2023届云南省曲靖市第一中学高三下学期教学质量监测试卷(五)数学答案

曲靖一中2023届高三教学质量监测卷（五）
数学参考答案
一、选择题题号123456789101112答案
B
A
D
D
B
D
C
A
BCD
ABD
ACD
BCD
1.【答案】B
【解析】因为{}{}
2R
12,R A x x B x x A =∈-≤≤=∈∉∣∣，
所以{
}{
}
2222
-<>
∈=>∈=x x R x x R x B 或，所以{}
|2A B x x =<≤ .
故选B
2.【答案】A
【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为(1,-2)，
所以12z i =-，则12i z =+，所以()()()2
12i 12i 34i 34i.12i 12i 12i 555
z z ++-+=
===-+--⨯+故选：A.
3．【答案】D
【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A 错误，
对于B,具有线性相关关系的两个变量x ,y 的相关系数为r ,则r 越接近于1,x 和y 之间的线性相关程度越强,故B 错误,
对于C,在一个22⨯列联表中,由计算得2χ的值,则2
χ的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C 错误,
对于D ，()
2
~1,X N σ ,
(01)(12)P X P X ∴<<=<<(1)(2)0.50.20.3P X P X =>->=-=.故D 正确.
4.【答案】D
【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，
弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，ππ
322
R r ∴
=⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，解得：1r =，3R =，
∴该曲池的体积221119ππππ510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫
=-⨯=-⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭.故选：D.5.【答案】B
【解析】函数π()2sin(0)3
f x x ωω=->的图象向左平移
3ω
π
个单位得到函数()y g x =
的图象，则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤
⎛⎫=+
-= ⎪⎢⎝
⎭⎣⎦
，又因为()y g x =在ππ
[,64
-上为增函数，
所以ππ62ω⎛⎫⋅-
≥- ⎪⎝⎭
，且ππ42ω⋅≤，解得：2ω≤，故ω的最大值为2.故选：B.
6．【答案】D
【详解】若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为25
25A A 240=，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为24
24A A 48=，
由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.7.【答案】C 【详解】设:b
l y x a
=
，则点M 位于第四象限，由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=；设过点
2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan b
a α=
，cos a c
α∴=，12cos a
F F M c
∴∠=
；在12F F M △中，由余弦定理得：2
2
2
12
21
12122
cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，
即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.8.【答案】A
【详解】设()e 1x
f x x =--.
因为()e 1x
f x '=-，
所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增，所以当x ∈R ，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+．所以()0.3
3e
30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，
又因为0.60.90.3e e e
13e 33
b a -==<<，所以b a <．综上可知，
c b a <<．
故选：A 二、多选题
9.【答案】BCD
【详解】A 选项，由()
2
27a b
-=
，以及||||1a b == ，可得1447a b +-⋅=
，
则1=||||cos ,2a b a b a b ⋅<>=- ，即1cos ,2
a b <>=- ，又,[0,180]a b <>∈ ，
所以夹角,=a b <>
120°．
对于B ，因为()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，且,a b
共线，
则()()1311x x ⨯=-+解得2x =±.所以B 正确.
C 选项，a 在b
方向上的投影向量为
282cos ,,171717b a b b a a b b b b b ⋅⎛⎫⨯=⨯==-=-- ⎪⎝⎭
，故C 正确，
对于D ，因为22b a ==
，所以2a b -
==
5==所以2a b -
的最大值是5，所以D 正确，
10.【答案】ABD
【详解】∵224120x y y +--=即22(2)16x y +-=，∴圆心()0,2C ，半径4r =()1,0P -在圆C
内，PC =设圆心C 到直线AB 的距离为d
，由题意得0d ≤≤
∵AB =
min AB ==，故A
正确；
11
22
ABC S AB d d =
⋅=⨯==△∵205d ≤≤，∴当25d =
时，()max ABC S =△，故B 正确C 错误，．取MN 的中点E ，则CE MN ⊥
，又MN =
3CE =，∴点E 的轨迹是以()0,2C 为圆心，半径为3的圆．
因为2PM PN PE +=
，且min 33PE PC =-= ，
所以||PM PN +
的最小值为65-D 正确．
故选：ABD ．11．【答案】ACD
【解析】取11B C 、1C C 中点E F 、，连接11D E D F 、、EF 、PF ，由PF ∥1BC ∥11A D 且PF ＝111BC A D =知11A PFD 是平行四边形，∴1D F ∥1A P ，∵1D F ⊄平面1A PD ，1A P ⊂平面1A
PD ，1D F ∥平面1A PD ，同理可得EF ∥平面1A PD ，
∵EF ∩1D F ＝F ，
∴平面1A PD ∥平面1D EF ，则Q 点的轨迹为线段EF ，A 选项正确；
如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A ，
11,1,2P ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，()0,0,1D ，
设）z x Q ,1,(，1,0≤≤z x ，则()11,0,1A D =- ，110,1,2A P ⎛⎫= ⎪⎝
⎭ ，()1,1,.
D Q x z =
设(),,m a b c
=为平面1A PD 的一个法向量，
则110,0.m A D m A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,2a c c b -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩得,.2a c c b =⎧⎪⎨=-⎪⎩
取1c =，则11,,12m ⎛⎫=-
⎪⎝⎭ .若1D Q ⊥平面1A PD ，则1D Q ∥m ，即存在R λ∈，使得1D Q m λ=
，则12x z λ
λλ
=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得
[]20,1x z ==-∉，故不存在点Q 使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 选项错误；
1A PD △的面积为定值，∴当且仅当Q 到平面1A PD 的距离d 最大时，三棱锥1Q A PD -的
体积最大.
12332
A Q m d x z m ⋅==+-
，①23≤
+z x ，()2
13
d x z =-+，则当0x z +=时，d 有最大值1；
②32x z +>
，()213d x z =+-，则当2x z +=时，d 有最大值13
；综上，当0x z +=，即Q 和1C 重合时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 选项正确；
11D C ⊥平面11BB C C ，111D C C Q ∴⊥
，
12D Q
，12C Q ∴=，Q
点的轨迹是半径为2
，圆心角为2π的圆弧，轨
迹长度为
4
，D 选项正确.故选：ACD.12．【答案】BCD
【详解】令x ＝0，则()()f y f y -=-，所以()f x 为奇函数，故A 错误．令x ＝y ＝0，得()00f =，故B 正确．
任取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()2121121x x f x f x f x x ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭
．
因为()()1221121110x x x x x x +-=-+->，所以21121x x x x -<-，所以21
12
011x x x x -<
<-．
因为()0,1x ∈，()0f x >，所以211201x x f x x ⎛⎫
-> ⎪-⎝⎭
，()()12f x f x <，
即()f x 在()1,1-上单调递增．
因为A ，B 是锐角ABC 的内角，所以π2A B +>，所以π
2
A B >-，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
．
因为sin A ，()cos 0,1B ∈，所以()()A f B f sin cos <，故C 正确．
因为0n x >，且2
111
2n n n
x x x ++=，所以122(0,1)1n n n x x x +=∈+．
令y ＝－x ，则222()1x f x f x ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭，
令n x x =，则()()12
221n
n n n
x f x f f x x +⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
，所以()()12n n f x f x +=．
因为()11f x =，所以(){}n f x 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以()1
2n n f x -=，故D 正确．
故选：BCD 三、填空题13.34
【详解】依题意()()4
3
2340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0=x ，得90=a ，
令1x =，得43
012342343a a a a a ++++=+=.
故=+++4321a a a a 34
14.
16π
【详解】如图1所示，连接PO ，则222PO OB PB +=，解得2
PO =即2PO OB ==，此圆锥外接球的球心为O ，半径为2，表面积为24π216π
S =⨯=
15.3
2
+
【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，
2(sin cos )1
1sin cos 2
x x x x +-=+++
,
令πsin cos 4t x x x ⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭,
因为π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,
所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
,所以(
π4t x ⎛
⎫=+∈ ⎪⎝⎭,
所以(
211
(),22
g t t t t =++∈,对称轴0
11t =-<,
所以211
()22
g t t t =
++在(
单调递增,
所以当0t =max 3
()2
g t g ==+
,
即当πsin 14x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.
故答案为:3
2
.
16．
3
2
【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的直线l 为2p
y kx =+，()()
1122,,,A x y B x y
联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩
消去x 得()
2222104p y k py -++=，可得2124p y y =∵33AF BF ==，则可得：21123
2p y p y ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得231224p p p ⎛
⎫⎛--= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =
过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1
sin MF
MD
MN MN MND
=
=
∠若
MN MF
取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切
2
3x y =，即2
3
x y =，则23y x
'=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()
2
0002
33x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得22
0023
433
x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪
⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4
MND ∠=则
1
sin MF
MD
MN MN MND
==
∠2
故答案为：
3
2
2四、解答题.
17．【详解】(1)因为422n n n S a -=…①,故1
11422n n n S a +++-=…②,()
*n N ∈②-①可得11142222n n n n n a a a +++-+=-.
整理可得112n n n a a -++=,即1
2n n b -=,()*n N ∈.
因为11222
n
n n n b b +-==,()*n N ∈.故{}n b 是等比数列.(2)当1n =时,111422S a -=,解得11a =,又1
12n n n a a -++=,
)
()()()(2126543212n n n a a a a a a a a S ++++++++=- 1
2531-++++=n b b b b 4141--=n 3
1
4-=
n .18．【详解】（13sin cos b A b A a c -=-，由正弦定理，
3sin sin sin cos sin sin B A B A C A -+=，()3sin sin sin cos sin sin B A B A A B A -++=，3sin sin cos sin sin B A B A A +=．
因为sin 0A >3cos 1B B +=，即1sin 62B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
因为()0,B π∈，所以7,666B πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以56
6
B π
π+
=
，即23B π=．
（2）法一：因为点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，
所以2133BD BA BC =+ ，
所以22222141433999BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭
，
因为3AB =，2BD =，23
ABC π
∠=
，所以241414939992
BC BC =⨯+-⨯⨯⨯
，
即260BC BC -=
，解得6BC = ，即BC=6．
法二：由已知得DC=2AD,设x AD =，x DC 2=.∵BDC
ADB ∠-=∠π∴BDC
COS ADB COS ∠-=∠∴x x 22942⨯-+=x
a x 2224422⨯⨯-+-，即()
1622-=x a ………①
又∵
120=∠ABC ∴2
1329922-=⨯⨯-+a x a ，即()
19322=--+x a a ………②
由方程①②解得6=a ，即BC=6.
19．【详解】（1）11//BB CC ，且1BB ⊄平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1//BB ∴平面11ACC A ，又1BB ⊂ 平面1B BD ，且平面1B BD 平面
11ACC A DE =，
1//BB DE ∴；
（2）连结1A C ，取AC 中点O ，连结1AO ，BO ，在菱形11ACC A
中，
160A AC ∠= ，
∴AC A 1∆是等边三角形，又O 为AC 中点，1A O AC ∴⊥，
平面ABC ⊥平面11ACC A ，
平面ABC 平面11ACC A AC =，1A O ⊂平面11ACC A ，且1A O AC ⊥，1A O ∴⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，1A O OB ∴⊥，
又AB BC = ，BO AC ∴⊥，
以点O 为原点，1,,OB OC OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D,满足题意，设)0,0a D ，（()22≤≤-a ，
)0,00，（O ，()0,2,0A -
，(10,0,A ，()3,0,0B ，
()0,,3a BD -=
，(10,2,DE AA ==
，
设平面1B BDE 的一个法向量为),,(z y x n =，
则0
0n BD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，所以⎩⎨⎧=+=+-0
32203z y ay x
，令z =，则3=y ，a x =，
故)3,3,(-=a n ，
设平面11ABB A 的法向量为)
,,(111z y x m =()
32,2,01=AA ,()
0,2,3=AB ⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅001m AB m AA ,⎩⎨⎧=+=+0230
322y x z y ，令3-=y ，则2=x ，3=z ，故)3,3,2(-=m
，2
1
16
12122cos 2=
+-=
=
a a ，解2=a ，所以点D 在点C 的位置时，平面11ABB A 与平面1B BDE 所成锐角为
3
π
.由于D 不与A 、C 重合，故AC 上不存满足题意的点.20.【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学
校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B ，
则()26210C 1C 3
P A ==，()24210C 2
C 15P AB ==，
所以，()()()
25
P AB P B A P A =
=
.（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X 的所有可能取值为0,1,2,3，
所以()0346310C C 2010C 1206P X ⋅====，()12
46
3
10C C 6011C 1202
P X ⋅====，()2146310C C 363
2C 12010P X ⋅====，()30
46310C C 413C 12030
P X ⋅====，
所以X 的分布列如下表：X
01
23
P
1612
310
130
所以()131623210305
E X =
+⨯+⨯=（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C ，则2
3
2
33
322220C 1C 33327P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由题意列式20827n ≥，得54
5
n ≥，因为*N n ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试
21【详解】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y 由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为
72
；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为1
2. 动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切，
112122
7242
12PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩
∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>，其中2
24,22,2,3a c a b ==∴==，从而轨迹E 的方程为：22
1
43
x y +=证明：（2）由题意可知1(2,0)A -，2(2,0)A ，(4T ，)(0)t t ≠，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，
如图所示，直线1AT 的方程为(2)6t y x =+，直线2A T 的方程为(2)2
t y x =-，联立方程22(2)614
3t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(27)441080t x t x t +++-=，2124108227t x t -∴-⋅=+，即2
12
54227t x t -=+，则21122
54218(2)(2)662727t t t t y x t t -=+=+=++，222
54218(,)2727t t M t t -∴++，联立方程22(2)214
3t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(3)44120t x t x t +-+-=，∴22241223t x t -=+，即222
263t x t -=+，则22222
266(2)(2)2233t t t t y x t t --=-=-=++，2226(3t N t -∴+，26)3t t -+，2222222
1866273542269273MN t t t t t k t t t t t +++∴==-----++，∴直线MN 的方程为2222
6626()393t t t y x t t t -+=--+-+，即222666(1)999
t t t y x x t t t =-+=-----，3t ≠±，故直线MN 过定点(1,0)，所以FMN ∆的周长为定值8，
当3t =±时，3(1,)2M ，3(1,)2N -或3(1,)2M -，3(1,)2
N ，MN ∴过焦点(1,0)，此时FMN ∆的周长为定值48a =，
综上所述，FMN ∆的周长为定值8．
22.【详解】（1）1=a ，x e x f x -=)(，1)(-='x e x f ，∴0)0(='f 又∵1)0(=f ，∴在))0(,0(f 处的切线方程为1=y .
（2） ()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根， e 0ax >，∴0,x >)(x f 有两个零点即ln x a x
=
有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=， ()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,
x >
()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，
()max 1()e e G x G ∴==
，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →)(x f 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；（3） 1
,0a x ≥>，所以e e ax x x x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，ln 1e x x b x x
∴≤--对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)x x F x x x x =-
->，min (),b F x ∴≤()222ln e ln e x x x x x F x x x
+=+='令()()2e ln ,0,x h x x x x ∞=+∈+，则()x 212e e 0,x h x x x x
+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，又()1
20e 11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭，01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，即0200e ln 0x x x +=①，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，()00min 000
ln 1()e x x F x F x x x ∴==-
-由①知0200e ln x x x =-，001
ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭， 函数()e x x x ϕ=在()0,+∞单调递增，
00
1ln x x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000
111()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.。