最新圆锥曲线重心相关问题(教师版)

最新圆锥曲线重心相关问题
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1．（2020·吉林高三月考（理））抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，点 P 、Q 、R 在 C 上，
且 PQR 的重心为 F ，则 PF QF 的取值范围为（ ）
A．
3,
9 2
9 2
, 5
B．
4,
9 2
9 2
,
设 BC 的方程为 y-0=k（x-10），即 kx-y-10k=0．则有
，解得 k=0 或 k=-
．
当 k=0 时，有
，当
时，有
，
解得
，或
.再有三角形的重心公式可得
，由此可
得
或
故点 A 的坐标为（0，15）或（-8，-1）， 故答案为（0，15）或（-8，-1）． 考点：直线与圆的位置关系． 点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式、斜率公式、三 角形的重心公式，属于中档题．
【详解】
由题意知，抛物线 C 的焦点为 F 1, 0 ，设点 P xP , yP 、 Q xQ , yQ 、 R xR , yR ，
xP
由重心的坐标公式得
yP
xQ 3
yQ 3
xR yR
1 ， xR
0
3
xP xQ
， yR
yP yQ
，
设直线
PQ
的方程为
x
ky
m
，由
x ky
y
2
4x
m
，消去
x
得
y2
4ky
4m
0
，
16k2 16m 16 k2 m 0 ，
由韦达定理得 yP yQ 4k ， yP yQ 4m ，
所以， xP xQ kyP m kyQ m k yP yQ 2m 4k 2 2m ， 故 xR 3 xP xQ 3 4k 2 2m ， yR yP yQ 4k ， 将点 R 的坐标代入抛物线 C 的方程得16k2 4 3 4k2 2m ，得 2m 3 8k2 ， 则 8 2k2 2m 8 3 6k2 0 ，得 0 k 2 1 ，
5
C． 3, 4
4,
9 2
D． 3, 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据重心坐标公式求出 R 的横坐标为 xR 3 xP xQ ，纵坐标为 yR yP yQ ，
设直线 PQ 的方程为 x ky m ，与抛物线方程联立，用 m 、 k 求出表示出 R 的坐标，
结合抛物线的方程，求出 k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．
相切，切点为线段 BC 的中点．若△ ABC 的重心恰好为圆 Γ 的圆心，则点 A 的坐标
为
．
【答案】(0，15) 或 (－8，－1)
【解析】
试题分析：设 BC 的中点为 D，设点 A（x1，y1）、C（x2，y2），则由题意可得 ΓD⊥BC，
且 D（
）．故有圆心 Γ（0，5）到直线 AB 的距离 ΓD=r=5．
x1 x2 y1 y2
4 6 6 ， 5 4 5
故直线的方程为 y 2 6 (x 3) ，即 6x 5y 28 0 ．
5
故答案为： 6x 5y 28 0 ．
【点睛】 弦中点问题的解决方法： （1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
①设点 设出弦的两端点坐标；
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属于中档题．
5．（2019·黑龙江双鸭山一中高三月考（理））已知实轴长为 2 2 的双曲线 C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1（﹣2，0），F2（2，0），点
B 为双曲线
C 虚轴上的一个端点，则△ BF1F2 的重心到双曲线 C 的渐近线的距离为（ ）
又 e2
c2 a2
a2 b2 a2
1
16 a2
1 ，解得 a2 5
20 ．
椭圆的方程为 x2 y2 1． 20 16
椭圆左焦点 F 的坐标为 (2, 0) ，
设线段 MN 的中点为 Q(x0 ， y0 ) ， 由三角形重心的性质知 BF 2FQ ，从而 (2 ， 4) 2(x0 2 ， y0 ) ， 解得 x0 3， y0 2 ， 所以点 Q 的坐标为 (3, 2) ．
不妨设点 P x0, 2a 在第一象限内，
∵ G 是 PF1F2 的重心， O 为 F1F2 的中点， ∴| OG | 1 | OF | ，
3 ∴ G 点坐标为 ( x0 , 2a ) ．
33 由双曲线的定义可得| PF1 | | PF2 | 2a | F1Q | | F2N || F1M | | F2M | ， 又| F1M | | F2M | 2c ， ∴| F1M | c a,| F2M | c a ， ∴ M 为双曲线的右顶点． 又 I 是 PF1F2 的内心， ∴ IM F1F2 ． 设点 I 的坐标为 (xI , yI ) ，则 xI a ． 由题意得 GI x 轴，
，则 G( x0 , 3
2a) 3
．设 I (xI,
yI)
，根据双曲线的定义
和圆的切线的性质可得 xI
a ，于是
x0 3
a ， x0
3a ，所以 P 3a, 2a ．然后由点 P
在双曲线上可得 b2 a2
1 2
，于是可得离心率．
【详解】
画出图形如图所示，
设 PF1F2 的重心和内心分别为 G, I ，且圆 I 与 PF1F2 的三边 F1F2, PF1, PF2 分别切于 点 M ,Q, N ，由切线的性质可得| PN || PQ |,| F1Q || F1M |,| F2N || F2M |．
设 M (x1 ，y1) ，N (x2 ，y2 ) ，则
x1
x2
6 ，y1
y2
4 ，且
x12 20
y12 16
,1x22 y22 20 16
1
，
以上两式相减得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
20
16
kMN
y1 y2 x1 x2
4 5
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∴
x0 3
a ，故 x0
3a ，
∴点 P 坐标为 3a, 2a ．
∵点
P
在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
上，
∴ 9a2 a2
4a2 b2
9
4a2 b2
1，整理得
b2 a2
1 2
，
∴ e c 1 b2 1 1 6 ．
a
a2
22
故选 A．
【点睛】
本题综合考查双曲线的性质和平面几何图形的性质，解题的关键是根据重心、内心的特
重心坐标公式，求出 A 点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论；
对于②当直线 BC 过点 N 1, 0 ，可证 OB OC ，即可得出结论为正确；
对于③判断以焦点为圆心的圆与抛物线是否有三个交点；
2．（2020·四川高二期末（文））已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0) ， F1, F2
为其左、
右焦点，P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，F1PF2 的重心为 G ，内心为 I ，且
有 IG F1F 2 （其中 为 实数），则椭圆 C 的离心率 e
A． 1 3
B． 1 2
8．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末（理））已知 ABC 的三个顶点 A、B、C 均在抛
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物线 y2 x 上，给出下列命题：
①若直线
BC
过点
M
3 8
,
0
，则存在
ABC
使抛物线
y2
x
的焦点恰为
ABC
的重心；
②若直线 BC 过点 N 1, 0 ，则存在点 A 使 ABC 为直角三角形；
②代入 代入圆锥曲线方程； ③作差 两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理 转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系
时，要注意使用条件 ；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
7．（2020·浙江高二期末）在△ ABC 中，B(10，0)，直线 BC 与圆 Γ：x2＋(y－5)2＝25
征及几何图形的性质得到点 P 的坐标，考查转化和计算能力，难度较大．
4．（2020·安徽高三（理））数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂
心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后
人称之为三角形的欧拉线．己知 ABC 的顶点 A4, 0 ， B 0, 2 ，且 AC BC ，则
③存在 ABC ，使抛物线 y2 x 的焦点恰为 ABC 的外心；
④若边 AC 的中线 BM / / x 轴， BM 2 ，则 ABC 的面积为 2 3 .
其中正确的序号为______________． 【答案】①②. 【解析】 【分析】
对于①设出直线 BC 方程，与抛物线联立，利用韦达定理，求出 B,C 坐标和，再利用
ABC 的欧拉线方程为（ ）
A． x 2y 3 0 B． 2x y 3 0 C． x 2y 3 0 D． 2x y 3 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由于 AC BC ，可得： ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上，
求出线段 AB 的垂直平分线，即可得出 ABC 的欧拉线的方程．
F，则直线 l 方程为___________ 【答案】 6x 5y 28 0
【解析】 【分析】
利用椭圆的离心率以及经过的点，求出 a ，b 得到椭圆方程，设出 Q ，利用重心坐标结
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合平方差法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程． 【详解】
解：由题意得 b 4 ，
A． 1 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 2 3
【答案】A 【解析】
【分析】 求出 a，b，c 得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的 距离求解即可．
【详解】
实轴长为 2
2
的双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1（﹣2，0），
F2（2，0），可得 a＝ 2 ，c＝2，则 b＝ 2 ，不妨 B（0， 2 ），则△ BF1F2 的重心
G 0,
2 3
，双曲线的渐近线方程为：y＝x
的距离为：d＝
2 3 2
1． 3
故选 A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
6．（2020·广西高三（文））已知椭圆 C：x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的一个顶点为 B 0, 4 ，
离心率 e 5 ，直线 l 交椭圆于 M，N 两点，如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的左焦点 5
F1 ，
F2
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点，点
P x0, 2a 为双曲线上一点，若 PF1F2 的重心和内心的连线与 x 轴垂直，则双曲线的
离心率为( )
A． 6 2
【答案】A
B． 5 2
C． 6
D． 5
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【解析】
【分析】
设 PF1F2 的重心和内心分别为 G, I
PF2
2c)
y0 3
，则
a 2c ， e 1 .选 B. 2
【点睛】这种求离心率问题椭圆和双曲线都有，都涉及到焦点三角形的重心和内切圆的
圆心，都需要用到内切圆的半径的使用，使用方法就是借助焦点三角形面积相等解题，
通过面积相等得出关于 a,b, c 的等式，求出离心率.
3．（2020·湖北高二期末）设
2
则 PF QF xP xQ 2 4k2 2m 2 5 4k2 3,5 .
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F 1, 0 不在直线 PQ 上，则 m 1，此时， k 2
1 ，则
PF
QF
9
.
8
2
因此，
PF
QF
的取值范围是
3,
9 2
9 2
,
5
.
故选：A.
【点睛】
考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．
【详解】
因为 AC BC ，可得： ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上
A4, 0 ， B 0, 2 ，则 A, B 的中点为 (2,1)
k AB
20 04
1 2
,
所以 AB 的垂直平分线的方程为： y 1 2(x 2) ，即 y 2x 3 .
故选：D 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，
C． 2 3
D． 3 2
【答案】B
【解析】
在
PF1F2
中，设
P( x0 ,
y0 )
，由三角形重心坐标公式可得重心
G(
x0 3
,
y0 3
)
，由
GI
F1F2 ，
故内心 I
的纵坐标为
y0 3
，在焦点 PF1F2 中，
PF1
PF2
2a, F1F2
2c, SPF1F2
1 2c 2
y0
1 2 ( PF1