度九年级数学下册 第5章5.3 用待定系数法确定二次函数表达式同步练习 (新版)苏科版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学习资料专题
5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
知|识|目|标
1．通过类比用待定系数法求一次函数表达式的过程，会利用待定系数法求二次函数的表达式．
2．能根据已知点的特点，熟练选用适当的方法求二次函数的表达式．
目标一会利用待定系数法求二次函数一般式
例1 教材补充例题已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
【归纳总结】确定二次函数一般式的“四步法”
(1)设：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c；
(2)列：根据题意列方程组；
(3)解：解方程组；
(4)定：确定二次函数表达式．
目标二会用适当的方法求二次函数的表达式
例2 教材补充例题已知二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点M(2，0)，求这个函数的表达式．
知识点一用待定系数法求二次函数表达式的一般
步骤
(1)设二次函数的表达式；(2)列方程组求待定系数；(3)解方程组，求出待定系数；(4)还原．
知识点二二次函数表达式有三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a≠0，a，b，c为常数)；
(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，a，h，k为常数，(－h，k)为顶点坐标)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，a，x1，x2为常数，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标)．
已知抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，且经过点(1，0)，求抛物线的表达式．
解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，－3)，①
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－3，②
即y＝x2＋4x＋1.③
以上解答从第________步开始出现错误，错误的原因是不能设二次项系数是________，正确答案是________________．
详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(－1，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0，－1－b ＋c ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3， ∴y ＝－x 2
＋2x ＋3.
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．
[备选例题] 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx －2的图像经过点(－2，4)，(－1，0)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该函数图像的对称轴；
(3)当－1≤x ≤2时，求y 的取值范围． [解析] (1)将点(－2，4)，(－1，0)分别代入二次函数的表达式，利用待定系数法求该二次函数的表达式即可．
(2)化成顶点式即可求得；
(3)求得抛物线与x 轴的另一个交点，根据二次函数的性质即可求得．
解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b －2＝4，
a －
b －2＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－1，
∴该二次函数的表达式为y ＝x 2
－x －2. (2)∵y ＝x 2
－x －2＝(x －12)2－94，
∴函数图像的对称轴为直线x ＝1
2.
(3)∵y ＝x 2
－x －2＝(x －12)2－94
，
∴二次函数y ＝x 2
－x －2的图像的顶点坐标为(12，－94)，
∴二次函数的最小值为－9
4
.
设抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(m ，0)， ∴x ＝－1＋m 2＝12
，
解得m ＝2，
∴另一个交点坐标为(2，0)， ∴当－1≤x ≤2时，－9
4
≤y ≤0.
例2 [解析] 此题已知图像上两点，如果用一般式，似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组．
解：解法一：设这个函数的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，
－b 2a ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.
∴这个函数的表达式为y ＝3x 2
－6x.
解法二：设这个函数的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，①
－b 2a ＝1，②
4ac －b 2
4a ＝－3，③
由②，得b ＝－2a.④
把④代入③，得4ac －4a
2
4a
＝－3，
即c －a ＝－3.
把④代入①，得c ＝0， ∴a ＝3，b ＝－6.
∴这个函数的表达式为y ＝3x 2
－6x.
解法三：∵二次函数图像的顶点坐标是(1，－3)，
∴设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2
－3. 又∵图像经过点M(2，0)，
∴0＝(2－1)2
a －3，解得a ＝3，
∴这个函数的表达式为y ＝3(x －1)2
－3，
即y ＝3x 2
－6x.
解法四：设这个二次函数的表达式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2分别是抛物线与x 轴两交点的横坐标．
∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(2，0)，对称轴是直线x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(0，0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，
∴y ＝a(x －0)(x －2)＝ax(x －2)． 又∵抛物线的顶点坐标为(1，－3)， ∴－3＝a ×1×(1－2)， 解得a ＝3，
∴这个函数的表达式为y ＝3x(x －2)，
即y ＝3x 2
－6x. 【总结反思】
[反思] ② 1 y ＝13x 2＋43x －5
3。