九年级数学上册专题训练(六)利用旋转证明或计算课件(新版)新人教版
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(2)将△CBE 以点 B 为中心按逆时针方向旋转 90°，得到 △ABF，则 AF＝CE，∠FAB＝∠C.∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠C＝45°.∴∠FAD＝90°.∴DF2＝AD2＋AF2＝AD2 ＋CE2.由(1)知 DF＝DE，故 DE2＝AD2＋EC2
7．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三 角形．
4．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD 的大小；(用含 α 的式子表示) (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状 并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值．
解：易求∠OFE1＝120°，∴∠D1FO＝60°，∵∠CD1F＝30°， ∴∠COB＝90°.∵∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝45°，又∵∠ACB＝ 90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.又∵AC＝BC，AB＝6，∴OA＝OB ＝3，∵∠ACB＝90°，∴CO＝3，又∵CD1＝7，∴OD1＝CD1－OC ＝7－3＝4，在 Rt△AD1O 中，AD1＝ OA2＋OD12＝5
2．如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转 30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.
(1)求证：BH＝GH； (2)求BH的长．
解：(1)连接 AH，依题意，得正方形 ABCD 与正方形 AEFG 全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°，可证 Rt△ABH≌Rt△AGH， ∴BH＝GH
专题训练(六) 利用旋转证明或计算
一、利用旋转进行计算 1．如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上，且 AO ＝3，点 P 是 AB 上的一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针 旋转 60°得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，求 AP 的长．
解：易证△APO≌△COD， ∴AP＝OC，又∵AC＝9，AO＝3， ∴AP＝OC＝6
(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°，设 BH＝x，AH＝2x，在 Rt△ABH 中，BH2＋AB2＝AH2，即 x2＋62 ＝(2x)2，∴x＝2 3，∴BH＝2 3
3．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，斜边 AB＝6，DC＝7.把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15°得到△D1CE1(如图②)，求线段 AD1 的长度．
(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD； (2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为__6_0__度时，边AD′落在边AE上； ②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段 AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证 明．
解：(1)∵△ACE，△ABD 都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝ AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD
(3)∵BDC 是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE －∠BCD＝90°，又∵∠DEC＝45°，∴CE＝CD＝BC.∴∠EBC ＝15°.∵∠EBC＝∠ABD＝30°－α2，∴α＝30°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、利用旋转进行证明 5．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且 含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图①所示位置放置．现将 Rt △AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α(0°＜α＜90°)，如图②，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P. (1)求证：AM＝AN； (2)当旋转角 α＝30°时，四边形 ABPF 会是什么样的特殊四边形？ 并说明理由．
6．(1)如图①，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两 点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜12∠ABC)．以点 B 为旋 转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A(点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′处)，连接 DE′.求证：DE′＝DE.
(2)②当 AC＝2AB 时，△BDD′与△CPD′全等，证明：由旋转 可知 AB′与 AD 重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形 ABDD′是菱 形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝12∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE 是等 边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′， ∴∠PCD′＝∠ACD′＝12∠ACE＝30°，∴DP∥BC，∴∠ABD′＝ ∠DBD′ ＝ ∠BD′D ＝ ∠ACD′ ＝ ∠PCD′ ＝ ∠PD′C ＝ 30 ° ， ∴ BD ′ ＝ CD′，∴△BDD′≌△CPD′
解：(1)由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝ 60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP， ∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°， ∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°， ∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四 边形ABPF是菱形
解：(1)∠ABD＝30°－α2
(2)△ABE 是等边三角形．证明：连接 AD，CD，∠DBC＝60 °，BD＝BC，∴△BDC 是等边三角形，∠BDC＝60°，BD＝DC， 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠ADB＝150°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC， 又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°，∴△ABD≌△EBC，∴ AB＝EB，∴△ABE 是等边三角形
(2)如图②，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求 证：DE2＝AD2＋EC2.
解：(1)∵△BE′A 是由△BEC 以点 B 为旋转中心，按逆时针方 向 旋 转 而 得 到 ， ∴ BE ＝ BE′ ， ∠ CBE ＝ ∠ABE′ ， ∠ E ′ BE ＝ ∠ABC.∵∠DBE＝12∠ABC，∴∠DBE＝∠DBE′，又∵BD＝BD， BE＝BE′，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′＝DE
7．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三 角形．
4．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD 的大小；(用含 α 的式子表示) (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状 并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值．
解：易求∠OFE1＝120°，∴∠D1FO＝60°，∵∠CD1F＝30°， ∴∠COB＝90°.∵∠BCE1＝15°，∴∠BCD1＝45°，又∵∠ACB＝ 90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.又∵AC＝BC，AB＝6，∴OA＝OB ＝3，∵∠ACB＝90°，∴CO＝3，又∵CD1＝7，∴OD1＝CD1－OC ＝7－3＝4，在 Rt△AD1O 中，AD1＝ OA2＋OD12＝5
2．如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转 30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.
(1)求证：BH＝GH； (2)求BH的长．
解：(1)连接 AH，依题意，得正方形 ABCD 与正方形 AEFG 全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝90°，可证 Rt△ABH≌Rt△AGH， ∴BH＝GH
专题训练(六) 利用旋转证明或计算
一、利用旋转进行计算 1．如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上，且 AO ＝3，点 P 是 AB 上的一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针 旋转 60°得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，求 AP 的长．
解：易证△APO≌△COD， ∴AP＝OC，又∵AC＝9，AO＝3， ∴AP＝OC＝6
(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°，设 BH＝x，AH＝2x，在 Rt△ABH 中，BH2＋AB2＝AH2，即 x2＋62 ＝(2x)2，∴x＝2 3，∴BH＝2 3
3．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A ＝45°，∠D＝30°，斜边 AB＝6，DC＝7.把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15°得到△D1CE1(如图②)，求线段 AD1 的长度．
(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD； (2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为__6_0__度时，边AD′落在边AE上； ②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段 AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证 明．
解：(1)∵△ACE，△ABD 都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝ AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD
(3)∵BDC 是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE －∠BCD＝90°，又∵∠DEC＝45°，∴CE＝CD＝BC.∴∠EBC ＝15°.∵∠EBC＝∠ABD＝30°－α2，∴α＝30°
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、利用旋转进行证明 5．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且 含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图①所示位置放置．现将 Rt △AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α(0°＜α＜90°)，如图②，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P. (1)求证：AM＝AN； (2)当旋转角 α＝30°时，四边形 ABPF 会是什么样的特殊四边形？ 并说明理由．
6．(1)如图①，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两 点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜12∠ABC)．以点 B 为旋 转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE′A(点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′处)，连接 DE′.求证：DE′＝DE.
(2)②当 AC＝2AB 时，△BDD′与△CPD′全等，证明：由旋转 可知 AB′与 AD 重合，∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形 ABDD′是菱 形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝12∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE 是等 边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′， ∴∠PCD′＝∠ACD′＝12∠ACE＝30°，∴DP∥BC，∴∠ABD′＝ ∠DBD′ ＝ ∠BD′D ＝ ∠ACD′ ＝ ∠PCD′ ＝ ∠PD′C ＝ 30 ° ， ∴ BD ′ ＝ CD′，∴△BDD′≌△CPD′
解：(1)由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝ 60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP， ∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°， ∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°， ∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四 边形ABPF是菱形
解：(1)∠ABD＝30°－α2
(2)△ABE 是等边三角形．证明：连接 AD，CD，∠DBC＝60 °，BD＝BC，∴△BDC 是等边三角形，∠BDC＝60°，BD＝DC， 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC， ∴∠ADB＝150°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC， 又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°，∴△ABD≌△EBC，∴ AB＝EB，∴△ABE 是等边三角形
(2)如图②，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝12∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求 证：DE2＝AD2＋EC2.
解：(1)∵△BE′A 是由△BEC 以点 B 为旋转中心，按逆时针方 向 旋 转 而 得 到 ， ∴ BE ＝ BE′ ， ∠ CBE ＝ ∠ABE′ ， ∠ E ′ BE ＝ ∠ABC.∵∠DBE＝12∠ABC，∴∠DBE＝∠DBE′，又∵BD＝BD， BE＝BE′，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′＝DE