江西省都昌县三叉港中学2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学二(含解析)
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因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以 C 正确；
从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，
因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不正确．
5．【答案】C
【解析】设正项等比数列an 的公比为 q ，则 q 0 ，
依题意可得
a1q
4
=
9a1q2 a1
，解得 q = 3 ， a1 = 1 ，
A． (− ln 2, − 1 ln 6) 3
C． (− 1 ln 6, − 3 ln 2)
3
4
B． (− ln 2, − 1 ln 6] 3
D． (− 1 ln 6, − 3 ln 2]
3
4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．平面向量 a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = ma + b(m R) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，
3 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
20．（12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y = 3 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点 2
是 M ，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2 ，椭圆 C 的另一个焦点是 F1 ，且
MF1
MF2
据此可得，
z
的虚部为
1 2
．
3．【答案】D
如下图所示：
【解析】在 的终边上取点 P(1, −2) ，则 r = 12 + (−2)2 = 5 ，
根据三角形函数的定义得 sin = y = −2 = − 2 5 ，故选 D． r5 5
4．【答案】C
【解析】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故 A，B 不正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，
又T = 2[6 − (−2)] = 16 ，∴ = 2π = 2π = π ，∴ π 6 + = 2kπ ， k Z ， T 16 8 8
∵ π ，∴ = − 3 π ，∴ f (x) = 2 3 sin( π x − 3 π) ，故选 D．
4
84
8．【答案】D
【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱 ABC − A1B1C1 切掉一个三棱锥 C1 − A1B1D ，
第 i 项的预测难度（ i = 1, 2, , n ），规定：若 S 0.05 ，则称该次测试的难度预测合理，否则为不
合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表 3）所示： 表 3：
（1）求证：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ； （2）若 AD ⊥ PB ，求二面角 D − PB − C 的余弦值．
表 1：
判断本次测试的难度预估是否合理．
规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分．
（1）以抽取的这10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．
①设抽取的这10 名职工中，每名职工测试合格的项数为 X ，根据上面的测试结果统计表，列出 X 的
分布列，并估计这120 名职工的平均得分；
．
y + 2 0
A．
B．
15．已知抛物线方程为 y2 = 4x ，直线 l 的方程为 x − y + 5 = 0 ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距
离为 d1 ，到直线 l 的距离为 d 2 ，则 d1 + d2 的最小值为
．
16．已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A − BCD 的外接球，
表（表 2）：
表 2：
19．（12 分）如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD = 60 ， APD = 90 ， 且 AD = PB ．
定义统计量
S
=
1 n
[( N1
−
N1)2
+
(N2
−
N2
)2
+
+ (Nn − Nn )2 ] ，其中 Ni 为第 i 项的实测难度，Ni 为
B． f (x) = 2 3 sin( πx + 3π) 84
D． f (x) = 2 3 sin( πx − 3π) 84
8．如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
为（ ）
如图是某城市 2018 年12 月全月的指 AQI 数变化统计图：
1 / 12
A． 4 f (−2) 9 f (3)
B． 4 f (−2) 9 f (3)
C． 2 f (3) 3 f (−2)
D． 3 f (−3) 2 f (−2)
11．已知 O 为坐标原点， F
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左焦点， A ， B
分别为 C
的左，右
顶点， P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ，若
②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人得分不少
于 20 分的概率；
（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为
Ni
=
Ri z
，其中
Ni
为第 i
项测试难度， Ri
为第 i
项合格
的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这10 名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下
f
(log0.2 3)
=
f
(− log0.2 3)
=
f
(log0.2
1) ， 3
∵ 50.2
50
=1，0
log0.2
1 3
log0.2
0.2
= 1，∴ 0
log0.2
1 3
1 50.2
，
∴
f
(log0.2
1) 3
f
(1)
f
(50.2 ) ，∴ b
c
a ，故选 A．
7．【答案】D
【解析】由题意 A = 2 3 ，
则m=
．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在数列{an} 中， a1 = 1 ， a2 = b ，前 n 项之和为 Sn ．
（1）若{an} 是等差数列，且 a8 = 22 ，求 b 的值；
（2）对任意的
n
N*
有：
an+2 an
1．已知全集U = R ， M = {x | −x2 2x} ，则 ðU M = （ ）
A．{x | −2 x 0}
B．{x | −2 x 0}
C．{x | x −2 或 x 0}
D．{x | x −2 或 x 0}
2．已知
i
是虚数单位，
z
是
z
的共轭复数，若
z(1
+
i)
=
1 1
− +
C．
D．
BC = 3， AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆
面积的取值范围是
．
10．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，设函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意 x 0 都有
2 f (x) + xf (x) 0 成立，则（ ）
C． c a b
D． c b a
7．已知函数 f (x) = Asin( x + ) （ A 0 ， 0 ，| | π ）的部分图象如图所示，则 f (x) 的
解析式为（ ）
A． f (x) = 2 3 sin( πx + π) 84
C． f (x) = 2 3 sin( πx − π) 84
（1）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与 C2 交于 A ， B 两点， A ， B 的中点为 M ，点 P (0, −1) ，求 PM AB 的值．
5 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
12．已知偶函数 f (x) 满足 f (4 + x) = f (4 − x) ，且当 x (0, 4] 时， f (x) = ln(2x) ，关于 x 的不等 x
式 f 2 (x) + af (x) 0 在区间[−200, 200] 上有且只有 300 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年高考考前 45 天大冲刺卷
理 科 数 学（二）
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
=
9 4
．
（1）求椭圆 C 的方程；源自（2）直线 l 过点 (−1, 0) ，且与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，求△F2PQ 的面积的最大值及此时△F2PQ
内切圆半径．
21．（12 分）已知函数 f (x) = ex − ax2 ，且曲线 y = f (x) 在点 x = 1 处的切线与直线 x + (e − 2) y = 0
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
:
x
=
5 cos
（ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴
y = 2 + 5 sin
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 : 2 = 4 cos − 3 ．
，
S3
= 13 ，则 a5
=
（
）
A． 81 16
B． 27
C． 81
D． 243
6．已知函数 f (x) = lg( x +1) ，记 a = f (50.2 ) ， b = f (log0.2 3) ， c = f (1) ，则 a ， b ， c 的大小
关系为（ ）
A． b c a
B． a b c
【解析】 M = {x | −x2 2x} = {x | −2 x 0}，全集U = R ，
则 ðU M = {x | x −2 或 x 0}．
2．【答案】A
【解析】由题意可得 z
=
1−i (1+ i)2
= 1−i 2i
=
1 2i
−
1 2
=
−1i− 2
1 2
，则 z
=
−1 2
+
1i， 2
∴b =
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． 32
B．16
C． 32 3
D． 80 3
9．设函数 f (x) 为函数 f (x) = x sin x 的导函数，则函数 f (x) 的图象大致为（ ）
x −3y +5 0
14．已知实数 x ， y 满足不等式组 2x + y − 4 0 ，则 z = x + y 的最小值为
= 4 ，且 S10
= 2a10
−1，试证明：数列{an} 是等比数列．
2 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
18．（12 分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120 名职工进行一次业务技能测试，测试项 目共 5 项，现从中随机抽取了10 名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表 1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）．
a1 + a1q + a1q2 = 13
垂直．
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）求证： x 0 时， ex − ex −1 x (ln x −1) ．
4 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) = x + a + x − 2 ． （1）若 a = −4 ，求不等式 f (x) 6 的解集； （2）若 f (x) x − 3 的解集包含[0,1] ，求实数 a 的取值范围．
i i
，则
z
的虚部为（
）
A． 1 2
B． − 1 2
C． 1 i 2
D． − 1 i 2
3．已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边落在射线 2x + y = 0( x 0) 上，
则 sin = （ ）
A． 5 5
B． − 5 5
C． 2 5 5
D． − 2 5 5
4．空气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法， AQI 指数与空气质量对应如下表所示：
根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
5．正项等比数列an 的前 n
项和为
Sn
，若 a5
=
9a3 a1
从 AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，
因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故 D 不正确．
5．【答案】C
【解析】设正项等比数列an 的公比为 q ，则 q 0 ，
依题意可得
a1q
4
=
9a1q2 a1
，解得 q = 3 ， a1 = 1 ，
A． (− ln 2, − 1 ln 6) 3
C． (− 1 ln 6, − 3 ln 2)
3
4
B． (− ln 2, − 1 ln 6] 3
D． (− 1 ln 6, − 3 ln 2]
3
4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．平面向量 a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = ma + b(m R) ，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，
3 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
20．（12 分）已知椭圆 C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 y = 3 x 与椭圆 C 在第一象限内的交点 2
是 M ，点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆 C 的右焦点 F2 ，椭圆 C 的另一个焦点是 F1 ，且
MF1
MF2
据此可得，
z
的虚部为
1 2
．
3．【答案】D
如下图所示：
【解析】在 的终边上取点 P(1, −2) ，则 r = 12 + (−2)2 = 5 ，
根据三角形函数的定义得 sin = y = −2 = − 2 5 ，故选 D． r5 5
4．【答案】C
【解析】从整体上看，这个月 AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故 A，B 不正确； 从 AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，
又T = 2[6 − (−2)] = 16 ，∴ = 2π = 2π = π ，∴ π 6 + = 2kπ ， k Z ， T 16 8 8
∵ π ，∴ = − 3 π ，∴ f (x) = 2 3 sin( π x − 3 π) ，故选 D．
4
84
8．【答案】D
【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱 ABC − A1B1C1 切掉一个三棱锥 C1 − A1B1D ，
第 i 项的预测难度（ i = 1, 2, , n ），规定：若 S 0.05 ，则称该次测试的难度预测合理，否则为不
合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表 3）所示： 表 3：
（1）求证：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ； （2）若 AD ⊥ PB ，求二面角 D − PB − C 的余弦值．
表 1：
判断本次测试的难度预估是否合理．
规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分．
（1）以抽取的这10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．
①设抽取的这10 名职工中，每名职工测试合格的项数为 X ，根据上面的测试结果统计表，列出 X 的
分布列，并估计这120 名职工的平均得分；
．
y + 2 0
A．
B．
15．已知抛物线方程为 y2 = 4x ，直线 l 的方程为 x − y + 5 = 0 ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距
离为 d1 ，到直线 l 的距离为 d 2 ，则 d1 + d2 的最小值为
．
16．已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A − BCD 的外接球，
表（表 2）：
表 2：
19．（12 分）如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD = 60 ， APD = 90 ， 且 AD = PB ．
定义统计量
S
=
1 n
[( N1
−
N1)2
+
(N2
−
N2
)2
+
+ (Nn − Nn )2 ] ，其中 Ni 为第 i 项的实测难度，Ni 为
B． f (x) = 2 3 sin( πx + 3π) 84
D． f (x) = 2 3 sin( πx − 3π) 84
8．如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
为（ ）
如图是某城市 2018 年12 月全月的指 AQI 数变化统计图：
1 / 12
A． 4 f (−2) 9 f (3)
B． 4 f (−2) 9 f (3)
C． 2 f (3) 3 f (−2)
D． 3 f (−3) 2 f (−2)
11．已知 O 为坐标原点， F
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 的左焦点， A ， B
分别为 C
的左，右
顶点， P 为 C 上一点，且 PF ⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ，若
②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人得分不少
于 20 分的概率；
（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为
Ni
=
Ri z
，其中
Ni
为第 i
项测试难度， Ri
为第 i
项合格
的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这10 名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下
f
(log0.2 3)
=
f
(− log0.2 3)
=
f
(log0.2
1) ， 3
∵ 50.2
50
=1，0
log0.2
1 3
log0.2
0.2
= 1，∴ 0
log0.2
1 3
1 50.2
，
∴
f
(log0.2
1) 3
f
(1)
f
(50.2 ) ，∴ b
c
a ，故选 A．
7．【答案】D
【解析】由题意 A = 2 3 ，
则m=
．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在数列{an} 中， a1 = 1 ， a2 = b ，前 n 项之和为 Sn ．
（1）若{an} 是等差数列，且 a8 = 22 ，求 b 的值；
（2）对任意的
n
N*
有：
an+2 an
1．已知全集U = R ， M = {x | −x2 2x} ，则 ðU M = （ ）
A．{x | −2 x 0}
B．{x | −2 x 0}
C．{x | x −2 或 x 0}
D．{x | x −2 或 x 0}
2．已知
i
是虚数单位，
z
是
z
的共轭复数，若
z(1
+
i)
=
1 1
− +
C．
D．
BC = 3， AB = 2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆
面积的取值范围是
．
10．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，设函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意 x 0 都有
2 f (x) + xf (x) 0 成立，则（ ）
C． c a b
D． c b a
7．已知函数 f (x) = Asin( x + ) （ A 0 ， 0 ，| | π ）的部分图象如图所示，则 f (x) 的
解析式为（ ）
A． f (x) = 2 3 sin( πx + π) 84
C． f (x) = 2 3 sin( πx − π) 84
（1）求 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若曲线 C1 与 C2 交于 A ， B 两点， A ， B 的中点为 M ，点 P (0, −1) ，求 PM AB 的值．
5 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
答案与解析
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）
A． 1 3
B． 1 2
C． 2 3
D． 3 4
12．已知偶函数 f (x) 满足 f (4 + x) = f (4 − x) ，且当 x (0, 4] 时， f (x) = ln(2x) ，关于 x 的不等 x
式 f 2 (x) + af (x) 0 在区间[−200, 200] 上有且只有 300 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年高考考前 45 天大冲刺卷
理 科 数 学（二）
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
=
9 4
．
（1）求椭圆 C 的方程；源自（2）直线 l 过点 (−1, 0) ，且与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，求△F2PQ 的面积的最大值及此时△F2PQ
内切圆半径．
21．（12 分）已知函数 f (x) = ex − ax2 ，且曲线 y = f (x) 在点 x = 1 处的切线与直线 x + (e − 2) y = 0
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
:
x
=
5 cos
（ 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴
y = 2 + 5 sin
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 : 2 = 4 cos − 3 ．
，
S3
= 13 ，则 a5
=
（
）
A． 81 16
B． 27
C． 81
D． 243
6．已知函数 f (x) = lg( x +1) ，记 a = f (50.2 ) ， b = f (log0.2 3) ， c = f (1) ，则 a ， b ， c 的大小
关系为（ ）
A． b c a
B． a b c
【解析】 M = {x | −x2 2x} = {x | −2 x 0}，全集U = R ，
则 ðU M = {x | x −2 或 x 0}．
2．【答案】A
【解析】由题意可得 z
=
1−i (1+ i)2
= 1−i 2i
=
1 2i
−
1 2
=
−1i− 2
1 2
，则 z
=
−1 2
+
1i， 2
∴b =
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
A． 32
B．16
C． 32 3
D． 80 3
9．设函数 f (x) 为函数 f (x) = x sin x 的导函数，则函数 f (x) 的图象大致为（ ）
x −3y +5 0
14．已知实数 x ， y 满足不等式组 2x + y − 4 0 ，则 z = x + y 的最小值为
= 4 ，且 S10
= 2a10
−1，试证明：数列{an} 是等比数列．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
18．（12 分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120 名职工进行一次业务技能测试，测试项 目共 5 项，现从中随机抽取了10 名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表 1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）．
a1 + a1q + a1q2 = 13
垂直．
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）求证： x 0 时， ex − ex −1 x (ln x −1) ．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f (x) = x + a + x − 2 ． （1）若 a = −4 ，求不等式 f (x) 6 的解集； （2）若 f (x) x − 3 的解集包含[0,1] ，求实数 a 的取值范围．
i i
，则
z
的虚部为（
）
A． 1 2
B． − 1 2
C． 1 i 2
D． − 1 i 2
3．已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边落在射线 2x + y = 0( x 0) 上，
则 sin = （ ）
A． 5 5
B． − 5 5
C． 2 5 5
D． − 2 5 5
4．空气质量指数 AQI 是一种反映和评价空气质量的方法， AQI 指数与空气质量对应如下表所示：
根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从 AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D．从 AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
5．正项等比数列an 的前 n
项和为
Sn
，若 a5
=
9a3 a1