函数的定义域、值域等问题中等等，数形结合思想不仅直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，尤其在解选择题和填空题中更是节约了不少时间.
17.已知全集U =R ，集合{A 24}x
x =≤　
,}{
B 14x x =<≤
(1)求U A (C )B ⋂；
(2)若集合{|4}C x a x a =-<<，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{
}()1? U A C B x x ⋂=≤（2）}{
3
a a ≤
【解析】
详解】试题分析：(1)求出集合A,B 进行运算即可
（2）分C =φ和C ≠φ两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解
试题解析： (1) {}{
A 24}2x
x x x
=≤=≤
}{
U C 14
B x x x =≤>（）或
(){}1
U A C B x x ⋂=≤
（2）①当C =φ时，即
，所以
，此时C B ⊆
满足题意 2a ∴≤ ②当C ≠φ时，
，即时，
所以2414a a a >⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
，解得：23a <≤
综上，实数a 的取值范围是}{
3
a a ≤
18.已知定义域为R 的函数()22x
x
a f x
b -=+是奇函数
（1）求,a b 的值.
（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明. （3）若存在t R ∈，使(
)()2
2
420f k t
f t t ++-<成立，求k 的取值范围．
【答案】(1) 1,1a b == (2)见解析；（3）4k >- 【解析】
试题分析：（1）利用函数为R 上的奇函数，根据(0)0f =，()()11f f -=-分别求出,a b 的
值；（2）由（1）可得出函数的解析式即12()12x x
f x -=+，然后根据利用定义证明单调性的步骤
证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性化简2
2
()(42)0f k t f t t ++-<，进而求得k 的取值范围； 试题解析：（1）
()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即
1
01
a b -=+，1a ∴=，由于()()11f f -=-
∴
122122a a b b -
-=-++， 即1
12,212,1122b b b b b =∴+=+∴=++ 经验证符合题意，因此1a =，1b =
（2）12(21)22
()1121212
x x x x x
f x --++===-++++，因此()f x 在R 上是减函数，证明如下： 任取12,x x R ∈，且12x x <，
1221121212121212222(22)
()()12121212(12)(12)
x x x x x x x x x x f x f x ----=-=-=++++++
12x x <，1222x x ∴<，12()()0f x f x ∴->即12()()f x f x >，因此()f x 在R 上是减函数
（3）
22()(42)0f k t f t t ++-<，且()f x 是R 上的奇函数，22()(24)f k t f t t ∴+<-，
又由于()f x 在R 上是减函数，2224k t t t ∴+>-，即24k t t >-，设()2
4g t t t =-，则
()min k g t >，而
考点：函数的奇偶性与单调性的综合应用；
19.若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()2
43f x x x =-+．
（1）求()f x 在R 的解析式；
（2）若a R ∈，()()g x f x a =-，试讨论a 取何值时，()g x 零点的个数最多？最少？
【答案】（1）()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪
==⎨⎪---<⎩
；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）由奇函数的性质得出()00f =，并设0x <，可得出0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义得出函数()y f x =在0x <的表达式，由此可得出函数()y f x =在R 上的表达式；
（2）令()0g x =，得出()a f x =，作出函数()y f x =与直线y a =的图象，结合图象得出实数a 在不同取值下函数()y g x =的零点个数，由此可得出函数()y g x =零点最多和最少时，实数a 的取值.
【详解】（1）由于函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =；
当0
x<时，0
x
->，()()()
22
4343
f x f x x x x x
∴=--=-++=---.
综上所述，()
2
2
43,0
0,0
43,0
x x x
f x x
x x x
⎧-+>
⎪
==
⎨
⎪---<
⎩
；
（2）令()0
g x=，得出()
a f x
=，作出函数()
y f x
=与直线y a
=的图象如下图所示：当0
a=时，()()
g x f x a
=-有5个零点；
当01
a
<<或10
a
-<<时，()()
g x f x a
=-有4个零点；
当1
a=±时，()()
g x f x a
=-有3个零点；
当13
a
<<或31
a
-<<-时，()()
g x f x a
=-有2个零点；
当3
a≤-或3
a≥时，()()
g x f x a
=-有1个零点；
综上所述，当0
a=时，()()
g x f x a
=-零点的个数最多；当3
a<-或3
a>时，
()()
g x f x a
=-零点的个数最少．
【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想、数形结合思想的应用，属于中等题.
20.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百
般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且
210100,040()10000
7019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪
⎩
，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；
()II 2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000
()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨-++≥⎪⎩
（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本250万和成本()R x ）求出利润函数即可. （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.
【详解】（Ⅰ）当040x <<时，()()
2
2
7001010025010600250W x x x x x x =-+-=-+-；
当40x ≥时，()100001000070070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+
--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴ ()210600250,040
100009200,40
x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛⎫
-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩. （Ⅱ）若040x <<，()()2
10308750W x x =--+， 当30x =时，()max 8750W x =万元 .
若40x ≥，()10000920092009000W x x x ⎛⎫
=-++≤-= ⎪⎝⎭
， 当且仅当10000
x x
=
时，即100x =时，()max 9000W x =万元 . ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.
【点睛】解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式. 21.已知幂函数()()3*p
f x x
p N -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上为增函数.
（1）求不等式()()22132p
p
x x +<-的解集.
（2）设()()log a g x f x ax ⎡⎤=-⎣⎦()0,1a a >≠，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 21,3⎡
⎫-⎪⎢⎣⎭ (2) a =
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意偶函数和在()0,∞+上为增函数，解得1p =，得到
()
()1
1
2
2
132x x +<-，结合定义域和单调性，解得答案；
（2）由()g x 在[]2,3上有意义得，所以02a <<且1a ≠，所以()2
h x x ax =-在[]2,3上为增函数，分12a <<和01a <<两类讨论，解得答案． 试题解析：
（1）由已知得30p ->且*
∈p N ，所以1p =或2p =
当2p =时，()3p
f x x
-=奇函数，不合题意
当1p =时，()2
f x x =
所以不等式()()22132p p x x +<-变为()()11
22132x x +<- 则0132x x ≤+<-，解得213
x -≤<
所以不等式()()
2
2
132p p x x +<-解集为21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
.
（2）()()
2
log a g x x ax =-，令()2
h x x ax =-，由()0h x >得()
(),0,x a ∈-∞+∞
因为()g x 在[]2,3上有定义
所以02a <<且1a ≠，所以()2
h x x ax =-在[]2,3上为增函数
（Ⅰ）当12a <<时，()()()max 3log 932a g x g a ==-=
即2390a a +-=，∴32a -±=
，又12a <<，∴32
a -+= （Ⅱ）当01a <<时，()()()min 2log 422a g x g a ==-=
即2240a a +-=，∴1a =-.
22.已知函数()=log (+)?0,1x
a f x a k a a （且）>≠
（1）当1k =时，求f （
x)的值域. （2）若存在区间[,]m n ，使()f x 在[,]m n 上值域为[
,]22
m n
，求k 的取值范围. 【答案】（1）10+a >∞当时，值域为（，）,01,0a 当时，值域为（）<<-∞ （2）1
04
k << 【解析】 【分析】
（1）当1k =时，得到函数的解析式，利用对数函数的单调性，分类讨论即可求解函数的值域；
（2）由[]
,x m n ∈，)f x （
的值域为,22m n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，又由()=log (+)x a f x a k 在[],a b 上单调递增，列出方程组，转化为方程log (+)=
2
x
a x
a k 有两个不同的根，即可求解. 【详解】（1）当k 1=时，()x
x
x
a f x =log (a +1)a 0,a +11>∴>，，，
x a a a 1log (a +1)>log 1=0,0+∞>当时，值域为（，） x a a 0a 1log (a +1)<log 1=0,,0∞<<-当时，值域为（）
（2）因为[]
x m,n ∈，f x)（的值域为m n ,22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，而()x a f x =log (a +k)在[]a,b 上单调递增，
所以()()m 2n 2f m f n ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，即存在k 使()
()
m
a n a
m log a 2n
log a 2k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，即方程x
a x log (a +k)=2有两个不同的根，即x
x 2a +k=a 有两个不同的根
令x
2a =t (t 0)>即方程2t t k 0-+=有两个不同的正数根
即=1-4k>0
100k 410
k ∆⎧⎪
>∴<<⎨⎪>⎩
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的定义域和值域的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及合理利用函数的定义域和值域，列出相应的方程组，转化为方程有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。