09.材料力学-组合变形

2 1 ， 2 0， 3 2 2 2 2 2
然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应 选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度 条件为

2
2
r 3 4
2
2
≤
作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中 可以看出， C 点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截 面相同，故为危险截面。 开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度
条件选取工字钢。这时截面系数为
W≥
M 120 10 m 120cm 100 106
350
M
FN
(a)
(b)
t .max
(c)
c.max
21
解：首先，根据截面尺寸计算横 截面面积，确定截面形心位置，求 出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩
y1
z0
y
z1
50
Iy。计算结果为
150 50 150
A 15103 mm2 ，z1 75 mm， I y 531010 mm
30
若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其 强度条件成
r 4 2 3 2 ≤
若将式
M W
MT WP
2 M 2 MT
代入上两式，并注意到对圆截面杆有 WP ＝ 2W ，则以上两式 改写成
r3
r4
W
2 M 2 0.75M T
≤ ≤
A1 Wz1
200
300
200 P
350000 350 50 6 0.2 0.3 0.2 0.32 11.7 MPa
M 图（1）
图（2）
P 2max A 350000 8.75MP a 0.20.2
18
[例3] 图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移 至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？ P 10
1
目
录
9.1 9.2
拉伸（压缩）与弯曲的组合 扭转与弯曲的组合
2
引
一、组合变形
言
在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，
当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构
件的变形称为组合变形。 P P
R P
R y
P M
z x
3
工程实例： 烟囱，传动轴 吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
c ,max
F M z max ymax M y max zmax F M z max M y max A Iz Iy A Wz Wy
强度条件（简单应力状态）—— max
17
[例2] 图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求 出两柱内的绝对值最大正应力。 解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力 P P M P d P 1max
Mz k
F M z yk M y z k My k A I I 16
z y
3、强度计算： 危险截面——各截面 危险点——“d”点有最大的拉应力， “b”点有最大的压应力。
t ,max
F M z max ymax M y max zmax F M z max M y max A Iz Iy A Wz Wy

在横截面的周边各点处最大(图f))。所以在1和2两点处
，都为最大值，称其为危险截面上的危险点。现
M W
取其中的1点来研究，如图g)所示(图h)为其平面图)。作用在1点
上的正应力和切应力，分别按弯曲正应力公式和扭转切应力公
式来计算。其值为
MT WP
29
很明显，1点处于二向应力状态，需要采用适当的强度理论 来进行强度计算。 首先，计算1点的主应力。利用公式可得
M max FN c ,max Wz A
强度条件（简单应力状态）——
max
8
＝100 MPa，试选择工 若AB杆为工字钢，材料为Q235钢，
字钢型号。 解： AB 杆的受力简图如图 (b) 所示，设 CD 杆的拉力为 F ，由平衡方程
[例1] 最大吊重G＝8 kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。
单向偏压时，距偏心力较近的一侧边缘产生最大压应力，距 偏心力较远的另一侧产生较小正应力，可能是拉应力，也可能
是压应力。
12
=
+
c ,max
Fl F [ c ] W A Fl F [ t ] W A
t ,max
=
+
13
2、双向偏心拉伸（压缩）
F
y
x
F
My
z
3 3
结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选
取截面的型号。
二、偏心拉伸(压缩)
如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过杆件横截
面的形心，则将引起偏心拉伸(压缩)。
11
1、单向偏心拉伸（压缩） F e F
F
M Fe
M Fe
A
z
B
y
FN
A
M Fe
e
B
F
F M Fe
FN Fey A Iz
My
y
F M z
z
x
14
(1).荷载的简化
x
F z
x
Mz
F
My
z
F
F
M y F ez
M z F ey
y
x
y
(2).任意横截面任意点的应力 （a）内力：
FN ( x) F M z ( x) F e y M y ( x ) F ez
h
z
ey
zk
z
y
k
yk
4 4
其次，分析立柱的内力和应力。像立柱这样的受力情况有 时称为偏心拉伸。根据任意截面m-m以上部分的平衡，容易 求得截面m-m上的轴力FN和弯矩My分别为
FN FP，M y (350 75) 103 FP 42.5 102 FP
22
横截面上与轴力FN对应的应力是均布的拉应力，且
FN FP A 15 103
与弯矩My对应的正应力按线性分布，最大拉应力和最大压
应力分别是
max t, max c,
M y z1 Iy M y z2 Iy
42.5 102 FP 75 103 5310 108 42.5 102 FP (200 75) 103 5310 108
27
28
用截面法可计算出 AB 杆横截面上的弯矩 M 和扭矩 MT ，其 M
图和MT图分别如图c)和d)所示。因为A截面上内力最大，该截面 为危险截面，其内力值分别为弯矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。 在危险截面A上，与弯矩M相对应的弯曲正应力 切应力
，在y轴方
向的直径上下两端点1和2处最大(图e))；与扭矩MT 相对应的扭转 的应力 和
20 20
y P
100
解：内力分析如图
yC
z
坐标如图，挖孔处的形心 201020 zC 5mm 100102010
101003 I yC 10100 52 12
N M
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
P
M 5P 103 500Nm 19
N
x36.8mm
20
材料的许用拉应力 t ＝30 MPa，许用压应力 c ＝160 截面尺寸如图 (b)所示(尺寸单位：mm)。
F F F
350
50 150 50 150
[例4] 如图所示小型压力机的铸铁框架如图 (a)所示。已知
MPa。试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力FP。立柱的
25
[例5] 方形截面杆的横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴 向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。
解：
N M m ax A W
a2 a a a2 P P/ P / 8 2 2 4 4 6 a
26
§ 9. 2
扭转与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合变形在机械工程中是常见的。下面以操
MA 0 得
0.8 F 2.5 8 (2.5 1.5) 0 2.62
解得
F 42 kN
9
把F分解为沿AB杆轴线的分量Fx和垂直于AB杆轴线的分量
Fy，可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。且有
2.5 0.8 Fx F 40 kN，Fy F 12.8 kN 2.62 2.62


W
式中的M和MT分别为圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。 下面举例说明怎样利用这些理论对圆截面钢轴进行强度计算 31
[例6] 电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G＝5 kN、 直径D＝1.2 m的胶带轮(图a))，胶带紧边的拉力F1＝6 kN，松边 的拉力F2＝3 kN。若轴的许用应力 ＝50 MPa，试按第三强 度理论求轴的直径d。 解：把作用于轮子上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b) 所示。由受力简图可见，轴受铅垂方向的力为 F＝G+F1+F2＝(5+6+3)kN＝14kN
1、荷载的分解
z
x
F
F
Fx F cos
Fy
Fy F sin
y
2、任意横截面任意点的应力 (1).内力：
k z
FN ( x) Fx F cos
M ( x) Fy x F sin x
y
6
(2).应力：
k
FN
FN ( x) A
b z

Mz k
在 FN 作用下：
4
二、组合变形的研究方法—叠加原理
①.外力分析：外力向形心简化，并沿形心主惯性轴分解 ②.内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。 ③.应力分析：画危险面应力分布图，叠加。 ④.强度计算：建立危险点的强度条件。
5
§ 9. 1
拉伸（或压缩）与弯曲的组合
x
Fx
一、杆件同时受横向力和轴向 力的作用而产生的变形
ez b
15
（b）正应力：
N k
F , A
k
My
M y zk Iy
M , k
Z
M z yk ; Iz
z
ey
zk
z
y
k
yk
正应力的分布——
y ez
在 My 作用下：
z d c a d b a y
在 FN作用下：
FN
在 Mz 作用下：
c b z
d a
c
y
b
y
F (3).叠加： k k N
23
t ,max
Mz0 FN Iy A
3
F
350
425 10 F 0.075 F 5 5.31 10 15 10 3 667 F Pa
M
FN
c,max
Mz1 FN Iy A
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
10
查型钢表C，选取16号工字钢，其W＝141cm3，A＝26.1cm2。
选定工字钢后，同时考虑轴力 Fx 及弯矩 M ，再进行强度校核。
在危险截面C的下边缘各点上发生最大压应力，且为
c,max
Fx M 4010 1210 100.5 MPa 4 6 A W 26.110 14110
P N M
20 20
y
yC
100
z
应力分析如图
max
N M z max A I yc
＋
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
12537.8162 .8MPa
3 100 10 2 孔移至板中间时 A 631 . 9 mm 10(100x) 6 max 162.810
纵手柄为例来说明这类组合变形时应力及其强度的计算方法。 图 a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d 的等直圆杆，A 端的约束可视为固定端，BC段长度为a。现在来讨论在C端铅 垂力FP作用下，AB杆的受力情况。将FP力向AB杆B端的形心
简化，即可将外力分为横向力FP及作用在杆端平面内的力矩
Mx＝FPa，其受力情况如图 b)所示。它们分别使AB杆发生扭 转和弯曲变形。
24
根据强度条件计算许可压力F。
t ,max 667 F t
c,max 934 F c
t 30106 F
667 667
45000 N
c 120106 F 128500 N
934 934
许可压力为F 45000 N 45kN
M ( x) yk Iz
在 M 作用下： z
a
x
d M
c
y
y
(3).叠加：
k k k
FN
M
7
3、强度计算 危险截面——固定端
FN F cos
M max F sin l
危险点——ab 边各点有最大的拉应力， cd 边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。
M max FN t ,max Wz A