四川省成都市四川浦江中学2022年高一数学理联考试卷含解析

四川省成都市四川浦江中学2022年高一数学理联考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在的区间为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间．
【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增．
因为，，
，，
所以，
所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．
故选D．
2. 函数在区间(－∞,5)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．(－∞,－4] B．[－4,+∞) C．(－∞,4] D．[4,+∞)
参考答案：
A
3. 由函数的图象得到的图象，需要将的图象（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
参考答案：
B
试题分析：，即函数
的图象得到，需要将的图象向左平移个单位，故选择B．考点：三角函数图象变换．
4. 如图长方体中，AB=AD=，CC1=，则二面角C1—BD—C
的大小为
A．300 B．450 C．600 D．900
参考答案：
A
5. 已知，满足：，，，则-------( )
A． B． C．3
D．10
参考答案：
B
略
6. 如果集合A={y|y=－x2+1，x∈R+}，B={y|y=－x+1，x∈R}，则A与B的交集是（）
A．(0，1)或(1，1) B．{(0，1)，(1，1)} C．{0，1} D．(－∞，1)
参考答案：
D
7. 下列命题中, 正确的是（）
A．的最小值是2 B．的最小值是2
C．的最小值是2 D．的最小值是2
参考答案：
B
略
8. 函数，当时，恒有，有（）
（A）在上是增函数（B）在上是减函数
（C）在上是增函数（D）在上是减函数
参考答案：
A
9. 下图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，，，，
为全等的等边三角形，E，F分别为PA，PD的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为（）
A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线
C.平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行
参考答案：
C
画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．
故答案选C．
10. 设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（）
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（）
（3）f（x）在[]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．
①求得f（0）=说明命题①错误；
②由f（）=0说明命题②正确；
③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；
④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．
【解答】解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．
∵﹣＜φ＜，
∴取k=1得φ=．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin=．
∴f（x）的图象过点（0，）错误；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（）正确；
③由，得：
．
取k=0，得．
∵[]?，∴f（x）在[]上是减函数正确；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移个单位得到，
则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，且满足，已知圆，
直线，下列四个命题：
①对满足条件的任意点和任意实数，直线和圆有公共点；
②对满足条件的任意点和任意实数，直线和圆相切；
③对任意实数，必存在满足条件的点，使得直线和圆相切；
④对满足条件的任意点，必存在实数，使得直线和圆相切.
其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）
参考答案：
①③
12. 已知i是虚数单位，复数对应的点在第▲象限．
参考答案：
四
13. 函数的单调递增区间是．
参考答案：
略
14. 执行图程序中，若输出y的值为2，则输入x的值为．
INPUT
IF THEN y
= x ^ 2
ELSE
y = －x
^ 2＋ 1 END IF PRINT
END
参考答案：
【考点】伪代码．
【分析】模拟执行程序的运行过程知该程序的功能是输出函数是分段函数， 根据输出y 的值列方程求出输入x 的值．
【解答】解：模拟执行程序的运行过程知，该程序的功能是输出函数
y=；
又输出y 的值为2，则 当x≥1时，令y=x 2=2，解得x=
；
当x ＜1时，令y=﹣x 2+1=2，无解； 所以输入x 的值为．
故答案为：．
15. 已知函数
其中
，若存在实数b ，使得关于x 的方程
有三个
不同的根，则m 的取值范围是__________．
参考答案：
本题主要考查函数的概念与性质．
时，
单调递减，值域为
；
时，单调递增，值域为；
时，
单调递增，值域为
．
要使存在，使有三个不同的根，则，解得
．
故本题正确答案为
．
16. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数x 的函数关系为则每辆客车营运多少年，其运
营的年平均利润最大为 .
参考答案：
解析：，当且仅当，即x=5等式成立。

17. 计算：()++=________
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设在
ABC 中内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列
（1）求cosAcosC 的取值范围； （2）若 ABC 的外接圆半径R=1，求
的取值范
围。

参考答案：
解析:由已知得 ： 2B=A+C
A+C=π-B
①
(1)利用公式
与
推得
②
注意到①式 ③
∴
由②③得cosAcosC 的取值范围为
(2)根据已知 A=60+α,C=60-α (-60< <60)
∴由正弦定理得a 2+c 2=4R 2(sin 2A+sin 2C)=4(sin 2A+sin 2
C)=4-2 (cos2A+cos2C)=4-2[cos(120+2α)+cos(120-2α)]=4+2cos2α ④
-60< <60∴-120<2α<120∴⑤
∴由④⑤得：3<4+2cos2α≤6∴所求的取值范围为(3,6).
19. 如图，在四棱锥S- ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，，.
（1）若M为棱SB的中点，求证：//平面SCD；
（2）当时，求平面与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求当取最大值时点N的位置.
参考答案：
（1）见解析；（2）；（3）即点N在线段CD上且
【分析】
（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证是平行四边形，从而有，则可得线面平行；
（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）设，其中，求出，由MN与平面所成角的正弦值为与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论．
【详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．在中，ME为中位线，∴且，
∵且，∴且，
∴四边形AMED为平行四边形．
∴．
∵平面SCD，平面SCD，
∴平面SCD．
（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
由条件得M为线段SB近B点的三等分点．
于是，即，
设平面AMC的一个法向量为，则，
将坐标代入并取，得．
另外易知平面SAB的一个法向量为，
所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．
（3）设，其中．
由于，所以．
所以，
可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，
此时，，即点N在线段CD上且．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．
20. 已知等差数列{a n}的首项为a．设数列的前n项和为S n ，且对任意正整数n
都有．
(1)求数列{a n}的通项公式及S n ；
(2)是否存在正整数n和k，使得S n , S n+1 , S n+k 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存
在，请说明理由．
参考答案：
解
(1) 设等差数列{a n}的公差为d，
在中，令n=1 可得=3，即
故d=2a，。

经检验，恒成
立
所以，
(2) 由(1)知，，
假若，，成等比数列，则，即知
，
又因为，所以，经整理得
考虑到n、k均是正整数，所以n=1，k=3
所以，存在正整数n=1和k=3符合题目的要求。

略
21. （本小题满分10分）已知是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
参考答案：
（2）当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
综上：……………………………………….4分
22. 已知，且α是第二象限的角．
（1）求的值；
（2）求cos2α的值．
参考答案：
【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】（1）由已知中，且α是第二象限的角，求出α的余弦值后，代入两角差的正弦公式，即可得到答案．
（2）由已知中，根据二倍角的余弦公式，cos2α=1﹣2sin2α，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，且α是第二象限的角
∴cosα=﹣=
∴=sinα?cos﹣cosα?sin=
（2）cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=。