上海市2019届初三数学一模提升题汇编第24题（二次函数综合）（含2019上海中考试题答案）

22
213-3)（第24题图）题图）
∵抛物线
21:C y ax bx A B
=+经过点、，
∴可得：3
4203323
3a a b a b b ì
=-+=ìïïíí-=-ïî=ïî解得：………………………………………………（1分）分）
∴这条抛物线的表达式为
23233
3
y x x
=-+
…………………………………………（1
分）分）
（2）过M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ，∵
2323
33y x x =-
+
∴顶点M 是31,3æöç÷
ç÷èø，得33MG = ……………………………………………………（1
分）分）
∵(1,3)A
--，M 31,3æö
ç÷ç÷
èø．
∴得：直线AM 为233
33y x =- …………………………………………………（1分）分） ∴直线AM 与x 轴的交点N 为1,02æö
ç÷
èø……………………………………………………（1
分）分）
∴
1122AOM S
ON MG ON AH D =×+×113113
22322=´´+´´
3
3=
…………………………………………………………………………（1分）分）
（3）∵
）
3
3，
1（M 、)0,2(B ，
∴
3
3MG Rt BGM MBG BG D Ð=在中，中，tan tan =
，∴MBG а=30．
∴MBF 150Ð=°．由抛物线的轴对称性得：MO=MB ，
∴MBO MOB=150Ð=а． ∵OB=120A а，∴OM=150A а ∴OM=MBF A ÐÐ．
∴
BM BF
OA OM 或BF BM OA OM 相似时，有：AOM 与MBF 当=
=D D 即
33
2BF 233
2或BF 3322332==，∴32BF 或2BF =
=． ∴）
0，38
）或（0，4（F ………………………………………………（2分）分）
设向上平移后的抛物线
k
x x y ++-=33233:为C 22，
当）0，4（F 时，
338=
k ，∴抛物线33
833233:为C 22+
+-=x x y …（1
分）分）
当）0，38
（
F 时，27316=
k ，抛物线22323163:3327C y x x =-++……．（1分）】
【2019届一模浦东】届一模浦东】
24. （本题满分12分，其中每小题各4分）分）
已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，直线1
2y x b
=-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B. 抛物线（1）求抛物线的表达式; （2）求证: △BOD ∽△AOB; 
（3）如果点P 在线段AB 上，且∠BCP=∠DBO ， 求点P 的坐标. 
x
B
O
A
y
【24、（1）2114
82y x x =-++；（2）证明略；（3）1612,55æöç÷èø】
【2019届一模杨浦】届一模杨浦】
24．（本题满分12分，每小题各4分）分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
(0)
y ax bx c a =++?与y 轴交于点C （0,2），
它的顶点为D （1,m ），且
1
tan 3COD
?. 
（1）求m 的值及抛物线的表达式；的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB.若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；的坐标；
（3）在（2）的条件下，的条件下，点点P 是抛物线对称轴上的一点是抛物线对称轴上的一点（位于（位于x 轴上方），且∠APB=45°.求P 点的坐标. 
O x
y
1 2 3 4 1 
2 3 4 5 
-1 -2 -3 
-1 -2 -3 （第24题图）
【24．解：（1）作DH ⊥y 轴，垂足为H ，∵D （1,m ）（0m >），∴DH= m ，HO=1. 
∵
1
tan 3COD
?，∴13OH DH =
，∴m=3. m=3. · ····················································· （1分）分）
∴抛物线2
y ax bx c =++的顶点为D （1,3）. 
又∵抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于点C （0,2），
∴3,1,22.a b c b a c ì++=ïïïïï-=íïïïï=ïî（2分）∴1,2,2.a b c ì=-ïïï=íïï=
ïïî∴抛物线的表达式为222y x x =-++. ······ （1分）分） （2）∵将此抛物线向上平移，）∵将此抛物线向上平移，
∴设平移后的抛物线表达式为2
22(0)y x x k k =-+++>，. ···························· （1分）分） 则它与y 轴交点B （0,2+k ）. 
∵平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点A ，且OA=OB ，∴A 点的坐标为（2+k,0）. .（1分）分）
∴2
0(2)2(2)2k k k =-+++++.∴122,1k k =-=. 
∵0k >，∴1k =. 
∴A （3,0），抛物线2
22y x x =-++向上平移了1个单位. . ······························ （1分）分）
∵点A 由点E 向上平移了1个单位所得，∴E （3,-1）. . ··································· （1分）分） （3）由（2）得A （3,0），B （0, 3），∴32AB =. 
∵点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且∠APB=45°,原顶点D （1,3）, ∴设P （1,y ），设对称轴与AB 的交点为M ，与x 轴的交点为H ，则H （1,0）. ∵A （3,0），B （0, 3），∴∠OAB=45°, ∴∠AMH=45°. ∴M （1,2）. ∴2BM =
. 
∵∠BMP=∠AMH, ∴∠BMP=45°. ∵∠APB=45°, ∴∠BMP=∠APB. 
∵∠B=∠B ，∴△BMP ∽△ A. ·BP A. ··································································· （2分）分）
B A P
y
O M H
∴BP BA BM
BP =
.∴2
322
6BP BA BM =??
∴
2
2
1(3)6BP y =+-=.∴123535y y
，=+=-
（舍）.. ···························· （1分）分）
∴(1,35)P
+. . ····················································································· （1分）】
【2019届一模普陀】届一模普陀】 24．（本题满分12分）分） 如图10，在平面直角坐标系
中，抛物线
2
3y ax bx =+-(0)a ¹与x
轴交于点A
()1,0-和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D ．
（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；的坐标；
（2）如果点E 是y
轴上的一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ^时，求点E 的坐标；的坐标；
（
3）如果点F 是抛物线上的一点，且，求点F 的坐标．的坐标．
135FBD Ð=
xOy
图10 
C B
A
O
y
x
【24．解：．解：
（1）∵抛物线与x 轴交于点A ()1,0-和点，且3OB OA =，
∴点的坐标是(
)
3,0． ··········································································· （1分）分）
解法一：由抛物线
2
3y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．
得03,093 3.
a b a b =--ìí=+-î 解得1,2.a b =ìí
=-î ······························································ （1分）分）
∴抛物线的表达式是
2
23
y x x =--． ······················································ （1分）分）
点D 的坐标是()1,4-． ············································································· （1分）分） 解法二：由抛物线
2
3y ax bx =+-经过点()1,0-和()3,0．
可设抛物线的表达式为
(1)(3)
y a x x =+-， 由抛物线与y
轴的交点C 的坐标是(
)
0,3-，
得3(01)(03)a -=+-，解得1a =． ······························································ （1分）分） ∴抛物线的表达式是
2
23
y x x =--． ························································ （1分）分）
点D 的坐标是(
)1,4-． ············································································· （1分）分） （2）过点D 作DH OC ^，H 为垂足．为垂足． ∴90DHO Ð=．∴90DEH EDH Ð+Ð=． ∵BE DE ^，∴90DEH BEO Ð+Ð=． ∴BEO EDH Ð=Ð．
又∵
BOE EHD
Ð=Ð，∴△
BOE
∽△E H D ． ········································· （1分）分）
∴
BO OE
EH HD =． ∵点D 的坐标是()1,4-，∴1DH =，4OH =．
B B
∵点的坐标是(
)
3,0，∴3OB =．
∴341OE
OE
=-． ·············································································· （1分）分） ∴1OE =或3OE =． ················································································ （1分）分） ∵点E 与点C 不重合，∴1OE =．
∴点E 的坐标是
()
0,1-． ··········································································· （1分）分）
（3）过点F 作FG x ^轴，G 为垂足．为垂足．
作45DBM Ð=，由第（2）题可得，点M 与点E 重合．重合． ∵1OE =，1DH =，∴OE DH =． 可得△BOE ≌△E H D ． ∴BE ED =． ∵90BED Ð=，∴45DBE Ð=． ∵135FBD Ð=，
∴90FBE Ð=． ················································································ （1分）分） ∴OBE GFB Ð=Ð．
∴在Rt △BOE 中，90BOE Ð=，∴cot 3OBE Ð=∴cot 3GFB Ð=． ·········· （1分）分） ∴3FG BG =．
设点F 点的坐标为
()
2
,23m m m --．
∴2
23FG m m =--,3BG m =-． ∴
2
233(3)m m m --=-． ··································································· （1分）分）
解得3m =，4m =-． ∵3m =不合题意舍去，∴4m =-． 点F 的坐标是(
)
4,21-． ·········································································· （1分）】
【2019届一模奉贤】届一模奉贤】
24．（本题满分12分，每小题满分6分）分）
B
如图10，在平面直角坐标系中，直线AB 与抛物线
2
y ax bx
=+交于点A(6，0)和
点B(1，－5)．
（1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；的表达式；
（2）如果点C 在直线AB 上，且∠BOC 的正切值是32，
求点C 的坐标．的坐标．
【24．解：（1）由题意得，抛物线
2
y ax bx
=+经过点A(6，0)和点B(1，－5)，
代入得3660,5.a b a b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.a b ì=ïïíï=-ïî ∴抛物线的表达式是26y x x =-. ······ （4分）分）
由题意得，设直线AB 的表达式为
y kx b
=+，它经过点A(6，0)和点B(1，－5)，
代入得60,5.k b k b ì+=ïïíï+=-ïî 解得解得 1,6.k b ì=ïïíï=-ïî ∴直线AB 的表达式是6y x =-. ········ （2分）分）
（2）过点O 作OH AB ^，垂足为点H ． 设直线AB 与y 轴交点为点D ，则点D 坐标为()
0,6-. 
∴45ODA OAD
??，cos4532DH OH OD ==·°=. 
∵2BD =
，∴22BH =. 
在Rt △OBH 中，90OHB
?，
3
tan 2OH OBH
BH ?=
． ······························· （2分）分）
∵∠BOC 的正切值是3
2，∴BOC
CBO ?. ··············································· （1分）分）
①当点C 在点B 上方时，BOC
CBO ?.∴CO CB =．
设点C
(,6)x x -， 2
2
22
(6)(1)(65)
x x x x +-=-+-+
xOy
图10 
A
B
x
y
o
解得解得 17
4x =，1776644x -=-=-.--------------------------------------------------------------------（2分）分）
所以点D
坐标为177,4
4æö
-ç
÷èø. ②当点C 在点B 下方，BOC CBO ?时，OC//AB. 点C 不在直线AB 上. ········ （1分）分）
综上所述，如果∠BOC 的正切值是32，点C 的坐标是177,44æö-ç÷èø．】
【2019届一模松江】届一模松江】
24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）分）
如图，抛物线c
bx x y ++-=221
经过点A （﹣2，0），点B （0，4）. 
（1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；
（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果∠PBO=∠BAO ，求点P 的坐标；的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE
∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果EO=2OF ，求m 的值. 
【24．解：（1）∵抛物线经过点A （﹣2，0），点B （0，4）
∴îíì==+--40
22c c b …………（1分）， 解得14b c =ìí=
î………………………（1分）分） ∴抛物线解析式为21
4
2y x x =-++ …………………………………………（1分）分）
(第24题图) 
y x
O
B
A
（2）
()
2
9
1
2
1
4
2
12
2
+
-
-
=
+
+
-
=x
x
x
y
…………………………………（1分）
分）
∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO，
∴PG BO
BG AO
=
……………………………………………（1分）
分）
∴
12
1
BG
=
，∴
1
2
BG=
…………………………………（1分）
分）
∴
7
2
OG=
，∴P（1，2
7
）………………………………（1分）
分）
（3）设新抛物线的表达式为
2
1
4
2
y x x m
=-++-
…（1分）
分）
则
()
0,4
D m
-
,
()
2,4
E m
-
，DE=2……………………（1分）
分）
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF 
∴
2
=
1
DE EO DO
FH OF OH
==
，∴FH=1……………………………………………（1分）
分）
点D在y轴的正半轴上，则
5
1,
2
F m
æö
--
ç÷
èø，∴
5
2
OH m
=-
∴
42
51
2
DO m
OH m
-
==
-
，∴m=3……………………………………………………（1分）
分）
点D在y轴的负半轴上，则
9
1,
2
F m
æö
-
ç÷
èø，∴
9
2
OH m
=-
∴
42
91
2
DO m
OH m
-
==
-
，∴m=5……………………………………………………（1分）
分）
∴综上所述m的值为3或5.】
(第24题图) 
y
x O
B
A
E
D
F H
的面积；的面积； D ，点E 的坐标．的坐标． 2)
O 1 
1 x y
--
∴点C 的坐标为)0,2(， ……………………1分 过点M 作y MH ^轴，垂足为点H
∴
AOC MHC
AOHM
AMC
S
S
S
S
D D D -
-
=
(1)
分
∴
4221
1412149)41(2
1´´-´´-´
+´=
D AMC S
∴
23
=D AMC S …………1分 （3）联结OB
过点B 作x BG ^轴，垂足为点G
∵点B 的坐标为
)
2,2(，点A 的坐标为
)
0,4(∴2=BG ，2=GA
∴△BGA 是等腰直角三角形∴°=Ð45BAO 同理：°=Ð45BOA
∵点C 的坐标为)0,2(∴2=BC ，2=OC 由题意得，△OCB 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴°=Ð45DBO ,22=BO ∴DBO BAO Ð=Ð
∵°=Ð45DOE ∴°=Ð+Ð45BOE DOB ∵°=Ð+Ð45EOA BOE ∴DOB EOA Ð=Ð ∴△AOE ∽△BOD
∴
BO AO BD AE = …………1分 ∵抛物线2
2141
2
++-=x x y 的对称轴是直线1=x ，
∴点D 的坐标为)2,1(
∴1=BD …………1分
∴224
1
=
AE
∴2=AE …………1分
过点E 作x EF ^轴，垂足为点F 易得，△AFE 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 ∴1==AF EF
∴点E 的坐标为)1,3( …………1分】分】 【2019届一模青浦】届一模青浦】
24．（本题满分12分，分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）分）
在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2
y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）． （1）求平移后的抛物线的表达式；）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点D 在线段CB 上，且CD=2，求∠CAD 的正弦值；的正弦值；
（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．的坐标．
【24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2
+=-+y x bx c
． ······················· （1分）分）
将A （-1，0）、B （4，0），代入得，代入得
C B A x
y O C
B A x
y
O （第24题图）题图） （备用图）（备用图）
101640.，--+=ìí
-++=îb c b c ··············································································· （1分）分） 解得：34.
，
=ìí
=îb c
所以，
2
+34
=-+y x x ． ·········································································· （1分）分）
（2）∵2
+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ····································· （1分）． 设直线BC 的解析式为y= kx+4，将B （4，0），代入得kx+4=0，解得k=-1，
∴y= -x+4． ········································································································ 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．
∵CD=2，∴2
2=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），
∴点D 的坐标为（1，3）． ········································································· （1分）分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ．
∵1122×=×AC BN AB OC
，∴1754×=´BN ，∴202017
=1717=BN ． ········ （1分）分） ∵DM ∥BN ，∴=
DM CD BN CB ，∴242=DM BN ，∴517
17=DM ． ···················· （1分）分） ∴
51715221sin =1722113Ð=
´=DM CAD AD ． ············································· （1分）分）
（3）设点Q 的坐标为（n ，2
+34-+n n ）．
如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ=PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）．
∵
2
2
+3444=-++-=-PQ n n n n n
，2=PC n ， ····································· （2分）分）
∴
2
4=2-n n n
，解得
=42
-n 或
=0
n （舍）． ·········································· （1分）分）
∴点Q 的坐标为（42-，522-）． ···················································· （1分）】
【2019届一模静安】届一模静安】
24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）分）
在平面直角坐标系xOy 中（如图10）
，已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++¹的图像经过点(40)B ，、(53)D ，，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且ABD D 的
面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；）求该抛物线的表达式； （2）求A D B Ð的正切值；的正切值；
（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交
x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当APE D 与
ABD D 相似时，求点P 的坐标．的坐标．
【24．解：．解：
（1）过点D 作DH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．
∵
132ABD
S
AB DH
D =
×=，又∵(5,3)D
∴2AB =．····························································································· （1分）分） ∵(4,0)B ，点A 在点B 的左侧，的左侧，
∴(2,0)A ． ····························································································· （1分）分）
把(2,0)A ，(4,0)B ，(5,3)D 分别代入2
y ax bx c =++，
得04201643255a b c a b c a b c =++ìï=++íï=++î 解得1
68a b c =ìï=-íï=î ． ···························································· （1分）分）
∴抛物线解析式是2
68y x x =-+． ······························································ （1分）分） （2）过点B 作BG AD ^，交AD 于点G ． ··················································· （1分）分）
B 
D O 
图10 
x 
y ﹒ ﹒
由(2,0)A ，(5,0)H ，(5,3)D
，得A D H D 是等腰直角三角形，且45HAD Ð=
∵3AH DH ==，∴32AD =． ································································ （1分）分） ∴在等腰直角AGB D 中，由2AB =，得2AG BG ==， ∴22DG AD AG =-=，
∴在Rt DGB D 中，
1
tan 2BG ADB DG
Ð=
=
． ·
················································· （1分）分） （3）∵抛物线2
68y x x =-+与y
轴交于点(0,8)C ，又(5,3)D ，
∴直线CD 的解析式为8y x
=-+，
∴(8,0)E
． ···························································································· （1分）分）
当点P 在线段AD 上时，APE D ∽ABD D ，点,,A P E 分别与点,,A B D 对应，则对应，则
AP AE AB AD =，即262232AB AE AP AD ´´===．………………………………………（1分）
··························································································································· 过点P 作PQ ^
∴
2
AQ PQ ==，即
(4,2)
P ． ····································································· （1分）分）
②当点P 在线段AD 延长线上时，APE A D B Ð=Ð， ·················································· ∴EP //D B
过点P 作PR x ^轴于点R ，
·················································································· 13AH AD AB AR AP AE ===，
∴9AR PR ==， ······················································································ （1分）分）
即(11,9)P
． ···························································································· （1分）分）
∴APE D 与ABD D 相似时，点P 的坐标为的坐标为 (4,2)或 (11,9)．】 【2019届一模宝山】届一模宝山】
24．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）分）
如图9，已知：二次函数
的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P
,一次函数2
y x bx
=+。