清华微积分课件第一讲实数与函数

（二） 函数的代数属性
1. 奇函数与偶函数
xD, f(x)f(x),称为奇函
xD, f(x)f(x),称为偶函数
2. 单调函数
x1, x2D, x1 x2 f(x1) f(x2)
( f(x1) f(x2)),称f 为单调增函数
(单调非减函 ) 数
x1, x2D, x1 x2 f(x1) f(x2)
则cb. 0 , x S ,使 x b ,
xc,与c是上界矛. 盾b SupS
必要性: bSu p（ S 1）(2)、 成立
b 是 S 的, 上 x S 界 ,有 x b ,又因为
b是最小上 界 ， 0, b不 是 S的 上
x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) 但 ,x 1 是 x 2,不 一 f(x 1)定 f(x 2 有 )
如 x 1 x 果 2 f( x 1 ) f( x 2 )
则在定义 D与 域值域 f(D)之间就有如下 y f(D ) ! ,x D ,使 y 得 f(x )
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inf1[,2)1 min 1,[2) 21
3. 实数的连续性刻画——确界公理
（1）如果非空实数集合有上界, 则 必有上确界.
（2）如果非空实数集合有下界, 则
必有下确界. [定理]
bsu S p (1 ) x S ,有 xb
(2 ) 0 , x * S ,使x * 得 b
4
1 O 2
x
5
在做加法和乘法运算时,保持下列关系:
a b ,c d a c b d
0 a ,b c a b a c
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（二）有理数的稠密性
有理数集是实数集的一个子集
有理数在实数集中是稠密的
即在任意两个不同的实数之间,都有无穷 多个有理数
下 界 .
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例如：
（1）自然数集合 N{1,2,3, ,n , }
1是 N 的一个下界.
任意a一分数集 0是一个下 , 1界 是一个上 . 界
任 意a 一 0,都 个 下 是 ,界
任意b 一 1,都 个 上 是 .界
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例f(： x)2x21
对 应 规f则表 示 f()221 f(1)2121 f (1)2(1)21
xx f(2t1 )2 (2t1 )21
例: yx与y x2 x
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定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函27 数
xR
数轴上的点P
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01
O
x
x
P
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(四)实数集的界与确界
1. 有界集 对任意一个
存在
定义： 设S是 一 个.数 如集 果 bR,
使 得 xS, 有xb, 则 称 集S 合
有 上.并 界且b称 是S的 一 个.上 界
如 果 aR,使 得 xS, 有xa,
则 称 集 S有合下.并 界且a是 称S的 一
对任 x M 意 0,取 的 x*1,则有
1
2M
2MM
x xx*
对任 意 0,在 ( 的 , ] [, )上
有界 . 1 的 1
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x
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（三） 复合函数与反函数
1. 复合函数
定义： 假定给了两个y函f(数 u)和
ug(x),并且g的值域 R(g)与f 的 定义域 D( f )的交集非 ,这空时在集
注重持续性学习：
有计划地安排学习
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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连续模型 建立在实数基础之上
因此了解掌握实数的基本性质对于学习 微积分是必要的基础.
（一）实数集的有序性
（二）有理数的稠密性
（三）实数集的连续性
（四）实数集的界与确界
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予备知识
1.实数集
人类对数的认识由数自、然整数、
有理数到实数
实 数 集 ： 有 理 数 、 无 理数 的 全 体
当x为 有 理 数 当x为 无 理 数
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4. 有界函数
定义： (1)如果存在一个M实,使数得对 每x 一 D ,成 个f立 (x ) M , 则称函数 f 在D上是有上界 . 的
(2)如果存在一个N实,使数得对
每x 一 D ,成 个 f( 立 x ) N
则称函数 f 在D上是有下界 . 的
欢迎你！
清华园的
新主人
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1
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2
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail:
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参考书目：
1. 《高等数学教程》 施学瑜
清华大学出版社
2. 《高等数学》同济大学数学教研室主编（第四版）
高教出版社
或任意非空(开 a,b)区 含间 有无穷多 有理点
这一点具有非常重要的意义
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问：有理数域布满数轴了吗？
设 r1,r2 Q ,r1r2 有空档！
取
2 r r1 10n
这是一个无理数
当 n足够 , 有 大 r1 时 rr2
（三）实数域的连续性
——实数域 R 布满数轴
一一对应
ain S f(1 ) x S ,有 xa
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(2 ) 0 , x * S ,使x * 得 a 22
[证]充分性: (1)、 (2)bSupS
反证法：假b设 不是最小上界，则有
c b,且x c. b c 0 ,取 0 b c ,
3. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
4. 《微积分和数学分析引论》
第一卷第一、二分册 柯朗 科学出版社
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4
作业
P11习题1.2 2. 4.
P24习题1.3 1. 3. 4. 8. 10.
复习：P1—37 预习：P38—46
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交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
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(3)既 有 上 界 又 有 下数 界,称 的为 函 有 界 函 数.
即存在一个 M正 0,使 数得对
每一 x D ,成 个立 f(x)M .
[例4] y e x和 y e x x (, )
因 x ( 为 , )有 ,e x 0 和 e x 0
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2. 集合的确界 定义： 数集S的最小上界称为上确界.
记为 supS
数集S 的最大下界称为下确界.
记为 inf S
注意确界和最大值的区别 例如： (1)su1p ,2,{ 3}3ma1,x 2,3 {}
inf1,{2,3}1mi1n ,2,{3} (2)su1,p2)[2 没有最大值！
S 1 在实数范围中的上确界 supS1 2
但是, 在有理数范围中S 2 没有上确界
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(2) 想象一个点在实数轴上作连续 运动 在每一个时刻这个点所处的位置 都是一个实数, 但不一定是有理数
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O
x
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二、函数
(一) 函数概念
存在 唯一
定义： 设DR为非空数. 集
这是 个 一 由 f(D)到 D新的对,应 称关 为系 函
yf(x)的反.函数
记x 作 f 1 (y ) y f(D )
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由定义可以知道：
反函数 f 1 的定义域是函数 f 的值域 f ( D )；
f 1 的值域是
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f 的定义域 D .
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[例2] 设yf(x)six n
如果 xD,按确定的f,规 !实 则数
y与之对 ,记应作 yf(x)则 . 称 f为定义
在D上的一个 . 函数
或记 f: D R
x— 自 变 , y— 因 量变 ,D — 量 定 义 . 域
{yy R ,yf(x )x , D }— 值f 域 ( D)
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或R( f ) 26
所,y以 ex和 yex在 (, )上 ,
有下 ,无界 上 . 界
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[问题] 如何定义无界函数？
如 果 对任M 意 0的 ,总正 存x*数 在 D,
使 得 f(x*)M,则 称 函 f在D 数 上 无 . 界
[例] y1 在 ( ,0)(0,)上是无. 界
数{集 x0xx0}N(x0,)称 为
点 x的 2019/90 /23 空 邻 心域 (x0,x0){1x 5 0}
(一) 实数集的有序性 即 对 a ,b 任 R , a b 意 ,a b ,b a
有且仅有一个式子成立.
从数轴上看,实数是从小到大依序自左至右 排列的
则有 f(g(x))esinx x( ,)
(2 )y f(u )u , u g (x ) x 2 ,
则有 f(g(x)) x2 x x( ,)
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(3 ) f(u ) aru ,cg s (x )i e n x 1 . 因为 D(f)[1,1], R(g)(1,),
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（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
极限及其理论
• 一元函数微分学：导数与微分及其理论
微分学应用
不定积分
• 一元函数积分学：定积分概念及其理论
• 数项级数 2019/9/23
积分学应用
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第一讲 实数与函数
一、实数的重要性质
二、函数
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一、实数的重要性质
D {xx D (g )且 , g (x ) D (f)上 } ,
可 以 确 定 一 个 y函 f(g(数 x)),则 称
这 个 函 数f为 与g由 构 成 的 复 合 . 函
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记作f g
即fg (x ): f(g (x ))
例 (1 ) y f(u ) e u , u g (x ) sx i,n
D (f)R (g) .
所以, 不能构成复合函数 f (g(x)).
( 4 )y f( u ) lu n ,u g ( x ) x 2 1 , 则有 f(g(x))lnx2(1), x (, 1 ) (1 , ).
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2. 反函数
在函数定义中，要求函数是单值的，即
星期五 课后
理科楼 数学系 1111
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一元函数 微积分
无穷级数
多元函数 微积分
常微分方程
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引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法： 提出问题、研究问题、解决问题
则f:[,][1,1]严格单调
22 有反函数
( f(x1) f(x2)),称f 为单调减函数
(单 2019/9/23 调 非增 函 ) 数
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3. 周期函数
T0, xDf(xT)f(x) 称 f为周期函数 若 f有最小 T,则 周 T 称 是 期 f的周
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
(x)
1, 0,
界 x ， S ,使 x b .
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有理数集与实数集性质的区别
实数集是连续的,有理数集不是连续的 （1）如果实数集的子集有上（下）界,
则必有上（下）确界.
但是,有理数集的子集有界,则未必
有确界.
[例如] S 1 {x|x R ,x 22 } S 2 {x|x Q ,x 22 }
常用集合符号：
自然数集N 有理数集Q
整 数 集Z 实数集R
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2. 邻域 设 x0R, 0 数{集 xxx0}称为 x0的 点 邻域
记U 作 (x0,).
x x 0 x 0 x x 0


x0 O
x0
x0
x
U ( x 0 ,) { x x x 0 } ( x 0 ,x 0 )