吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测(五)数学(文)试题(含答案解析)

吉林省长春市普通高中2022届高三质量监测（五）数学
（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．已知集合{}0,1,2A =，{}32B x x =-<<，则R
A B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}2
C ．{3x x ≤-或}2x ≥
D ．{}02x x ≤≤
2．若1i z =+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）
A ．-2
B ．0
C D ．2
3．已知2x a =，ln b x =，3c x =，若()0,1x ∈，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >>
D ．c a b >>
4．2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（ ）
A ．60度
B ．75度
C ．270度
D ．285度
5．当圆224x y +=截直线():10l x my m m -+-=∈R 所得的弦最长时，则m 的值为（ ） A
．
B ．-1
C ．1
D
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且19a d ==，若322729n n n n S S S S -=-+，则n
的值为（ ） A ．8
B ．9
C ．16
D ．18
7．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲得分的极差是11
B ．甲的单场平均得分比乙低
C ．甲有3场比赛的单场得分超过20
D ．乙得分的中位数是16.5
8．如图，从高为h 的气球(A )上测量待建规划铁桥(BC )的长，如果测得桥头(B )的俯角是α，桥头(C )的俯角是β，则桥BC 的长为
A ．sin()
cos cos h αβαβ-⋅
B ．cos()
sin sin h αβαβ-⋅
C ．
sin()
sin sin h αβαβ
-⋅
D ．
cos()
cos cos h αβαβ
-⋅
9．已知ABC 中，π3
A =，2AC =，5A
B =，点P 为边AB 上的动点，则PB P
C ⋅的最小值为（ ） A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4
10．在正方形ABCD 中，O 为BD 中点，将平面ABD 沿对角线BD 翻折，使得平面
ABD ⊥平面BCD ，则直线AB 与CD 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
11．对任意不相等的两个正实数1x ，2x ，满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
的函数是
（ ） A ．()2f x x = B ．()ln 2f x x =
C ．()sin 2f x x =
D ．()2x
f x =
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2C 的离心率为（ ） A
B ．2
C
D
二、填空题
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为11
12
，则判断框中实数x 的取值范围是______．
14．向平面区域(){}
22
,1x y x y +≤内随机投入一点，则该点落在区域2100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
内的概
率等于______．
15．防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污
染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径
为12cm 的碗（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计）完全罩住，则所选防蝇罩的半径至少为______cm ．（结果取整数）
三、双空题
16．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1231n n a b n ++=+，1231n n a b n ++=+，则
n n a b -=______，n n a b +=______．
四、解答题
17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1,PA AD PC PD ===，求三棱锥P ACE -的体积．
18．某研究部门为了研究气温变化与患新冠肺炎人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查；得到如下列表：（附()()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++）
（1）是否有99%的把握认为患新冠肺炎与温度有关，说明你的理由；
（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为54人，36人，18人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率.
19．如图，在四边形ABCD 中，1
sin ,2,4,24
A C A BC CD ====.
(1)求BD 的长；
(2)若60ABD ∠=︒，求ABD △的面积. 20．已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．
(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程； (2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．
21．如图，曲线1C 是以原点O 为中心、1F ，2F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以
O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，
若172
AF =
，252AF =.
（1）求曲线1C 和2C 的方程；
（2）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线1C ，2C 依次交于B ，C ，D ，G
四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22
||||⋅⋅BE GF CD HF 是否为定值？若是，求出定值；
若不是，说明理由.
22．已知曲线()2
2
1:1049x y
C x +=>经过变换1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
得到曲线2C ，曲线3C 的参数方程
为()101x t t
t y t t ⎧
=+⎪⎪>⎨
⎪=-
⎪⎩
． (1)写出曲线2C 的极坐标方程，曲线3C 的普通方程； (2)
已知直线y =
分别与曲线2C 、3C 交于A 、B
两点，直线y x =分别与曲线2C 、3C 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积．
23．已知函数()123f x x x =++-，M 为不等式()4f x ≤的解集． (1)求M ；
(2)若a ，b ∈R ，且22a b M +∈，证明：2203a ab b ≤-+≤．
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
求出{R 3B x x =≤-或}2x ≥，从而求出交集. 【详解】
{R
3B x x =≤-或}2x ≥，则R
A
B ={}2
故选：B 2．D 【解析】 【分析】
根据共轭复数的定义与复数的乘法计算求解即可 【详解】
由题，()()2
1i 1i 1i 2z z ⋅=+⋅-=-=
故选：D 3．B 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的单调性可知,,a b c 的范围，即可求解. 【详解】
由()0,1x ∈，所以(1,2)2x a ∈=，ln ln10b x =<=，3(0,1)c x =∈， 所以a c b >>， 故选：B 4．B 【解析】 【分析】
根据“节气”的知识求得正确答案. 【详解】
春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，
所以芒种为黄经15575⨯=度. 故选：B 5．C 【解析】 【分析】
由题意只需直线过圆心，所截得的弦为直径最长，将圆心坐标代入方程求参数即可. 【详解】
要使直线与圆所得弦最长，则直线必过圆心(0,0)， 所以10m -=，可得1m =. 故选：C 6．B 【解析】 【分析】
结合等差数列前n 项和的知识化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且19a d ==， 若322729n n n n S S S S -=-+， 21223122729n n n n n n a a a a a a ++++++
+=++
++，
()21223122729n n n n n n a a a a a a ++++++
+-+++=，
29729,9nd n n n ⨯=⨯==.
故选：B 7．D 【解析】 【分析】
根据茎叶图，折线图整合数据，判断选项即可. 【详解】
对于A ，甲得分的极差为28919-=，A 错误； 对于B ，根据茎叶图和折线图可知，
甲的单场平均得分大于912132026281015
16.6258
+++++++=，
乙的单场平均得分为
914151819171620
168
+++++++=，B 错误；
对于C ，根据茎叶图知，有2场比赛的单场得分超过20，C 错误； 对于D ，乙的中位数为1617
16.52
+=，D 正确. 故选：D. 8．A 【解析】 【分析】
分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出CD 与BD ，由CD BD -求出BC 的长即可. 【详解】
由题意得：,,ACD ABD AD h βα∠=∠==， 在Rt ACD ∆中，tan AD ACD CD
∠=，即tan h
CD β=，
整理得：tan h
CD β
=
； 在Rt ABD ∆中，tan AD ABD BD ∠=，即tan h
BD
α=， 整理得：tan h
BD α
=
， 则cos cos tan tan h h
BC CD BD h sin sin βαβαβα⎛⎫=-=
-=- ⎪⎝⎭
()cos cos sin sin sin h h sin sin sin sin αβαβαβαβαβ
--=
=，故选A.
【点睛】
此题属于解三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及性质是解本题的关键. 9．A 【解析】
【分析】
结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案. 【详解】
设()01PB AB λλ=≤≤,
()()
PB PC PB PB AB A BC AC AB B λλ⋅=⋅+=⋅+- ()()2
11251522
AB AB AC λλλλλλ=-+⋅=-+⋅⋅⋅ 22520λλ=-,
所以当2022255λ-=-=⨯时，PB PC ⋅取得最小值为2
22
2520455⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭
. 故选：A 10．C 【解析】 【分析】
过B 、D 作//BE CD 、//DE CB ，且,BE DE 交于E ，连接AE 、OE ，即知直线AB 与CD 所成角即为ABE ∠或其补角，根据已知求,,AB BE AE ，即可确定其大小. 【详解】
过B 、D 作//BE CD 、//DE CB ，且,BE DE 交于E ，连接AE 、OE ， 所以直线AB 与CD 所成角即为ABE ∠或其补角，
若正方形ABCD 边长为2，则2BE AB AD ===，
而AO BD ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AO ⊂面ABD ，面ABD ⋂面BCD BD =，
所以AO ⊥面BCD ，而OE ⊂面BCD ，即AO OE ⊥，且AO OE == 故2AE =，则℃ABE 为等边三角形，故60ABE ∠=︒. 故选：C
11．B 【解析】 【分析】
将题目要求依次代入四个选项计算即可得到结果 【详解】 对于选项A ，121212(
)222
x x x x
f x x ++==+， 12121212()()22()222f x f x x x x x x x f +++==+=，所以A 错误；
对于选项B ，121212(
)ln 2ln()22
x x x x
f x x ++==+，
121212
()()ln 2ln 2ln 4ln 222
f x f x x x x x ++===
因为()ln f x x =为增函数且12x x ≠所以12x x +>12ln()ln x x +>所以1212()()
(
)22
x x f x f x f ++>，符合题意，B 正确； 对于选项C ，121212(
)sin 2sin()22
x x x x
f x x ++==+ 12121122
()()sin 2sin 22sin cos 2sin cos 222f x f x x x x x x x +++==
12
112212sin cos sin cos sin()(
)2
x x x x x x x x f +=+=+=，所以C 错误； 对于选项D ，12
12
2()22
x x x x f ++=，因为12x x ≠，
所以
12
1212122()()222()222
x x x x f x f x x x f ++++=>=所以D 错误； 故选：B 12．C 【解析】 【分析】
设双曲线的实半轴长为a ，由题意可得椭圆的长半轴为3a ，设曲线在第一象限的交点P ，焦半径为x , y ，由椭圆及双曲线的定义可得x , y 的值，再由勾股定理可得a , c 的关系，进而求出双曲线的离心率． 【详解】
设双曲线2C 的实半轴长为a ，由双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a ，半焦距为c ，设P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设1||PF x =，
2||PF y =，则62x y a
x y a +=⎧⎨
-=⎩
，可得4,2x a y a ==，
由题意P 在以12F F 为直径的圆上，所以2224x y c +=，
所以可得22204a c =，即离心率c
e a
==， 故选：C 13．[)6,8 【解析】 【分析】
运行程序，根据输出的S 的值求得正确答案. 【详解】
运行程序，0,2S n ==， 判断是，1
,42
S n ==，
判断是，113
244
S =+=，6n =， 判断是，3111
4612
S =
+=，8n =， 判断否，输出1112
S =， 所以68x ≤<.
故答案为：[)6,8 14．
14π
【解析】 【分析】
画出平面区域及线性区域，应用几何概型的面积比求概率即可. 【详解】
由题设，线性区域为如下图，
由21x y +=知：直线与坐标轴交点为(0,1)、1
(,0)2
，
所以线性区域面积为111
1224⨯⨯=，而圆的面积为π，
故点落在线性区域的概率为14π
. 故答案为：14π
15．15 【解析】 【分析】
结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】
依题意可知，防蝇罩的半径至少为6615=+cm.
故答案为：15
16． 2n 2n 【解析】 【分析】
由题设有112()n n n n a b a b ++-=-，根据等比数列的定义判断{}n n a b -为等比数列，进而写出通
项公式，令n n n c a b =+则12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，结合已知{2}n c n -是常数列，即可得
{}n n a b +的通项公式. 【详解】
由题设，11(2)(2)0n n n n a b a b +++-+=，则112()n n n n a b a b ++-=-，而112a b -=，
所以{}n n a b -是首项、公比均为2的等比数列，故2n
n n a b -=，
11(2)(2)62n n n n a b a b n +++++=+，则112()()62n n n n a b a b n +++++=+，
令n n n c a b =+，则1262n n c c n ++=+，
故12(2)2(1)n n c n c n +--=-+，而111220c a b -=+-=， 所以{2}n c n -是常数列，且20n c n -=，则2n n n c a b n =+=. 故答案为：2n ，2n .
17．（1）证明见解析；（2. 【解析】
（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则//OE PB ，故而//PB 平面AEC ； （2）计算AC ，OD ，由E 为PD 的中点得出1
2
P ACE P ACD V V --=．
【详解】
解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ． O ，E 分别是BD ，PD 的中点，
//OE PB ∴，
又OE ⊂平面AEC ，PB ⊂/平面AEC ，
//PB ∴平面AEC ．
（2）PC PD =，
AC AD ∴=
3
2
OD ∴，
1113
13322P ACD ACD V S PA -∆∴==⨯⨯
E 是PD 的中点，
12P ACE P ACD V V --∴=．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
18．（1）有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关，理由见解析；（2）4
5
.
【解析】 【分析】
（1）根据题意，计算2k ，结合参考数据表，即可容易判断；
（2）求得分层抽样在各年龄段抽取的人数，列举所有从6人中随机抽取2人的可能，再找出满足题意的可能，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果. 【详解】
（1）()2
25020155108.333 6.63525252030
k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为患新冠肺炎与气温有关， （2）从108人中按照分层抽样的方法随机抽取6人， 老年、中年、青年分别抽取的人数为3人，2人，1人，
记3个老年人为123,,A A A ，2个中年人为12,B B ，1个青年人为1C ，
抽取的全部结果为（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，A 3）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（31,A B ），（32,A B ），（31,A C ），（B 1，B 2）， （B 1，C 1），（B 2，C 1）共15种.
至少1人是老年人的有（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1）， （A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（31,A B ）， （32,A B ），（3A ，1C ），共12种.
所以至少1人是老年人的概率为124155
p ==. 【点睛】
本题考查独立性检验，以及古典概型的概率求解，涉及分层抽样，属综合基础题. 19．
【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式求解C 的余弦值，利用余弦定理即可求解BD 的长；
（2）利用正弦定理求得AD 的长，利用三角形内角和为180︒求解ADB ∠的正弦值，最后利用三角形面积公式即可求解. (1)
解：因为1
sin ,2,4,24A C A BC CD ====，
所以2
2
17
cos cos(2)12sin 1248
C A A ⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭
由余弦定理得：22222
7
2cos 4224268
BD B CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯
=，
所以BD (2)
由正弦定理得
sin sin AD BD
ABD A
=∠，
所以sin sin 6021sin sin 4
ABD AD BD A A
∠︒
=⋅===
故AD BD >，60ABD A ︒=∠>∠， 则A ∠
为锐角，cos A ∠==
， 所以()sin sin 180sin()ADB A ABD A ABD ∠=︒-∠-∠=∠+∠
111sin cos cos sin 428A ABD A ABD =∠∠+∠∠=⨯+= 所以ABD △
的面积为11sin 22ABD
S AD BD ADB =
⋅⋅∠=⨯=
. 20．(1)1y x =+
(2)()0,π 【解析】 【分析】
（1）设切点，再根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数为0时的情况，设极值点为0x 得到0cos a x =-，代入极值再构造函数
()cos sin g x x x x =-+，求导分析单调性与取值范围即可
(1)
由题，当1a =时，()sin f x x x =+，()1cos f x x '=+，设切点为()000,sin x x x +，则
()001cos f x x '=+，故切线方程为()()0000sin 1cos y x x x x x --=+-，又切线过()0,1
故()00001sin 1cos x x x x --=-+，即000sin cos 10x x x --=，设()sin cos 1g x x x x =--，
()0,πx ∈，则()sin 0g x x x '=>，故()g x 为增函数.又sin cos 102222g ππππ⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
，故
000sin cos 10x x x --=有唯一解02=x π，故切点为,122ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，斜率为1，故切线方程为
122y x ππ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭
，即1y x =+
(2)
因为()cos f x a x '=+，()0,πx ∈为减函数，故若函数()f x 存在极值，则()0f x '=在区间
()0,πx ∈上有唯一零点设为0x .则0cos 0a x +=，即0cos a x =-.故极值
()000000sin cos sin f x ax x x x x =+=-+.设()cos sin h x x x x =-+，()0,πx ∈，则
()sin 0h x x x '=>，故()h x 为增函数，故()()()0h h x h π<<，故()0h x π<<，即
()()00,f x π∈，故极值的取值范围()0,π
【点睛】
本题主要考查了过点时的切线问题，同时也考查了利用导数研究函数的极值问题，需要根据题意设极值点，得到极值点满足的关系，再代入极值构造函数分析，属于难题 21．（1）椭圆方程为2231982x y x ⎛
⎫+
=≤ ⎪⎝
⎭，抛物线方程为2342y x x ⎛⎫
=≤ ⎪⎝⎭；（2）22
||||⋅⋅BE GF CD HF 是定值，为3，理由见解析. 【解析】
（1）因为在椭圆中2a ＝|AF 1|+|AF 2|75
22
=
+=6，所以可求曲线C 1方程．因为曲线C 2是以O 为顶点、F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点．|AF 1|72=，|AF 2|52
=，所以利用抛物线定义，可求曲线C 2方程；
（2）先设出B 、C 、D 、E 四点坐标，过F 2作的与x 轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求22
BE GF CD HF ⋅⋅的值，看结果是否为定值．
【详解】
（1）设椭圆方程为22
221x y a b
+=，则12752622a AF AF =+=+=，得3a =
设(),A x y ，()1,0F c -，()2,0F c 则()2
2
2
72x c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，()2
2252x c y ⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
，
两式相减得32xc =，由抛物线定义可知25
2
AF x c =+=， 则1c =，32x =
或1x =，3
2
c =（舍去） 所以椭圆方程为2231982x y x ⎛
⎫+
=≤ ⎪⎝⎭，抛物线方程为2
342y x x ⎛⎫
=≤ ⎪⎝⎭
． （2）设()11,B x y ，()22,E x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，
直线()()10y k x k =-≠，代入
2
219
8
x y 得，2
2819720y y k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
，即()2
2
28916640k y
ky k ++-=，
则1221689k y y k +=-+，2
12
26489k y y k =-
+ 同理，将()1y k x =-代入24y x =得：2440ky y k --=， 则344
y y k
+=
，344y y =-，
所以
34
22
121212y y BE GF CD HF y y +⋅==⋅+
3
=
为定值.
【点睛】
本题考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查了设而不求的思想方法，考查学生的计算能力，属于难题.
22．(1)曲线
2
C的极坐标方程为
ππ
1,(,)
22
ρθ
=∈-；曲线
3
C的普通方程为224(2)
x y x
-=≥
【解析】
【分析】
（1）先求得曲线
2
C的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；先去曲线
3
C参数方程中的参数，由此求得曲线
3
C的普通方程.
（2）求得直线,
y y
==的极坐标方程，代入曲线3C的极坐标方程，结合对称性求得四边形ABCD的面积.
(1)
1
2
2
13
3
x x
x x
y y
y y
⎧
=
⎪=
⎧
⎪
⇒
⎨⎨
=
⎩
⎪=
⎪⎩
'
'
'
'
，代入()
22
1
:10
49
x y
C x
+=>得：
()()()
2210
x y x
+=
''>
'，
所以曲线2C的极坐标方程为
ππ
1,(,)
22
ρθ
=∈-.
对于曲线
3
C：
11
0,2,,1
t t t t
t t
>+≥===时等号成立.
由
1
(0)
1
x t
t t
y t
t
⎧
=+
⎪⎪
>
⎨
⎪=-
⎪⎩
，两式平方并相减得224(2)
x y x
-=≥.
(2)
直线y =
的极坐标方程为π6θ=
；直线y x =的极坐标方程为π6θ=- 对于曲线22
3:4(2)C x y x -=≥，22222cos sin cos 24ρθρθρθ-==，
将π
6
θ=±代入2cos 24ρθ=，得8B D ρρ⋅=，
所以四边形ABCD
的面积1π1πsin 11sin 2323B D S ρρ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=
23．(1)[]0,2； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】
(1)分类讨论去绝对值符号求解不等式即可；
(2)由22a b M +∈得2202a b ≤+≤，则(a ，b )
故可设(a ，b )为(cos r α，sin r α)
，0r ≤≤[]0,2πα∈，代入22a ab b -+即可求出其范围. (1)
由已知得()3213412332.2x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
--≤⎨⎪
⎪
-⎪⎩＋，，＝＋，
＜，，＞ 当1x ≤-时，由324x -+≤得2
3
x ≥-(舍去)；
当312x -<≤时，由44x -+≤得0x ≥，℃302
x ≤≤； 当32x >
时，由324x -≤得2x ≤，℃3
22
x <≤． 综上可得()4f x ≤的解集[]0,2M =． (2)
由22a b M +∈，即2202a b ≤+≤，
令cos a r α=，sin b r α=
，0r ≤≤[]0,2πα∈， ℃222221sin cos 1sin 22a ab b r r r ααα⎛
⎫-+=-=- ⎪⎝⎭
，
答案第15页，共15页 由[]0,2πa ∈，℃1131sin 2222α≤-≤，℃2221131sin 2222
r r r α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭．
由0r ≤≤℃2102r ≥，2332
r ≤，℃2203a ab b ≤-+≤．。