第二章 单层的刚度与强度

1 1 E1 2 1 E1 0 12 2 E2 1 E2 0 0 1 0 2 1 G12 12
作如下定义：
S11 1 E1 S22 1 E2 S66 1 G12 S12 2 E2 S21 1 E1
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r
2 σ2 τ12
σ1 1
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
2 σ2 τ12
1和2表示材料的弹性主方向(正轴向) 1为纵向(沿纤维方向) 2为横向(垂直于纤维方向)
σ1 1
σ1 和σ2是正应力，τ12为切应力 ε1 和ε2为正应变，γ12为切应变
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2.1.2 复合材料的单层正轴刚度
单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限 制条件：
1 E1 2 E2
E1 , E2 , G12 0
12
E1 E 2 或 2 2 E2 E1
可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各 向异性的材料模型是否正确。
§2.1 单层的正轴刚度
2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
刚体 定义:在力的作用下,物体内任意两点之间 的距离保持不变 特点:理想模型,实际中并不存在 刚度 受外力作用的物体(材料、构件、结构等) 抵抗变形的能力。能力越强，刚度越大。 正轴 单层材料的弹性主方向 正轴刚度 单层在正轴上所显示的刚度性能
Q11 mE Q22 mE2 1
m (1 1 2 )1
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1
如何求逆矩阵？
1.求行列式的值 2.求伴随矩阵 3.求逆矩阵
(2-3)
Q66 G12
Q12 m 2 E1 Q21 m 1E2
模量分量
(与柔量分量互逆)
§2.0.5 各向同性体的工程弹性常数
对各向同性材料，剪切弹性模量G和拉压弹性模量E， 泊松比ν之间满足：
E G 2(1 )
G, E和ν为工程弹性常数
描述材料的刚度性能
独立常数为2.
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系 2.1.2 各种复合材料的单层正轴刚度

三步走 相容性原则
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第二章 单层的刚度与强度
§2.0 胡克定律 §2.1 单层的正轴刚度 §2.2 单层的偏轴刚度 §2.3 单层的强度
本章重难点
重点
拉压胡克定理和剪切胡克定理
单层正轴刚度的三种表示方式
单层偏轴刚度的表征 单层强度的表征
201155weizhoucugeducn44261666122211661222116612221166122211221166122211218219式219称为单层正轴柔量的线性组合式219称为单层正轴柔量的线性组合也称材料常数式218即为倍角函数形式的柔量转换公式式218即为倍角函数形式的柔量转换公式回顾上节201155weizhoucugeducn45225单层的偏轴工程弹性常数形变耦合效应201155weizhoucugeducn46正轴拉应力正轴拉应力横向拉应变横向拉应变纵向拉应变纵向拉应变正轴剪切应力剪切应变偏轴应力偏轴拉应力不仅引起x和y方向的拉应变还会引起剪应变偏轴拉应力不仅引起x和y方向的拉应变还会引起剪应变
弹性形变的定义
在外力的作用下，物体都会发生形变。当外力撤 去以后，能够恢复的那部分形变叫弹性形变。只 发生弹性形变的物体叫做弹性体。
弹性形变的分类
拉压形变：在拉力或压力作用下的形变 剪切形变：在力偶作用下物体的两个平行截面发
生相对平行移动的形变。这对力偶叫做一对剪切 力。 任何形变都是拉压形变和剪切形变的组合！
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2.2.1 应力转换与应变转换公式 2.2.2 单层的偏轴应力-应变关系 2.2.3 单层的偏轴模量 2.2.4 单层的偏轴柔量 2.2.5 单层的偏轴工程弹性常数
1 1 S11 S 22 14.49(T P a) E 1 S12 E 4.348(T P a) 1 1 S 66 37.68(T P a) G
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例题2.1
2)
模量分量
m (1 1 2 ) 1 (1 2 ) 1 1.0989 Q11 Q22 m E 75.82(GP a) Q12 mE 22.75(GP a) Q66 G 26.54(GP a)
回顾前节
复合材料(composite material)的定义与分类 复合材料结构设计的学习内容 本课程的研究对象
连续纤维增强的聚合物基层合结构复合材料的力学性能

本课程的任务
根据材料力学知识，选择最经济，且具有足够刚度、强度 和稳定性的材料，并设计出满足需求的构件。

复合材料结构设计的步骤和原则
Q21 Q12
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
描述单层的正轴刚度有三种形式(均有4个独立量),即
①工程弹性常数; ②柔量分量; ③模量分量 这三种形式可以互换,但又各有用处: ①: 可由简单实验测定E1 , E2 , G12 ,ν1即可,各参数物理意义明确; ②: 是应变-应力关系式的系数,用来根据应力求应变; ③: 是应力-应变关系式的系数,用来根据应变求应力. 实际复合材料工程中,经常碰到正方对称单层的情况,如1:1经纬交 织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况,此时,它的刚度参数存在 如下关系: Q11 = Q22 ,
( 2) (1) 可得: 1 1 2 2 (1) ( 2) 把 1 和 2 的值代入并变形得:
1 E1 2 E2
单层独立的正轴工程弹性常数为4个。
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
把上述应变-应力关系写成矩阵形式：
§2.0 胡克定律(HOOKE'S LAW)
2.0.1 外力 内力 应力

外力 外力是材料受到的来自外界的作用力， 如拉力、重力、万有引力、电磁力等。
d
P
N
l

内力
内力是材料内部各部分相互间的作 用力。内力总是成对出现。
P
P
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2.0.1 外力 内力 应力
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例题2.1
已 知 铝 的 工 程 弹 性 常 数 E=69GPa, G=26.54GPa, ѵ=0.3, 试求铝的柔量分量和模量分量。 解：由于铝是各向同性材料，所以有： E1=E2=E=69GPa, G12=G=26.54GPa, ѵ1=ѵ2=ѵ=0.3 1) 柔量分量
考虑两相材料的各自性能及其相互作用，研究其 如何反应在平均的表观性能上。
在本章中采用宏观力学方法 研究单层的刚度和强度！
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2.0.1 外力、内力和应力 2.0.2 弹性形变和应变 2.0.3 拉压胡克定律 2.0.4 剪切胡克定律 2.0.5 各向同性体的工程弹性常数

应力
应力(σ)是截面单位面积上的内力，单位为牛/平方 米(N/m2)，即帕斯卡。
N P A A
正向应力：应力在截面法线方向上的投影 切向应力：应力在垂直于截面法线(切线)方向的 投影 σ2 σ

应力与压强是什么关系？
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σ1
n
9
2.0.2 弹性形变和应变
单层板由基体材料(matrix)和增强材料(reinforcement)
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复合材料力学的分析方法
宏观力学(macro-mechanics)方法
忽略两相材料各自的性能差别及其相互作用，将 两相材料的影响反应在平均的表现性能上。
细观力学(micro-mechanics)方法
柔量分量
S21 S12
用柔量分量表示的应变-应力关系为：
1 S11 2 S 21 0 12 S12 S 22 0 0 1 0 2 S 66 12
(2-2)
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(1) 纵向单轴实验：仅1方向承受σ1

(1) 1
2 σ2 τ12
1 1 E1

(1) 2
v
(1) 1 1
v1 1 E1
σ1 1
(2) 横向单轴实验：仅2方2

( 2) 1
v
( 2) 2 2
v2 2 E2
(3) 面内剪切实验
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2.0.2 弹性形变和应变

拉压形变和拉应变 定义：
轴向线应变
P
d d1
l l1 l l l
d d1 d 横向线应变 d d
l
l1
可见，ε和ε’符号相反
定义泊松比
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
则应力-应变关系为：
1 S11 S12 0 1 S S 0 2 21 22 2 0 0 S 66 12 12 Q11 Q12 0 1 Q21 Q22 0 2 0 0 Q 66 12
应力正方向的规定：
正应力：拉为正，压为负 切应力：正面正向或负面负向为正，其余均为负
应变正方向的规定：
正应变：伸长为正，缩短为负 切应变：与坐标方向一致的直角减小为正，增大为负
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
通过三个实验来确定应力-应变关系
1 1 2 2 1 E1 E2
1 12 12 G12
(2-1)
以上5个参数称为单层的正轴工程弹性常数
其中独立的常数有几个呢?
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
功的互等定理：
如在某线性弹性体上作用两组广义力,则第一组力 在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力 在第一组力引起的位移上所作的功.
1 12 12 G12
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1 1(1) 1( 2)
(1) ( 2) 2 2 2
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2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
变形得到应变-应力关系为：
2 1 1 1 2 E1 E2
E1：纵向弹性模量 E2：横向弹性模量 ν1：纵向泊松比 ν2：横向泊松比 G12：面内剪切弹性模量
Δl
P
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§2.0.3 拉压胡克定律
在弹性限度以内，杆的伸长(缩短)量Δl与杆受到的 外力P、杆的原长l、横截面面积A有如下关系：
Pl l EA
Δl P E l A
由应力和应变 的定义得到
l l
E
E为拉压弹性模量
P A
拉压胡克定律：当拉应力不超过极限时，拉 应力与拉应变成正比。
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§2.0.4 剪切胡克定律
M M b1 γ b l φ r0
切应力τ和切应变γ之间满足 剪切胡克定律:
a
G
G为剪切弹性模量
剪切胡克定律：当剪切应力不超过极限时， 剪切应力与剪切应变成正比。
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难点
应力-应变关系的理解
各种模量的计算(线性代数中的矩阵运算)
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单层板

单层板 ( 简称单层 ) 是构成层 合结构复合材料的基本单元。 因此，研究单层的刚度与强 度是研究层合板刚度与强度 的基础。
组成。基体材料是连续的相，增强材料均匀地分散 在基体中，对基体的性能起到改进作用。
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S11 = S22 ,
E1=E2
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这种材料的独立工程弹性常数只有3个.
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回顾上节
胡克定律
拉压胡克定律
剪切胡克定律
应力与应变 各向同性材料的工程弹性常数 单层的正轴工程弹性常数 单层的正轴模量分量 单层的正轴柔量分量