高中数学《洛必达法则在不等式恒成立问题中的运用》

利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
(一)应用场景
近些年高考函数与导数经常考查不等式恒成立问题求参数范围，此类问题主要采用分类讨论最值和参变分离求最值，由于含参讨论比较困难，因此学生更多选择参变分离来处理。

但有时分离后的函数的最值会在无意义点处或者趋近于无穷大。

此时利用洛必达法则可达到事半功倍的效果。

（二）知识链接
洛必达法则： 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1) ()lim x a f x →=()lim 0x a
g x →=（或∞）； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0；
(3)()()
lim x a f x l g x →'='， 那么 ()
()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='。

例：（1）lim x ®p 2sin x -1cos x //22(sin 1)cos 0lim lim 0(cos )sin 1x x x x x x ππ→→-====-- (00型) （2）1
ln 1lim lim lim 01x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=== (+∞+∞
型)
注意事项：
①将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，洛必达法则也成立。

②洛必达法则可处理00，+∞+∞，-∞-∞等，着手求极限以前，首先要检查是否满足00，+∞+∞，-∞-∞
型定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

③若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

（三）典例示范
例1：（全国新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x =
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。

（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x
>+-，求k 的取值范围。

思路：根据已知条件，易分离出参数k ，然后对分离出的函数()g x 求导，研究其单性，并求出()g x 的最值，但解答中发现()g x 在x=1处无意义，无法求出()g x 的最值，此时便可以借助洛必达法则出其极限值
解答：（II ）由题设可得，当0,1x x >≠时，k<
2
2ln 11x x x +-恒成立。

令g (x)= 22ln 11x x x +-(0,1x x >≠),则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅-， 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0,1x x >≠)，则()12ln h x x x x x '=+-，()212ln 1h x x x ''=+-，易知()2
12ln 1h x x x ''=+-在()0,+∞上为增函数，且()10h ''=；故当(0,1)x ∈时，()0h x ''<，当x ∈（1，+∞）时，()0h x ''>； ∴()h x '在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数；故()h x '>()1h '=0
∴()h x 在()0,+∞上为增函数
()1h =0
∴当(0,1)x ∈时，()0h x <，当x ∈（1，+∞）时，()0h x >
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当x ∈（1，+∞）时，()0g x '>
∴()g x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数
由洛必达法则知
()2111ln 1ln 1lim 2lim 12lim 1210122x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭
∴0k ≤，即k 的取值范围为（-∞，0]
例2（个人原创）已知函数322
()f x x ax bx a =+++，
（1）略
（2）当1a =-时，若(,0)x ∀∈-∞，都有()x f x e ≤恒成立，求b 的取值范围
思路：根据已知条件，易分离出参数b ，然后对分离出的函数()g x 求导，研究其单性，并求出()g x 的最值，但解答中发现()g x 在x=0处无意义，无法求出()g x 的最值，此时
便可以借助洛必达法则出其极限值
解答：当0x <时，321x
x x bx e -++≤恒成立 等价于321x e x x b x
-+-≥恒成立 令321()x e x x g x x -+-= 则22(1)(21)'()x x e x x g x x
----= 再令2
()21x h x e x x =---
由'()41x h x e x =--得''()4x h x e =- ∴ 当0x <时，''()4x h x e =-<0,
∴ '()41x h x e x =-- 在(,0)-∞单调递减
∴ (,0)x ∀∈-∞，'()'(0)h x h >即'()0h x >
∴2()21x h x e x x =---在(,0)-∞单调递增
∴(,0)x ∀∈-∞，()(0)h x h <即()0h x <
∴(,0)x ∀∈-∞，22
(1)(21)'()0x x e x x g x x ----=> ∴321()x e x x g x x
-+-=在(,0)-∞单调递增 ∴由洛必达法则可得
3201lim x x e x x x →-+-320(1)'lim 'x x e x x x →-+-==2032lim 1
x x e x x →-+=1 ∴(,0)x ∀∈-∞，()g x <1
∴要使321x e x x b x
-+-≥恒成立，只需1b ≥ ∴b 的取值范围是[1,)+∞
（四）题后感知
虽然“洛必达法则”超出高考大纲，但它对求不定式极限值是巧妙而有效的，特别是现在高考试卷中的压轴题经常是导数应用问题，其中有关函数不等式恒成立求参数的取值范围就是重点考查的一类题型。

建议学有余力的同学要学会运用洛必达法则来处理不等式恒成立
问题。