移动通信课程论文_蜂窝无线系统的仿真及实现

蜂窝无线系统的仿真及实现
摘要
当今大多数无线系统都是基于蜂窝无线电概念之上的。

蜂窝无线通信系统允许大量移动用户无缝地、同时地利用有限的射频频谱与固定基站中的无线调制解调器通信。

由于其本身的系统结构特点，使得其不但具有无线通信链路的恶劣的物理信道特征，同时性能还受限于其他用户的干扰。

本文利用爱尔兰B公式，对蜂窝无线通信中频率复用率对系统容量（小区话务量容量）的影响进行了分析和仿真；建立了在阴影和路径损耗的影响下、基于阻塞呼叫清除的双向宏蜂窝无线通信系统模型，通过对多组瞬时位置时的系统性能进行蒙特卡罗分析的仿真策略，利用两个评价标准——体现链路质量的系统中断概率以及体现系统性能的系统可接受蜂窝面积比，对路径损耗指数、基站天线的正反向比和扇区化对系统性能的影响进行了分析；同时考虑了频率复用率（簇的大小为）3、4、7和基站配置分别为全向天线、120°扇区化以及60°扇区化两两相组合的情况下，链路质量、系统性能及系统容量的变化。

仿真结果表明，增大频率复用率和扇区化能提升系统的性能，但是却降低了系统容量。

另外，随着路径损耗指数的增加同频干扰会降低，而对于基站天线的正反向比来说，高的正反向比能提高链路的质量，且其前期增长对系统性能影响显著，但达到一定数值之后便影响甚微。

关键词：无线蜂窝；爱尔兰B；蒙特卡罗分析；中断概率；可靠性概率
Research&Realization of Wireless Cellular Communication System
Abstract
Most wireless systems today are based upon the cellular radio. Being one of them,cellular wireless communication systems allow a large number of mobile users to share the limited radio spectrum seamlessly and simultaneously. However,due to its structural features, its performance is subject to not only the poor transmission environmnet but also the same frequency interference from other users.
In this paper, the formula of Ireland B is used for analyzing the impact of the frequency reuse rate of the cellular wireless system on system capacity(telephone traffice of per cell); the model of a bidirectional macrocell wireless communication system based on blocked calls cleared is built considering the influence of shadow and path loss, and the Monte Carlo method helps to calculate out the system performance,described as outage probability of the link quality and acceptable system cell area ratio,by emulating many groups of users in instantaneous positions.The configuration of frequency reuse rate(cluster size) 3,4,7 and the sectorization of BS of omnidirectional antenna, 120 ° and 60 ° are took into account,and the performance of these systems are showed.
Simulation results show that increasing the frequency reuse rate and the sectors can improve system performance, but reduces the system traffic capacity. In addition, with the increase of path loss exponent the co-channel interference is reduced.Futhermore,higher front-to-back ratio of base station antennas can obtain better link quality, but only its early growth has significant effect on system performance,when it reaches a certain number the impact will be insignificant.
Key W ords：Wireless Cellular；Erlangs B；Monte Carlo ；Outage Probability；Reliable Probability
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
1 文献综述 (1)
1.1 蜂窝无线通信发展背景介绍[1][2] (1)
1.2 蜂窝无线通信的基本概念[1][3] (2)
1.3 蜂窝无线网络系统[4] (4)
1.4 论文的主要工作及意义 (5)
2 蜂窝通信系统的建模[5] (6)
2.1 中继和服务等级 (6)
2.2 信道模型 (7)
2.3 同频干扰 (8)
2.4 仿真中扇区化的处理 (11)
2.5 蜂窝系统的性能分析 (13)
3 蜂窝无线通信系统仿真及结论 (17)
3.1 簇的大小对系统容量的影响 (17)
3.2 蜂窝无线通信系统仿真说明及参数设置 (17)
3.3 仿真及分析 (19)
结论 (23)
参考文献 (24)
1文献综述
1.1 蜂窝无线通信发展背景介绍[1][2]
在数据通信和电信领域取得的所有巨大进步中，最具革命性的可能算是蜂窝网络的开发。

蜂窝技术是移动无线通信的基础，有些地区的用户很难获得有线网络的服务，而蜂窝技术却可以支持这些地区的用户。

蜂窝技术是移动电话、个人通信系统、无线因特网、无线万维网以及其它更多应用的下层技术。

20世纪70年代起，国际上开始发展无线移动通信系统。

其可以被简要的描述为一种蜂窝网结构（Celluar network），由许多六角形的区（Cell）依次紧密排列，像蜂窝的形状，每区各使用一个无线电频率，但在保证互相干扰量可接受的情况下，容许隔几区使用同一频率。

这对无线电频谱节约使用非常有利，是蜂窝网的独特优点。

每一蜂窝区设立无线电基台，可使各移动终端或手机之间互相通信。

最初提供的移动通信只是移动电话，而且是互通模拟电话信号，这种模拟蜂窝网属于第一代移动通信网。

到20世纪80年代下半期，移动通信要像固定通信网那样使用数字通信，模拟蜂窝网也就过渡至数字蜂窝网，即第一代移动通信网发展成为第二代移动通信网2G（second generation）。

自从2G建成和投入运用之后，通信服务质量良好，手机比早期轻便，因而受到了社会上的普遍欢迎。

最初2G提供的手机是双模式，既适用于模拟网，又适用于数字网。

随着时间的推移，数字蜂窝网不断改进，2G的服务不断革新，长盛不衰，逐渐独霸天下。

20世纪90年代中期起，Internet兴起，固定通信网的计算机用户踊跃上网，移动用户很多带有便携计算机的也希望能够上网从事数据通信。

数字蜂窝网在过渡至新一代3G之前，由2G增加必要的技术，暂时应付用户上网需要，这就出现了过渡的2.5G蜂窝网，作为权宜之计。

2000年5月，国际电信联盟正式公布第三代移动通信标准。

日本是3G网络发展最快的国家之一，早在2000年12月他们就以招标方式颁发了3G牌照。

2001年10月，日本的NTT DoCoMo在世界第一个开通了WCDMA服务。

韩国在2001年4月LG电信也推出了CDMA2000 1X服务。

随后欧洲的3G网络也开始兴起。

2008年新电信、新联通、新移动重组完成，在2008年12月31号国务院常务会议通过决议同意启动3G牌照发放工作。

第三代数字蜂窝移动系统支持多媒体服务，包括数据、语音、视频和图像。

移动无线电话服务的有效容量得到了显著提高，3G已经开始初露锋芒。

现在，专家们已经开始探索3G以后更加新型的移动通信网，暂名为第四代移动通
信网即4G。

4G将拥有比3G更宽的无线宽带接入。

1.2 蜂窝无线通信的基本概念[1][3]
当今大多数无线系统都是基于蜂窝无线电概念之上的。

蜂窝通信系统允许大量移动用户无缝地、同时地利用有限的射频（Radio Frequency，RF）频谱与固定基站中的无线调制解调器通信。

基站接收每一个移动台发送来的射频信号，并把它们转换到基带或者宽带微波链路，然后传送到移动交换中心（MSC），再由移动交换中心连入公用交换电话网（PSTN）。

同样地，通信信号也可以从PSTN传送到基站，再从这里发送给移动台。

蜂窝系统可以采用频分多址（FDMA）、时分多址（TDMA）、码分多址（CDMA）或者空分多址（SDMA）中的任何一种技术。

对于移动用户来说，蜂窝无线技术具有移动性、灵活性以及便利性的优点。

而对于网络运营商来说，其具有易于扩容，高收益率，频谱利用率高，易于重新配置的优点。

（1）频率复用
在蜂窝无线电出现之前，移动无线电话服务只能由大功率的发送器和接收器来提供。

一个典型的系统可以支持25个信道，有效半径约80km。

增加系统容量的方法是使用覆盖半径较小的低功率系统，并使用大量的发送器和接收器。

蜂窝网络的基础在于它使用了多个低功率发送器，数量级在100W以下。

因为这样的发送器所能达到的覆盖范围很小，可以将一个区域划分为很多蜂窝（Cell），各个蜂窝由自己的天线提供服务。

每个蜂窝都分配有一个频带，并有一个基站提供服务，这个基站由发送器、接收器和控制单元组成。

为了避免干扰或串音，相邻的蜂窝指派的频率各不相同。

通常，每个蜂窝的基站的传输功率被小心地控制着，以允许蜂窝内的通信可以使用给定的频率，同时又要限制该频率的功率逃逸到邻近蜂窝。

这样做的目的是使邻近蜂窝中也能使用相同的频率，这样才能允许这些频率用于多个同时进行的对话。

图1.1 蜂窝的几何形状及频率复用 (a)N=3 (b)N=7 (c)N=1
问题的关键是在两个使用相同频率的蜂窝之间必须相隔多少个蜂窝，才能使这两个蜂窝互相之间不干扰。

有多种可能可能的频率复用模式。

如图1.1所示。

如果分配给这个系统的频率总数为M，复用模式由N个蜂窝组成，且每个蜂窝指派的频率数量相同，则每个蜂窝可以有M/N个频率。

这个N值称为复用系数，也称为簇的大小，即N个小区构成一个簇。

至于为什么要选择六边形来作为蜂窝的形状，简单的说，六边形不仅比较容易定义，并且能保证当某个蜂窝中的移动用户向蜂窝的边界方向移动时，所有相邻天线之间都是等距离的，这样就可以简化何时将用户切换到相邻的天线以及切换到哪一个天线的问题。

（2）同频干扰
如上所说，若整个服务区系统内的可用频谱由M个信道构成，用户均匀分布在服务区内，则每个小区可以分得M/N个信道。

N个小区构成一个簇。

因为簇在服务区内复制，所以复用信道将导致同频小区的层状结构（tier）。

同频基站和移动台之间的射频能量传播，会引起同频干扰。

同频干扰的功率级与同频小区之间的分隔距离密切相关。

同频干扰的影响可以用通信链路的信干比（SIR）来估计，这里信干比定义为有用信号的功率S和总干扰信号的功率I之比。

由于无线传播的影响、用户移动性以及话务量的变化，功率级S和I都是随机变量，SIR也是一个随机变量。

因此，同频干扰对系统性能产生影响的严重程度通常用系统的中断概率来进行分析。

图1.2 蜂窝扇区化及蜂窝分裂
（3）增大系统容量
当系统内用户不断增加，通信量也不断增长，以至于会没有足够多的频率分配给蜂
窝来处理其覆盖区域内的呼叫。

解决的方法有添加新信道，频率借用，蜂窝分裂，蜂窝扇区化和微蜂窝。

通常，当系统在某个区域建立时，并不会用到所有的信道，通过添加新的信道，系统的进一步发展和扩张就能得到有序管理。

在最简单的情况下，拥塞的蜂窝会从邻蜂窝获取一些频率，另外也可以动态地指派频率给各个蜂窝。

图1.2给出了蜂窝分裂和蜂窝扇区化的示意图。

蜂窝分裂使得蜂窝越来越小，可以增加容量，但是必须控制基站所使用的功率值，而且基站的数目也会相应增加，切换也会越来越频繁。

蜂窝扇区化则在增大系统容量的同时可以减少同频干扰。

微蜂窝在拥挤的城市街道上、在高速公路旁、在大型公共建筑物里的作用不可低估。

其每次尺寸变小都伴随着基站或移动单元的射频功率水平的降低。

1.3 蜂窝无线网络系统[4]
图1.3蜂窝无线网络系统结构
图1.3所示为蜂窝系统的主要构成元素。

大约在每个蜂窝的中心位置是一个基站系统（BSS），这个基站包括一根天线，一个控制器和数个收发器，用来在指派给该蜂窝的信道上进行通信。

控制器用于处理移动单元和网络其它部分之间的呼叫过程。

在任何时刻都有一些移动用户单元处于活动状态，它们在蜂窝区内移动，且正在与基站进行通信。

每个基站都要连接到一个移动业务交换中心（MSC），且一个MSC可服务多个基站。

通
常，基站和MSC之间的链路是有线链路，但也有可能是无线链路。

MSC连接移动单元之间的呼叫。

同时，MSC还要连接到公用电信交换网（PSTN）上，这样才能使公共电信网络上的固定用户和蜂窝网络上的移动用户之间建立连接。

MSC为每个蜂窝指派话音信道，执行切换处理，并为收费信息而监听呼叫。

图1.3中，从基站到移动台这个发送方向使用的射频信道称为前向信道，而从移动台到基站这个发送方向使用的信道称为反向信道，前向信道和反向信道共同构成了双工蜂窝信道。

当使用频分双工（Frequency Division Duplex，FDD）时，前向信道和反向信道使用不同的频率；当使用时分双工（Time Division Duplex，TDD）时，前向信道和反向信道占用相同的频率，但使用不同的时隙进行传送。

1.4 论文的主要工作及意义
本文首先对蜂窝无线通信系统进行了简要的介绍和基本概念的阐述，利用爱尔兰B 公式对簇的大小系统的容量的影响进行了理论上的分析。

接着建立了蜂窝无线双向通信系统的模型，对象是不同基站扇区化模式的阻塞呼叫清楚的宏蜂窝系统，链路性能分析中考虑了阴影及路径损耗，并给出了系统性能分析的两个标准——系统中断概率以及系统可接受的蜂窝面积百分比（可靠性概率大于0.75的概率）。

之后用蒙特卡罗估计方法进行仿真统计，对路径损耗指数、基站天线的正反向比对系统性能的影响进行了仿真观察，并比较了九种不同的配置时系统性能的变化，从而得出相应的结论。

因为蜂窝无线通信系统其本身的特性，其性能很难用简单的解析模型来描述计算，使用仿真来建模是十分有效的，这是由于在时间和空间上对大量的随机事件进行建模非常困难。

这些随机事件包括用户的位置、系统中同时通信的用户个数、传播条件、每个用户的干扰和功率级的设置、每个用户的话务量需求等。

这些因素的共同作用会对系统中一个典型用户的总的性能产生影响。

当然，这些变量仅仅是任一时刻决定系统中某个用户瞬态性能的许多关键物理参数中的一小部分。

蜂窝无线系统指的是，在地理上的服务区域内移动用户的基站的全体。

为了设计特定的系统级性能，比如某个用户在整个系统中得到满意的服务的可能性，就得考虑在覆盖区域内同时使用系统的多个用户所带来的复杂性。

因此，需要仿真来考虑多个用户对基站和移动台之间任何一条链路所产生的影响。

2 蜂窝通信系统的建模[5]
本章主要讨论通信系统的几个方面，包括与蜂窝无线系统容量相关的问题
2.1 中继和服务等级
与固定电话系统相似，蜂窝系统使用有限的资源（这里指可用的无线频谱或可用的信道），依靠中继概念为大量用户提供通信服务。

由于用户的统计特性，中继技术是可能的。

用户的统计特性主要描述包括：
（1） 单个用户随机的接入系统，即随机地发出一个呼叫请求。

同一用户的两个连续呼叫请求之间的时间间隔τ服从指数分布。

对应的pdf （概率分布函数）为
p ()exp()u u ττλλτ=- （2.1）
其中，u λ是单个用户在单位时间内呼叫请求的平均次数（单位时间呼叫数）。

我们假设有u 个用户，由任意两个用户发出的两个连续呼叫请求之间的时间间隔也服从指数分布，呼叫请求的平均次数是
u u λλ= （2.2）
（2） 呼叫周期（duration ）也服从指数分布的随机变量，因此短呼叫比长呼叫发生的次数要多。

呼叫周期用s 表示，则s 的pdf 为
f ()exp()s s s μμ=- （2.3）
其中，其中，1/H μ=是平均呼叫周期（单位时间）。

基于这个统计特性，大量用户可以共享信道库（channel pool ）中数量较少的信道数。

对蜂窝系统中的每一个基站，可供其覆盖范围内所有用户使用的中继信道数为C 。

因为单个用户不需要在所有的时间内接入蜂窝系统，因此可以仅在呼叫期间给用户分配信道。

呼叫一旦终止，信道将返回到可用信道库。

因为基站可用的信道有限，所以可以很直观地预测到单个用户不是任何时候都能接入到基站的。

在这种情况下，由于所有信道都在为其他的用户提供服务，信道变得繁忙，于是新的呼叫请求被阻塞。

根据对用户的统计特性、信道库中可用的信道数、中继系统的一些特征，我们可以确定由于缺乏空闲信道而阻塞用户呼叫的概率。

这个概率通常称为阻塞概率，是中继系统的“服务等级”的一个度量。

单个用户的统计特性可以概括在用户产生的话务量u A 中，用爱尔兰做单位可以定义为
u u A H λ= （2.4）
一个包含着u 个用户的系统中，总流入话务量为
u A U A H λ== （2.5）
为了确定中继系统提供的用户服务质量，一个重要考虑是系统怎样处理呼叫阻塞。

有两个基本的处理策略。

第一个策略是：呼叫请求在找不到可用的信道时就被阻塞和清除，这时的中继系统称作阻塞呼叫清除系统。

第二个策略是：将阻塞呼叫保持在一个队列中，当有可用信道时再提供服务，采用这种策略的中继系统称作阻塞呼叫延迟系统。

我们主要讨论前者，因为实际中这种类型的系统更常见。

因此，若假设：
• 阻塞呼叫清除系统。

• 呼叫到达无记忆，曾被阻塞用户可在任何时间发出请求。

• 无限多个用户。

• 可使用的中继信道数为C 。

则阻塞率B P 可以用爱尔兰B 公式表示
0/!/!
C B C k k A C P A
k ==∑ （2.6）
爱尔兰公式能将中继信道数C 、阻塞率B P 以及话务量A 关联起来。

其中话务量A 可以是流入话务量（offered traffic ），也可以是承载话务量（carried traffic ）。

在前一种情况下，所有用户为包含C 个信道的中继系统产生流入话务量A ，B P 则是这些用户所经历的阻塞率；而在后一种情况下，包含C 个信道的中继系统在阻塞率B P 时的最大承载话务量是A 。

中继系统的承载话务量也是系统容量的一个量度。

通过爱尔兰B 公式，可以估算蜂窝系统中小区簇的大小对系统容量（以用户数表示）的影响。

在第三章将会给出仿真结果及分析。

2.2 信道模型
接收信号（有用信号和干扰信号）的统计特征主要牵涉到两个重要的传播效应：小尺度衰落和阴影（大尺度衰落）。

其中小尺度衰落是由局部区域的多径所造成的，而阴影则是由诸如树木、建筑物、地形等因素引起本地平均信号的随机衰减造成的。

测量表明，无线通信系统中的本地平均电平可以用对数正态随机变量精确地建模。

当用分贝表示时，本地平均信号电平服从正态分布，由面积均值（area mean value ）和标准差来刻画。

面积均值是发射机或接收机分隔距离（T-R ）、发射机功率级、天线增益的函数，而阴影的标准差取决于物理环境。

尽管在某些情况下，有用信号和干扰信号的阴影是性能
变差的主要原因，但在一般的系统设计和仿真中，必须同时考虑小尺度衰落和阴影的影响。

例如，空间分集、扩频、编码与交织技术等已被广泛用于抵消小尺度衰落的影响，因此接收信号主要取决于大尺度信道变化。

在本论文的分析中，为了简单起见，假设平均掉了小尺度衰落的影响，因此仅考虑阴影和路径损耗。

假设平均掉了小尺度衰落的影响，而有用信号或单个干扰信号的本地平均功率级（这里一般性地用ρ表示）呈现出对数正态变化。

如果用dBW 形式，则本地平均功率级可以建模为
10lg X
X m
ρχ
==+ dBW （2.7）
这里，m X 是用dBW 表示的区域平均功率级（或换种说法，是用dB 表示的大尺度传播路径损耗）；χ是标准差为X σ（用dB 表示）的零均值正态随机变量（也用dB 表示），这是由于大尺度障碍造成的阴影。

区域平均功率X σ通常建模为接收机与发射机之间分隔距离d 、路径损耗指数γ、发射功率T P （dBW 表示）及发射和接收天线增益T G 、R G （二者均用dB 表示）的函数。

具体来说，
(,)(,)10lg X T T T T R R R m P G G K d
θφθφγ=++- dBW （2.8）
式中的常数K 由模型中所有不改变的项组成；
T θ和T φ是信号发射端到接收端的发射俯仰角和方位角；R θ和R φ是信号到达接收天线的到达俯仰角和方位角；角度T θ、T φ、R θ和R φ取决于移动台和基站天线的相对位置。

从实际测试中得出一个重要的结论是，对于宏蜂窝系统，蜂窝的半径大于1km ，
收发距离T-R 远大于基站和移动台天线之间的高度差时，可以假设 90T R θθ≈≈︒
并省略式中的T θ和R θ。

于是得：
(,)()(,)()
T T T T T R R R R R G G G G θφφθφφ⇒⇒ （2.9）
2.3 同频干扰
考虑接收机收到来自N 个同频发射机的N 个干扰信号。

第i 个信号的本地平均功率
电平i I 呈对数正态变态，使用分贝作单位，本地平均功率级可建模为
10lg i i i X i X I m χ==+ dBW
（2.10）
这里的i
m X 是区域平均功率（area mean power ，或者是说，大尺度平均路径损耗）；i χ是
以dB 为单位的零均值正态分布随机变量，且具有标准差i
X σ（dB ）,它是由大型障碍物
引起的阴影所造成的。

区域平均功率i
m X 常被建模为以下参数的函数：收发器间距i d ，
路径衰减指数n ，发送功率,T i P （dBm ），发射机和接收机的天线增益,T i G 和,R i G （dB ）。

可以得到：
,,,10lg i
X T i T i R i i m P G G n d =++- dBW （2.11）
基于接收到的单个干扰信号仅受阴影和路径损耗的影响这一假设，总的同频干扰可以建模为单个干扰信号的复合。

他们的本地平均功率级服从对数正态变化。

通常假设每一个干扰的相移因散射而变化显著，于是我们可以假设相位是随机的，因而在本地区域作平均时，信号是非相干叠加的（如他们的功率相加）。

因此，给定位置的总同频干扰可以建模为N 个对数正态分布信号之和，即
1
N
i
i I I
==
∑ （2.12）
数学理论上，对数正态分布变量的和可以近似地表示为另一个对数正态分布。

已经有人提出了几种用dB 来计算所得对数正态分布的均值和标准差的方法。

两种最流行的方法是Wilkinson 方法和Schwartz 与Yeh 方法。

在本文的工作中，在知道了i I 的均值i
m I
和标准差i
I σ后，采用Wilkinson 方法来计算中的干扰的均值I m 和标准差I σ。

接下来将简要的介绍Wilkinson 方法的推导过程及计算步骤。

首先，讲I 的分布用另一个对数正态分布来近似，或者，等效地
10lg X I =
（2.13）
服从正态分布。

假设总和I 呈对数正态分布，则接下来我们用Wilkson 方法来计算均值X m 和标准差X σ。

定义随机变量i Y 为
i ln i Y I = （2.14）
其均值i
Y m 和标准差i
Y σ分别由下式给出：
i i Y m m X λ= 和 i i
Y X σλσ
= （2.15）
这里ln(10)/10λ=。

注意i i Y X λ=。

考虑到假定单个信号i I 之间相关会有利于提高通用性。

这种相关可能是由于特定传播路径上的共同物理障碍（如植被或建筑物等）引起的阴影衰落所造成的。

因此即使是来自不同方向的信号也有可能会被同样的障碍物所衰减，造成接受信号之间的这种相关
性。

考虑干扰信号相关的情况，我们可以定义i Y 和j Y 的相关系数,i
j
Y Y r 为
}
{
,()()
i j i j i
j
i Y j Y Y Y Y Y
E Y m Y m r σσ--=
（2.16）
由于i Y 是由i X 按比例缩放而成的，因此,i
j
Y Y r 也是i X 和j X 之间的相关系数。

使用式（2.12）和式（2.14），并且使用一个对数正态分布来近似I 的分布，可得
12
/10
10
N
Y Y
Y Z X I e e
e
e =++⋅⋅⋅+== （2.17）
这里的Z （对数单位）和X （分贝单位）是正态分布，且Z X λ=。

根据Wilkinson 方法，我们可以通过匹配I 的第一、二阶矩和12N I I I ++⋅⋅⋅+的第一、二阶矩来求式（2.17）中Z 的均值和标准差。

第一阶矩为
}{}{1
2
N
Y Y Y Z
E e
E e
e
e
=++⋅⋅⋅+ （2.18）
式（2.18）中的各阶矩可以基于如下观察来估算：对均值为u m 和方差为2u σ的正态分布随机变量u 及任意整数l ，可以推导出
}{22
1exp()2
lu
u
u E e
lm
l σ=+
（2.19）
这里l 表示正态随机变量u 的矩的阶次。

因此要估算exp （Z ）的第一阶矩，这里假定Z 为高斯随机变量，我们可以证明
}{2
1exp()2
Z
Z
Z E e
m
σ=+
（2.20）
和
}{}{1
2
2
1
1exp()2
N
i i
N
Y Y Y Z
Y Y i E e
E e
e
e
m σ==++⋅⋅⋅+=
+
∑
（2.21）
将式（2.20）和式（2.21）带入式（2.18），我们可以得到
2
2
111exp()exp()2
2
Z z i Y u m m Y σσ=+
=
+
∑
（2.22）
式（2.22）的和式是被加数i Y 的均值i
Y m 和标准差i
Y σ的函数，可以假设通过测量或
者使用传播模型让这些量已知。

通过匹配I 和12N I I I ++⋅⋅⋅+的第二阶矩，我们有
}{()
}{1
2
2
2N
Y Y Y Z
E e
E e
e
e
=++⋅⋅⋅+ （2.23）
在式（2.23）两边同时使用式（2.19）的性质，我们得到
1
22
2
2,i=1
11
1exp(22)2exp()exp[
(2)]2
i i j i i i j i j N
N N
i Y Y Y Y Y Y Y Y Y i j i u m Y m m r σσσσσ-==+=
+++⋅++∑
∑∑
（2.24）。