2020年六年级数学培优试题

2020年六年级数学培优试题
一、培优题易错题
1．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）+3；+4；+2；0；D
（2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，
根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；
则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），
所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，
所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；
（2）根据所给的路线确定点的位置即可；
（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
2．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6
（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？
【答案】（1）解：+15+（-2）+5+（-1）+（-10）+（-3）+（-2）+12+4+（-5）+6 =19(km)，答：检修小组在A地东边，距A地19千米
（2）解：（+15+|-2|+5+|-1|+|-10|+|-3|+|-2|+12+4+|-5|+6）×3
=65×3=195(升)，∵195＞180，
∴收工前需要中途加油，
195-180=15(升)，
答：应加15升．
【解析】【分析】（1）先求出这组数的和，如为正则在A的东边，为负则在A的西边，为0则在A处；
（2）先求出这组数的绝对值的和与3的乘积，再与180比较，若大于180就需要中途加油，否则不用.
3．已知x、y为有理数，现规定一种新运算“※”，满足x※y=xy+1．
（1）求3※4的值；
（2）求（2※4）※（﹣3）的值；
（3）探索a※（b﹣c）与（a※c）的关系，并用等式表示它们．
【答案】（1）解：3※4=3×4+1=13
（2）解：（2※4）※（﹣3）=（2×4+1）※（﹣3）=9※（﹣3）=9×（﹣3）+1=﹣26
（3）解：∵a※（b﹣c）=a•（b﹣c）+1=ab﹣ac+1=ab+1﹣ac﹣1+1，
a※c=ac+1．
∴a※（b﹣c）=a※b﹣a※c+1
【解析】【分析】根据新运算的规律，求出计算式的值，求出探索的式子之间的关系.
4．甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为的硫酸溶液400千克．各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？
【答案】解：甲容器硫酸：600×8%=48（千克），
乙容器硫酸：400×40%=160（千克），
混合后浓度：（48+160）÷（600+400）=20.8%，
应交换溶液的量：
600×（20.8%-8%）÷（40%-85）
=600×0.128÷0.32
=240（千克）
答：各取240千克放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样。

【解析】【分析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量。

5．有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为的盐水毫升；乙容器中有清水毫升；丙容器中有浓度为的盐水毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水毫升倒入甲容器，毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？
【答案】解：列表如下：
甲乙
浓度溶液浓度溶液开始
第一次
第二次
丙
浓度溶液
开始
第一次
第二次
【解析】【分析】在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然。

浓度=盐的质量÷盐水质量×100%，盐的质量=盐水质量×浓度。

6．在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，再加入多少千克酒精，浓度变为50％？
【答案】解：设原来有酒精溶液x千克。

30%x+1.5=40%x
0.1x=1.5
x=15
设再加入y千克酒精，溶液浓度变为50%。

10+0.5y=6+y
y=8
答：再加入8千克酒精，溶液浓度变为50%。

【解析】【分析】本题可以用两次方程作答，首先求出原来有酒精溶液的质量，即
，由此可以解得原来有酒精溶液的质量，然后设再加入y千克酒精，溶液浓度变为50%，即，即可解得再加入酒精的质量。

7．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【答案】解：
=
=
=（天）
答：要用天才能完成。

【解析】【分析】首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成。

如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有，可得；而按丙、甲、乙的顺序去
做，最后由乙做了半天来完成，这样有，可得．那么，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合。

所以按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天是由甲完成的。

那么有，可得，。

这样就可以根据工作效率之间的关系分别求出乙和丙的工作效率，用总工作量除以三队的工作效率和即可求出一起做完成的时间。

8．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．现在甲先做小时，然后乙做小时，再由甲做小时，接着乙做小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？
【答案】解：假设两队交替做4次，甲的工作量：，
乙的工作量：，
还剩下的工作量：，
甲还要做：（小时），
总时间：（1+3+5+7）+（2+4+6+8）+=（小时）。

答：完成任务共要小时。

【解析】【分析】交替4次，甲工作的时间是1、3、5、7小时，乙工作的时间是2、4、6、8小时。

用每队的工作效率乘各自的工作时间求出各自完成的工作量，用1减去两队分别完成的工作量即可求出剩下的工作量。

剩下的工作量该甲做了，因此用剩下的工作量除以甲的工作效率就是甲还需要做的时间。

然后把两队工作的总时间相加即可求出共需要的时间。

9．甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？
【答案】解：三队合作完成两项工程所用的天数为：
（天），
18天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为：，
剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了：（天）。

答：丙队与乙队合做了15天。

【解析】【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，
我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“”。

用两项工程总工作量除以三队的工作效率和即可求出共同完成的时间。

用乙的工作效率乘共同完成的时间即可求出乙完成的工作量，那么B工程剩下的工作量就由丙来做，这样用丙帮助乙完成的工作量除以丙的工作效率即可求出丙队帮助乙的时间，也就是丙与乙合做的天数。

10．一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【答案】解：假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6天，完成的工作量：
=
=
1÷=2
甲：1×2=2（天），乙：3×2=6（天），丙：6×2=12（天）
2+6+12=20（天）
答：总共用了20天。

【解析】【分析】可以采用假设法，假设甲做了1天，乙就做了3天，丙就做了3×2=6
天，然后把三人完成的工作量相加求出完成的工作总量是，这样就能确定甲、乙、丙实际完成的天数，把三人实际工作的天数相加就向总共用的天数。