湖南省高考文科数学预测试题

湖南省2008届高考文科数学预测试题
一．选择题：（每小题5分，共50分。

在每小题的四个选项中只有一个是正确的。

1．若函数x y 2cos =与函数)sin(ϕ+=x y 在区间]2
,0[π
上的 单调性相同,则ϕ的一个值
是( ) A ．
6π B ． 4π C ． 3π D ． 2
π
2.“P 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 数列{}n a 中，=∈=-==++6221,(,2,1S p N n p a a a a n n 为常数），则必有( )
A. 6+15P
B.12+15P
C.21P
D.9+6P 4. 过函数）
，（图像上一点31P 4)(3--=x x x f 的切线的倾斜角为 ( ) 4
3.D 43-C. 4-B. 4 A.ππππ
5. 福娃是北京2008年奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个作为纪念，按先甲后乙的顺序不放回的选择，则“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率是( ) A ．
101 B. 51 C. 53 D.5
4 6.设m 和n 是一对异面直线,它们所成个的角为θ,且2
0π
θ<<,以下四个命题中,正确命题
的个数为 ( )
①在过m 的平面中存在平面a,使n//a; ②在过m 的平面中存在平面β,使n ⊥β; ③在过m,n 的平面中存在平面a, β,使它们所形成的二面角(较小的)的大小为θ; ④在过m 的平面中存在平面γ,使n 和γ所形成的线面角的大小为θ. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7、若1F ,2F 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左,右焦点,以1F 为顶点, 2F 为焦点作抛物线,
点P 为椭圆和抛物线的一个焦点,已知||||21PF e PF =,则椭圆的离心率e 的值为 ( )
A.
22
B. 21
C. 3
3 D. 13-
8、已知)(x g 为奇函数，且2)()(3++=x bg ax x f 在区间b a ,5)0,(，上有最小值--∞ 为常数，则上有在),0()(+∞x f ( )
A ．最大值5 B. 最小值5 C.最大值3 D.最大值9
9．5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )
10．设,a b 是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-（x R ∈）在
(0,)+∞上有最大值，则 ( )
A ．||||a b <，且θ是钝角
B ．||||a b <，且θ是锐角
C ．||||a b >，且θ是钝角
D ．||||a b >，且θ是锐角
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中横线上。

11．已知集合{}
1≤-=a x x A ，{}
0452
≥+-=x x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取
值范围是 . 12. 下列命题中： ①a ∥b ⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得a b λ=；
②e 为单位向量，且a ∥e ，则a =±|a |·e ；③3||||=⋅⋅；
④与共线，与共线，则与共线；⑤若=≠⋅=⋅则且,
其中正确命题的序号是 ．
13．过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2
＋y 2
＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，
直线l 的斜率k ＝ ．
14. 已知三棱锥P ABC -的各顶点都在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，PO ⊥
底面ABC ，AC =，则三棱锥的体积与球的体积之比是
15. 图中的三角形为希尔宾斯三角形，在下列图形中，着黑色三角形的个数依次构成一个数列的前四项。

根据图形中着黑色三角形个数的变化规律，猜测第n 个图形中有 个着黑色的三角形。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16、（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++(0,0)A ω>>的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，当[0,2]x π∈时，求方程()2f x B =的解。

A
B
C
D
17、（本小题满分１2分）2007年寒假，小王、小李、小贺三人分别驱使A 型、A 型、B 型车回家过年，恰遇50年一遇的大雪灾而停在高速公路上，设五天时间内在这种天气下，A 型汽车出现故障的概率为
13，B 型汽车出现故障的概率为12，一人被冻伤的概率为1
5
.（I ）求恰有两辆车出现故障的概率;（II ）求两辆A 型车之一出现故障且三人中恰有一人被冻伤的概率.
18、(本小题满分12分)如图,△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD, ∠CBA=∠DBC=120°,求
(1)AD 的连线和平面BCD 所成的角; (2)AD 的连线与直线BC 所成的角; (3)二面角A-BD-C 的大小.
19.( 本小题满分13分)已知函数)(2),0,()(23x f a R x d cx bx ax x f 是-≠∈+++=的一个零点，又)(x f 在x=0处有极值，在区间（－6，－4）和（－2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反. （1）求c 的值； （2）求
a
b
的取值范围； （3）当]2,3[}23),(|{,3-⊆≤≤-==x x f y y a b 求使时成立的实数a 的取值范围.
20、（本小题满分13分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点分别为21F F 、，
已知椭圆E 上的任意一点P ，满足2
212
1a PF PF ≥⋅→
→
，过1F 作垂直于椭圆长轴的弦长为3. （1）求椭圆E 的方程；
（2）若过点1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求→
→
⋅B F A F 22 的取值范围。

21、（本小题满分13分）
观察下列三角形数表
1 …………第一行
2 2 …………第二行
3
4 3 …………第三行 4 7 7 4 …………第四行
5 11 14 11 5
… … … …
… … … … …
假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *≥∈， （Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式； （Ⅲ）设1,n n a b =求证：232n b b b +++<
湖南省2008届高考文科数学预测试题参考答案
一．选择题：
1. D
2. A
3. D
4. D
5. C
6. C
7. C
8. D
9. D 10. D 二、填空题：
11．[2 , 3] 12. ②③ 13. 22
14. π8:3 15. 1
3-n 三、解答题：
16、解：（1）设()f x 的最小正周期为T ，得11()266
T ππ
π=--=， 由2T π
ω=
得1ω= 又由31B A B A +=⎧⎨-=-⎩，解得21
A B =⎧⎨=⎩ …………………3分
A
B
C
D
E
F
令562ππωϕ⋅
+=，即562ππϕ+=，解得3
πϕ=- ∴()2sin()13
f x x π
=-
+ ………………………………… 6分
（2）()2f x B =得1
sin()32x π
-
=
………………………………… 8分
∵[0,2]x π∈ ∴5[,
333
x πππ
-∈-…………… 10分 ∴36x ππ-=或536x ππ-= 故2x π=或76
x π= …………… 12分
17、解: 三辆车恰有两辆车出现故障包括“两辆A 型车出现故障而B 型车没有出现故障”与“两辆A 型车之一出现故障且B 型车出现故障而另一辆A 型车没有出现故障”两种情况,他们彼此互斥.………………………2分
故恰有两辆车出现故障的概率为221
22()()()()()C p A P B C p A p A P B ⋅+⋅=
5
18
.………6分
（II ）设“一人被冻伤”为事件C, “两辆A 型车之一出现故障”与B 型车是否出故障无关,且与“三人中恰有一人被冻伤”相互独立 .………………………8分 故所求概率为1
1
2
1
1223231214192()()()()(3355215
C p A p A C p C p C C C ⋅=⋅⋅=⋅…………12分
18、解: (1)过A 作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E. 连接DE.
因为△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直, 所以AE ⊥平面CDE,
则∠ADE 为AD 的连线和平面BCD 所成的角.…………………2 分 因为AB=BD, ∠CBA=∠DBC=120°,
所以△ABE ≌△DBE,得 AE=DE, ∠ADE=
4π. 所以AD 的连线和平面BCD 所成的角是4
π
.………………………4 分
(2)由△ABE ≌△DBE 得,BE ⊥DE,……………………………………6 分 又AE ⊥平面CDE,由三垂线定理, BC ⊥AD. 所以AD 的连线与直线BC 所成的角是2
π
. …………………………8 分 (3)过E 作EF ⊥BD 于F,连接AF,
由三垂线定理, EF ⊥AF,则∠AFE 为所求二面角A-BD-C 的
的平面角的补角. ………………………………………………9 分
设AB=BC=BD=1,则AE=
,23
BE=21,EF=,4
3
tan ∠AFE=2, …………………………………………………11 分 所以二面角A-BD-C 的大小为2arctan -π ………………………12分
19.解（1）c bx ax x f d cx bx ax x f ++='∴+++=23)()(22
3
…………2 分
∴f （x ）在x =0处有极值 .0,0)(=='∴c x f 即 ………………………………4 分
（2）由（1）知0)(23)(2
='+='x f bx ax x f 令，a
b
x x 320-
==∴或 …………6 分 又∵f （x ）在区间（－6，－4）和（－2，0）上单调且单调性相反.
632324≤≤
-≤-
≤-∴a
b
a
b
故 ………………………………………8 分 （3）d ax ax x f a b ++=-=2
3
3)(2,3是且 的一个零点 a d d a a f 40
128)2(-=∴=++-=-∴. 从而a ax ax x f 43)(23-+=
.20,0)(.63)(2-==∴='+='∴x x x f ax ax x f 或令 ………………………9 分
∴当a >0时，若－3≤x ≤2，则－4 a ≤f （x ）≤16 a
当a <0时，若－3≤x ≤2，则16 a ≤f （x ）≤－4 a
从而⎪⎩⎪
⎨⎧≤--≥<⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤>243160342160a a a a a a 或 ……………………………………………12 分
即0163
810<≤-≤
<a a 或 ∴存在实数]8
1
,0()0,163[⋃-∈a ，满足题目要求. ……………………13 分
20、解:(1)设点),(00y x P ,则),(001y x c PF ---=,),(002y x c PF --=
222
0222
022021c b x a
c y c x PF -+=+-=⋅∴ 2202210,2
1a x a PF PF ≤≤≥
⋅→
→
…………………………………………3分
又
,2
3
2=a b …………………………………………………………………4分 得 ,3,42
2
==b a 所以椭圆E 的方程为13
42
2=+y x …………………6分 (2)当点1F 的直线AB 的斜率不存在时,点)0,1(),2
3,1(),23
,1(2=---F B A , 则4
7
22=
⋅→
→
B F A F .………………………………………………………7分 当点1F 的直线AB 的斜率存在时,设斜率为k,则直线AB 的方程为
),,(),,(),1(2211y x B y x A x k y 设+=1342
2=+y x 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134
)
1(22y x x k y ,得 01248)34(2222=-+++k x k x k .
所以 ,3
412
4,34822212
221+-=+-=+k k x x k k x x ………………………9分 ,2,2
12
22c a a c b =∴=
-∴
12
165747349713
48)1(34124)1(1
1))(1()1()1)(1(1)()1)(1(2222
2
22222
221221*********
12122+-
=+-=+++⋅--+-⋅+=++++-++=+++++-=+--=⋅→
→k k k k k k k k k k k x x k x x k x x k x x x x y y x x B F A F
所以47322≤⋅≤-→→B F A F ,故→→⋅B F A F 22 的取值范围是]4
7
,3[-…………12分
21、解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； ………………2分 （2）依题意)2(1≥+=+n n a a n n ，22=a ………………………………………5分
)(......)()(134232--++-+-+=n n n a a a a a a a a
(2)(1)
223......(1)22
n n n -+=++++-=+
，
所以)2(12
1
212≥+-=
n n n a n ； ………………………………………………8分 （3）因为1,n n a b =所以)1
11(222222
n n n n n n b n --=-<+-= …………………10分 )]111(...)3121()2111[(2......432n n b b b b n --++-+-<++++2)1
1(2<-=n
……14分。