九年级(上)期末考试数学试题(答案)

九年级（上）期末考试数学试题(答案)
一、选择题（1--10小题每题3分，11--16每题2分共42分）
1．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大幅度增加退休人员退休金．企业退休职工刘师傅2017年月退休金为2500元，2019年月退休金达到了3280元．设刘师傅的月退休金从2017年到2019年平均增长率设为x，可列方程为（）
A．2500（1﹣x）2＝3280
B．2500（1+x）2＝3280
C．3280（1﹣x）2＝2500
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝3280
4．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则b a的值是（）
A．B．﹣C．4D．﹣1
5．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
6．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间
的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（）米．
A．75•sin55°B．75•cos55°C．75•tan55°D．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1B．1或5C．3D．5
8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（）
A．由小变大
B．由大变小
C．始终不变
D．先由大变小，然后又由小变大
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A．B．
C．D．
10．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（）
A．130°B．100°C．50°D．65°
11．如图，是由几个相同的小正方体组合而成的立体图形的三视图，则这个几何体的小正方体的个数是（）
A．5B．6C．7D．8
12．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）
A．10B．18C．20D．22
13．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）
A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 14．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）
A．6B．15C．24D．27
15．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）
A．1B．2C．4D．无法计算
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在
（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（没空2分共12分）
17．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB 的长度是：．
18．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是．
19．请你根据已有的学习经验和策略，试着研究函数y＝，并提出这个函数的两条性质
①
②
20．如图①，正三角形和正方形内接于同一个圆；如图②，正方形和正五边形内接于同一个圆；
如图③，正五边形和正六边形内接于同一个圆；…；则对于图①来说，BD可以看作是正边形的边长；若正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形的顶点可以看做是边形的边长．
三、解答题
21．（12分）基本计算：
（1）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝8
（3）若＝＝，求的值
22．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1三点的坐标．（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．
23．（7分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“道”、“德”、“青”、“县”的四个
小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“德”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“道德”或“青县”的概率．
24．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝的图象过点A （6，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A 的直线与反比例函数y ＝图象的另一个交点为B ，与y 轴交于点P ，若AP ＝3PB ，求点B 的坐标．
25．（10分）如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线
交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ．
（1）求证：∠ABC ＝∠AED ；
（2）连接BF ，若AD ＝，AF ＝6，tan ∠AED ＝，求BF 的长．
26．（11分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克
售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w （元）最大？此时的最大利润为多少元？
27．（12分）如图，已知∠MON ＝120°，点A ，B 分別在OM ，ON 上，且OA ＝OB ＝a ，将射
线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM ′，旋转角为α（0°＜α＜120°，且α≠60
°），作点A 关于直线OM ′的对称点C ，画直线BC 交OM ′于点D ，连接AC ，AD ．
（1）求证：AD ＝CD ；
（2）如图1，当0°＜α＜60°时，试证明∠ACD 的大小是一个定值；
（3）当60°＜α＜120°时，（2）中的结论还成立吗？请补全图形并说明理由；
（4）△ACD 面积的最大值为 ．（直接写出结果）
2018-2019学年河北省沧州市青县九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（1--10小题每题3分，11--16每题2分共42分）
1．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
【解答】解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个随机事件，有可能发生，故此选项正确；
C、大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．3．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大幅度增加退休人员退休金．企业退休职工刘师傅2017年月退休金为2500元，2019年月退休金达到了3280元．设刘师傅的月退休金从2017年到2019年平均增长率设为x，可列方程为（）
A．2500（1﹣x）2＝3280
B．2500（1+x）2＝3280
C．3280（1﹣x）2＝2500
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝3280
【分析】设刘师傅的月退休金从2017年到2019年平均增长率设为x，根据刘师傅2017年及2019年的月退休金，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设刘师傅的月退休金从2017年到2019年平均增长率设为x，
根据题意得：2500（1+x）2＝3280．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则b a的值是（）
A．B．﹣C．4D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝﹣2b＝1，
解得a＝2，b＝﹣，
∴b a＝（﹣）2＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
B、k＝﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
C、∵﹣＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确；
D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜
y2，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
6．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（）米．
A．75•sin55°B．75•cos55°C．75•tan55°D．
【分析】根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【解答】解：根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且tanα＝，
则AB＝AC×tan55°＝75•tan55°，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1B．1或5C．3D．5
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（）
A．由小变大
B．由大变小
C．始终不变
D．先由大变小，然后又由小变大
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，推出∠BON＝∠MOC，证出△OBN≌△OCM．
【解答】解：重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的．
理由如下：
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BON＝∠MOC．
在△OBN与△OCM中，
，
∴△OBN≌△OCM（ASA），
∴四边形OMCN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的．
故选：C．
【点评】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形OMCN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝，BC＝2，
∴AC：BC：AB＝：2：＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（）
A．130°B．100°C．50°D．65°
【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，利用三角形内角
和定理和角平分线的性质可得∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可
求得∠BOC的值．
【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：A．
【点评】本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．
11．如图，是由几个相同的小正方体组合而成的立体图形的三视图，则这个几何体的小正方体的个数是（）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个．
故选：A．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
12．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）
A．10B．18C．20D．22
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
＝PC+AC+DB+PD
＝PA+PB
＝10+10
＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长＝PA+PB．
13．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）
A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1设解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，过点（﹣3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式．
14．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）
A．6B．15C．24D．27
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC∽△DEF，再由相似三角形的性质即可得到结果．
【解答】解：∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，
∴＝＝＝，
∴△ABC ∽△DEF ，
∴
＝
＝，
∵△ABC 的面积是3， ∴S △DEF ＝27，
∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △ABC ＝24． 故选：C ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1
上，PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．无法计算
【分析】根据反比例函数y ＝（k ≠0）系数k 的几何意义得到S △POA ＝×4＝2，S △BOA ＝×2＝1，然后利用S △POB ＝S △POA ﹣S △BOA 进行计算即可． 【解答】解：∵PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，
∴S △POA ＝×4＝2，S △BOA ＝×2＝1， ∴S △POB ＝2﹣1＝1． 故选：A ．
【点评】本题考查了反比例函数y ＝（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y ＝（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |． 16．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在
（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a +b ＜0；②﹣1≤a ≤﹣；③对于任意实数m ，a +b ≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实
数根．其中结论正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b ＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①正确；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（没空2分共12分）
17．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB
的长度是：100m．
【分析】根据题意可得＝，把BC＝50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可
【解答】解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，
∴＝，
∵BC＝50m，
∴AC＝50m，
∴AB＝＝100m，
故答案为：100m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
18．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是R＝4r．
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是：＝，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，
∴＝2r，
即：R＝4r，
r与R之间的关系是R＝4r．
故答案为：R＝4r．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
19．请你根据已有的学习经验和策略，试着研究函数y＝，并提出这个函数的两条性质
①函数图象在一三象限，在第一象限y随x的增大而减小，在第二象限y随x的增大而增
大
②函数的图象关于y轴对称
【分析】根据反比例函数的性质以及函数值为正的特点得出即可．
【解答】解：函数y＝的两条性质有：①函数图象在一三象限，在第一象限y随x的增大而减小，在第二象限y随x的增大而增大；②函数的图象关于y轴对称，
故答案为：函数图象在一三象限，在第一象限y随x的增大而减小，在第二象限y随x的增大而增大；函数的图象关于y轴对称，
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．20．如图①，正三角形和正方形内接于同一个圆；如图②，正方形和正五边形内接于同一个圆；
如图③，正五边形和正六边形内接于同一个圆；…；则对于图①来说，BD可以看作是正十二边形的边长；若正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多边形的顶点可以看做是正n（n+1）边形的边长．
【分析】如图①，连接OA、OB、OD，先计算出∠AOD＝120°，∠AOB＝90°，则∠BOD
＝30°，然后计算可判断BD是正十二边形的边长；对于正n边形和正（n+1）边形
内接于同一个圆，同样计算出∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝，利用＝n（n+1）
可判断BD可以看作是正n（n+1）边形的边长．
【解答】解：如图①，连接OA、OB、OD，
∵正三角形ADC和正方形ABCD接于同一个⊙O，
∴∠AOD＝＝120°，∠AOB＝＝90°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝30°，
∵＝12，
∴BD可以看作是正十二边形的边长；
若正n边形和正（n+1）边形内接于同一个圆，
同理可得∠AOD＝，∠AOB＝，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝﹣＝，
∵＝n（n+1），
∴BD可以看作是正n（n+1）边形的边长．
故答案为十二；正n（n+1）．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
三、解答题
21．（12分）基本计算：
（1）计算：2sin30°﹣4sin45°•cos45°+tan260°．
（2）解方程（x﹣1）（x﹣3）＝8
（3）若＝＝，求的值
【分析】（1）将各特殊角的三角函数值代入上式，再进行实数的乘方、乘法及减法运算；
（2）先将原方程化为一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程；
（3）设比值为k（k≠0），然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣4××+（）2
＝1﹣2+3
＝2；
（2）原方程可化为x2﹣4x﹣5＝0，
整理得（x+1）（x﹣5）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5；
（3）设＝＝＝k（k≠0），
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以＝＝＝．
【点评】（1）本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，记住特殊角的三角函数值是解题的关键；
（2）本题考查了解一元二次方程﹣﹣﹣因式分解法，应用十字相乘法是解答此题的关键；
（3）本题考查了比例的基本性质，利用“设k法”求解更简便．
22．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1三点的坐标．（2）求出（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后写出它们的坐标；
（2）先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C1点所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1、B1、C1三点的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，1），（﹣3，4）；
（2）OC＝＝5，
所以C点旋转到C1点所经过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（7分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“道”、“德”、“青”、“县”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“德”的概率为多少？
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“道德”或“青县”的概率．
【分析】（1）4个汉字中“德”只有1个，求出所求概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“道德”、“青县”的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）任取一个球，球上的汉字刚好是“德”的概率为；
（2）列表得：
∴取出两个球上的汉字能组成“道德”或“青县”的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象过点A（6，1）．（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线与反比例函数y＝图象的另一个交点为B，与y轴交于点P，若AP＝3PB，求点B的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式；
（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM＝6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，由平行线的性质结合AP＝3PB即可求出BN的长度，从而得出点B的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标．
【解答】解：（1）反比例函数的图象过点A（6，1），
∴m＝6×1＝6，
∴反比例函数的表达式为．
（2）过A点作AM⊥y轴于点M，AM＝6，作BN⊥y轴于点N，则AM∥BN，如图所示．∵AM∥BN，AP＝3PB，
∴，
∵AM＝6，
∴BN＝2，
∴B点横坐标为2或﹣2，
∴B点坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数图象上点的坐标特
征，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数关系式是解题的关键．
25．（10分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：∠ABC＝∠AED；
（2）连接BF，若AD＝，AF＝6，tan∠AED＝，求BF的长．
【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD＝∠ABC，进而得出答案；
（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．
【解答】（1）证明：连接DC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠AED；
（2）解：连接BF，
∵在Rt△ADC中，AD＝，tan∠AED＝，
∴tan∠ACD＝＝，
∴DC＝AD＝，
∴AC＝＝8，
∵AF＝6，
∴CF＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，
∵∠ABC＝∠AED，
∴tan ∠ABC ＝＝，
∴＝，
解得：BD ＝，
故BC ＝6， 则BF ＝
＝2．
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD ＝∠ABC 是解题关键．
26．（11分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y （千克）与售价x （元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w （元）最大？此时的最大利润为多少元？
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y 与x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y 与x 的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w （元）＝售量×每件利润可表示出w 与x 之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得
，。