弹性力学_第二章 应力

P / A0 cos2 ( P / A0 ) cos sin
§2-4 平面应力状态
平面应力状态应力关系
边界只存在正应力情况 平面应力状态如图所示，假设z=0。 x－1 ，y－2 ，任意截面上BC：(, ) 设截面BC的面积A， AC面积为Acos，
= 0。
§2-4 平面应力状态
边界同时存在正应力、剪应力情况
如图所示， x－x、 ；y－y、 任意截面上BC：( ，) 设截面BC的面积A， AC的面积为Acos ， AB的面积为Asin 。
边界同时存在正应力、剪应 力时斜截面受力图
§2-4 平面应力状态
沿BC面的法线方向力的平衡方程为：
弹性力学
第二章 应力
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 外力 应力与应力张量 平衡微分方程 平面应力状态 空间应力状态
§2-6 主平面、应力主方向与主应力 §2-7 空间应力状态几何表示
§2-8 纯剪切状态
§2-9 应力球张量和应力偏张量 §2-10 八面体应力
§2-1 外力

物体外力
1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上的和 。 坐标系： － 圆 应力圆
（或莫尔圆，由德国工 程师：Otto Mohr引入）
2
心： 轴上点 径： 1 ( ) 1 2
当 d x , d y 0 时，得切应力互等定理:
xy yx
§2-3 平衡微分方程
推广到三维应力状态
x yx zx Fx 0 x y z xy y zy Fy 0 x y z xz yz z Fz 0 x y z
fx, fy
应力：作用于各边上，
并表示出正面上
由坐标增量引起 的应力增量。
§2-3 平衡微分方程
列出平衡条件：
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出3个平衡条件（X、Y方向力的平衡和绕C的力矩的平衡）
F 0,
x
σ x (σ x d x )d y 1 σ x d y 1 x yx ( yx d y )d x1 yx d x1 f x d xd y 1 0. y
材料力学
在画应力圆时，应按材料力学的符 号规定。
§2-2 应力与应力张量
其它x、z正面上的应力分量的表示如图所示。


应力作用面的法向 与坐标正向一致时， 应力的正向亦与坐 标正向一致 应力作用面的法向 与坐标负向一致时， 应力的正向亦与坐 标负向一致
§2-2 应力与应力张量
在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变 换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。 应力分量 x 、 y 、 z 、xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz满足 上述性质，构成应力张量。
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
AB的面积为Asin 。
沿BC面的法线方向力的平衡方程为： 即：
A ( 1 A cos ) cos ( 2 A sin ) sin
1 cos2 2 sin 2
(2-1)
§2-4 平面应力状态
符号规定：
图示单元体面的法线为y，称为y面，应力 分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为 y ，沿y轴的正向为正，其下 标表示所沿坐标轴的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，
z o x y
用 y下标x、y分别表示沿坐标轴
的方向。如图示的 yx 、 yz 。

——分为两类
体力 分布在物体整个体积内的外力如重 力，惯性力，电磁力等 面力 分布在物体表面上的外力，如液体 压力、风力和接触力等


1.体力的说明
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。 物体内任一点的体力用Fb表示，称为体力矢量，其 方向由该点的体力合力方向确定。 体力沿三个坐标轴的分量用Fbi（ i = 1，2，3）或 者Fbx、Fby、Fbz表示，称为体力分量。体力分量的 方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 应该注意的是：这里体力是指一点的体力。
§2-6 主平面、应力主方向与主应力 §2-7 空间应力状态几何表示
§2-8 纯剪切状态
§2-9 应力球张量和应力偏张量 §2-10 八面体应力
§2-4 平面应力状态
应力的方向性
应力与方向有关，例如简单拉伸。垂直于轴线 平面上的应力
0 P / A0
P—轴向力； A0——垂直于轴线的横截面面积。 而当所截平面的法线与轴线成α角时，由于斜 面的面积增大(由A0→A0/cosα) ， 相应的轴向应 力为 来越小。
§2-6 主平面、应力主方向与主应力 §2-7 空间应力状态几何表示
§2-8 纯剪切状态
§2-9 应力球张量和应力偏张量 §2-10 八面体应力
§2-2 应力与应力张量
物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力， 为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一
部分：
§2-2 应力与应力张量

2.体力的定义
3.面力的说明
面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性 体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条 件是弹性力学问题求解的主要条件。 面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i = 1，2，3） 或者Fsx、Fsy和Fsz表示。 面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反 之为负。 这里的面力指的是一点的面力。
§2-8 纯剪切状态
§2-9 应力球张量和应力偏张量 §2-10 八面体应力
§2-3 平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体 的平衡条件。 平衡
物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论一点的平衡。
§2-3 平衡微分方程
§2-3 平衡微分方程
以平面为例 在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 d x d y 1 ,作用于微分体上的力： 体力：
S
τ
正应力 σ 切应力（或剪应力）τ
σ
§2-2 应力与应力张量
应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面
的方位也有关。 描述应力，通常用一点平行于坐标
z o x y
平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴 的分量来表示，称为应力分量。 物体内各点的内力平衡，因此相对 平面上的应力分量大小相等，方向相反。
§2-2 应力与应力张量
沿a-a方向，力的平衡方程为：
A ( 1 A cos )sin ( 2 A sin ) cos
即：
( 1 2 ) sin cos
(2-2)
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
§2-4 平面应力状态
由式(2-1)和(2-2)，将 消去后，可得：
o
120 80
40 50 60
80 60 120
y
60
x
z
40 40 100 50 60 80
第二章 应力
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 外力 应力与应力张量 平衡微分方程 平面应力状态 空间应力状态
§2-6 主平面、应力主方向与主应力 §2-7 空间应力状态几何表示
x xy xz 11 12 13 ij yx y yz 21 22 23 z 33 31 32 zx zy
§2-2 应力与应力张量
应力张量的特点 应力张量为二阶张量。 应力张量为对称张量。 一点的应力状态完全由应力张量确定。 应力分量是标量，箭头仅是说明方向。
4.面力的定义
5.内力
内力：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等， 物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体 一部分与相邻部分之间的作用力。 内力的计算可以采用截 面法，即利用假想平面将物 体截为两部分，将希望计算 内力的截面暴露出来，通过 平衡关系计算截面内力F。
第二章 应力
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 外力 应力与应力张量 平衡微分方程 平面应力状态 空间应力状态
可以证明应力张量是对称的（切应力互等定律），6个独立分量：
xy yx
yz zy
xz zx
x y z
xy yz zx
举例
例 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。
x xy xz
yx y yz
zx 100 zy 40 z 80
§2-3 平衡微分方程
其中一阶微量抵消，并除以 d x d y 得：
x yx fx 0 x y
F y 0 ，同理可得：
y y xy x fy 0
§2-3 平衡微分方程
M c 0 , 得
1 xy 1 yx xy dx yx dy 2 x 2 y
材料力学考虑有限体 V 的平衡（近似）。 弹性力学考虑微分体 dV 的平衡（精确）。
当dV 均平衡时，保证 V，V 平衡；反之则不然。所 以弹性力学的平衡条件是严格的，并且是精确的。
第二章 应力
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 外力 应力与应力张量 平衡微分方程 平面应力状态 空间应力状态
其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是 分布在截面上分布力的合力。
取截面的一部分，它的面积为ΔA， ΔP 作用于其上的内力为ΔP， 平均集度为ΔP/ΔA，其极限
ΔA
P S lim A
为物体在该截面上ΔA点的应力。
§2-2 应力与应力张量
通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为
1 P / A0 cos
随着α增大，截平面越来越倾斜，应力也就越
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
§2-4 平面应力状态
应力的方向性 通常将任意方向截面上的
单 向 拉 伸 时 轴 向 应 力 值 随 截 面 方 位 变 化
应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力） 显然，有：
张量形式为：
ij ,i Fj 0
§2-3 平衡微分方程
对平衡微分方程的说明： ⑴ 代表A 中所有点的平衡条件， 因为（ x ，） y ∈A ； ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出；
⑷ 对两类平面问题的方程相同；
§2-3 平衡微分方程
⑸比较:
理论力学考虑整体 V 的平衡（只决定整体的运动状态）。
§2-2 应力与应力张量
符号规定
图示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 y ，沿y轴负向为正。
平行于单元体面的应力如图所 示 yx 、 yz，沿x轴、z轴的负向为正。
z o x y
§2-2 应力与应力张量
符号规定
弹性力学
注意弹性力学切应力符号和材料力
学是有区别的，图示中，弹性力学
里，切应力都为正，而材料力学中 相邻两面的的符号是不同的。
1 ( 1 2 ) 2
半
2
§2-4 平面应力状态
任一截面上的 和 确定方法： 取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角 的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2 点的 轴上的 和 的值。 3 2 2 最大剪应力确定方法：出现于 或 的截面上，即 2 2 1 出现在图中的 的截面上，最大剪应力的值为 ( 1 2 ) 。 2 4 1 2 = 0情况下应力圆：应力圆将切于上，最大剪应力值等于 1。 2 1=2 =0 的情况下：应力圆将变成一个点，此时在任一截面上将有
A ( x A cos )cos ( y A sin )sin