2019北师大版高中数学选修1-1：第二章 圆锥曲线与方程 同步测试

第二章圆锥曲线与方程
§1椭圆
1.1椭圆及其标准方程
1.C[解析]当焦点在x轴上时,有10-m-(m-2)=4,解得m=4;
当焦点在y轴上时,有m-2-(10-m)=4,解得m=8.故选C.
2.B[解析]由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,∴△ABF2的周长为
|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8=4a,解得a=2.
3.A[解析]由椭圆的定义得2a=-+--=2,∴a=,又∵c=2,∴b2=10-4=6.
又∵椭圆的焦点在x轴上,∴所求椭圆的方程为+=1.
4.A[解析]若方程
-+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m2-1>3,所以m2>4,所以“m2>5”是“方程
-
+=1
表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件,故选A.
5.A[解析]由椭圆方程得
a=4,∴|AF1|+|AF2|=8,∴|AF1|=8-|AF2|,∴|AF1|-|BF2|=8-|AF2|-|BF2|=8-|AB|=8-5=3.
6.A[解析]∵△ABC的周长为8,B(-1,0),C(1,0),∴|BC|=2,|AB|+|AC|=6,∵6>2,点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(除去长轴的两个端点),且2a=6,c=1,∴b=2,∴点A的轨迹方程是+=1(x≠±3),故选A.
7.D[解析]由题意知|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=2×5-6=4.
8.+=1[解析]由题意可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则
-
∴故b2=a2-c2=3,∴所求椭圆的标准方程为+=1.
9.4[解析]设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,∴|ME|=10-|MF|=8,又ON为△MEF的中位线,∴|ON|=|ME|=4.
10.2120°[解析]由椭圆的标准方程得a=3,b=,则c=-=,|F1F2|=2c=2.由椭圆的定义得|PF2|=2a-|PF1|=2.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=-=-=-,所以∠
F1PF2=120°.
11.12[解析]设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,M关于F1,F2的对称点分别为A,B,连接DF1,DF2.因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,所以|DF1|=|AN|,同
理,|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|).因为点D在椭圆C上,所以根据椭圆的定义可得
|DF1|+|DF2|=2a=6,所以|AN|+|BN|=12.
12.解:设动圆圆心为M(x,y),半径为r.∵圆M内切于圆C1,∴|MC1|=13-r.∵圆M外切于圆
C2,∴|MC2|=3+r,∴|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,∴动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且
2a=16,2c=8,b2=a2-c2=64-16=48,故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
13.解:因为P是椭圆+=1上的点,F1,F2是椭圆的焦点,所以|PF1|+|PF2|=7,又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=4,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2-=5,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2是以PF1,PF2为直角边的直角三角形,所以△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=×4×3=6.
14.15[解析]由椭圆方程可得a=5,b=4,c=3,∴F1(-3,0),F2(3,0),
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a-|PF2|=10+(|PM|-|PF2|),又|PM|-|PF2|≤|MF2|==5,∴|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.
15.解:∵点P(x,y)在椭圆+=1上,∴y2=16×-=16×-①.
∵点P的纵坐标y≠0,∴x≠±5.∵k PA=,k PB=
-
,
∴k PA k PB=
-=
-
②.将①代入②,
得k PA k PB=-
-
=-,∴k PA k PB为定值,这个定值是-.
1.2椭圆的简单性质
第1课时椭圆的简单性质(1)
1.D[解析]椭圆的标准方程为x2+=1,其焦点在y轴上,故长轴的端点坐标为(0,),(0,-).
2.D[解析]椭圆的方程可化为+x2=1,∵焦点在y轴上,∴a2=,b2=1.∵长轴长是短轴长的2倍,∴2=4×,解得k=.
3.D[解析]∵焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,∴a2=m,b2=2,∴-=,解得m=.
4.C[解析]曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆,长轴长为10,短轴长为6,焦距为8;曲线
-+
-
=1(k<9)
表示焦点在x轴上的椭圆,长轴长为2-,短轴长为2-,焦距为8,所以曲线+=1与曲线
-+
-
=1(k<9)的焦距相等.故选C.
5.A[解析]∵2a=18,∴a=9,由题意得2c=×2a=×18=6,∴c=3,∴a2=81,b2=a2-c2=81-9=72,故此椭圆的方程为+=1.
6.A[解析]因为|PF|=,|AF|=a+c,|PF|=|AF|,所以=(a+c),即4b2=3a2+3ac,又因为b2=a2-c2,所以
4(a2-c2)=3a2+3ac,整理可得4c2+3ac-a2=0,两边同时除以a2,得4e2+3e-1=0,即(4e-1)(e+1)=0,又0<e<1,所以e=.
7.C[解析]由题意知F1(-c,0),F2(c,0).∵AF2⊥x轴,∴|AF2|=b2,∴可设点A的坐标为(c,b2).设
B(x,y),∵|AF1|=3|F1B|,∴=3,∴(-c-c,-b2)=3(x+c,y),∴--
-
可得
-
-
∴B--,代入椭圆方程可得-+-=1,又∵1=b2+c2,∴b2=.
8.[解析]因为椭圆+=1的一个焦点的坐标为(-4,0),所以a2-9=16,所以a=5,所以椭圆的离心率e==.
9.+=1[解析]由9x2+4y2=36得+=1,依题意得所求椭圆的焦点坐标为(0,),(0,-),故c=.可设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0),
∵2b=4,∴b=2,∴a2=b2+c2=25,故所求椭圆的方程为+=1.
10.12[解析]不妨设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).∵短轴长为2,离心率e=,∴2b=2,=,又a2=b2+c2,∴a=3,∴△ABF2的周长为|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=12.
11.-[解析]设椭圆的右焦点为F',连接BF'.由题意得A(-a,0),B(0,b),F'(c,0),∵∠BAO+∠BFO=90°,且∠BFO=∠BF'O,∴∠BAO+∠BF'O=90°,∴=0,∴(a,b)(c,-b)=ac-b2=ac-a2+c2=0,∴e-1+e2=0,又0<e<1,∴可得e=-.
12.解:∵椭圆的方程为+=1,∴a=5,b=3,c=-=4,∴椭圆的长轴长为2a=10,短轴长为2b=6,离心率e==,焦点坐标为(±4,0),顶点坐标为(±5,0),(0,±3).
=-1,解得c=5,∴椭圆的方程13.解:(1)易知c≠3,令F1(-c,0),F2(c,0),∵PF1⊥PF2,∴=-1,即
-
为+
=1.
-
=1,解得a2=45或a2=5.又∵a>c,∴a2=45,故所求椭圆的方程为+=1.
∵点P(3,4)在椭圆上,∴+
-
(2)点P的纵坐标的值即为△PF1F2的边F1F2上的高,∴△=|F1F2|×4=×10×4=20.
14.C[解析]设M为椭圆短轴的一个端点,则由题意得∠AMB≥∠APB=120°,即∠AMO≥60°(O为坐标原点),又tan∠AMO=,∴≥tan 60°=,∴a≥b,∴a2≥3(a2-c2),∴2a2≤3c2,∴e2≥,∴e≥,故该椭圆的离心率的最小值为.故选C.
15.解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1,F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,又点A
在椭圆上,因此+=1,可得b2=3,∴c2=1,故椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(-1,0),(1,0).
(2)设P(x,y),则+=1,∴x2=4-y2,|PQ|2=x2+-=4-y2+y2-y+=-y2-y+=-+5,又-≤y≤,∴当y=-时,|PQ|2取得最大值5,∴|PQ|max=.
第2课时椭圆的简单性质(2)
1.A[解析]因为点A(a,1)在椭圆+=1的内部,所以+<1,解得a∈(-,),故选A.
2.D[解析]不妨设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则三角形的面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭
圆短轴的端点,∴三角形的面积S=×2c×b=bc=1≤=,∴a2≥2,∴a≥,∴长轴长2a≥2,故选D.
=1,∵m>-2且-m>0,∴-2<m<0,∴a2=2,b 2=-m,即
3.A[解析]椭圆方程为+
-
a=,b=-,∴c2=a2-b2=2+m,∴c=,∴e==∈,1,解得m∈(-1,0).
4.A[解析]设圆(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1的圆心分别为F1,F2,则F1(-1,0),F2(1,0),则|PM|+|PN|≤
|PF1|+1+|PF2|+1=2a+2=2×2+2=6.
5.D[解析]设P(x,y),则|PQ|2=x-2+y2=x-2+31-=(x-1)2+,又-2≤x≤2,所以当x=1时,|PQ|取得最小值=.
6.B[解析]设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则将两式两边分别相减得-+-=0,整理得-
=-,又x1+x2=y1+y2=-2,
-
所以-
=-,即直线l的斜率为-.
-
7.C[解析]由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,即=31-.因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值
×(2+2)2+2=6,故选C.
8.40[解析]设右焦点为A,一动直线与椭圆交于M,N两点,则△FMN的周长
l=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+2a-|MA|+2a-|NA|=4a+(|MN|-|MA|-|NA|),由于|MA|+|NA|≥|MN|,所以当M,A,N 三点共线时,△FMN的周长取得最大值4a=40.
9.(-2,2)[解析]直线y=kx+b过定点A(0,b),由椭圆的性质可知,当点A在椭圆的内部,即-2<b<2时,直线y=kx+b与椭圆+=1恒有两个公共点.
消去x整理得
10.[解析]椭圆的右焦点为(1,0),故直线AB的方程为y=2(x-1),由
-
3y2+2y-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,∴|y1-y2|==,∴S△OAB=×1×=.
11.[解析]设与直线x-y+3=0平行且与椭圆相切的直线的方程为x-y+m=0,与椭圆方程联立,消去y整理可得5x2+8mx+4m2-4=0,令Δ=64m2-20(4m2-4)=0,可得m=±.∵直线x-y+=0与直线
x-y+3=0的距离为-=,直线x-y-=0与直线x-y+3=0的距离为-=2,∴椭圆+y2=1上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值是.
12.解:(1)由题意得,b=1①,=②,又a2=b2+c2③,∴由①②③可得a=,c=1,故椭圆的方程为+y2=1.
(2)∵B(0,-2),F1(-1,0),∴直线BF1的方程为y=-2x-2.
由--
得9x2+16x+6=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则
x1+x2=-,x1x2=,∴|CD|=-|x1-x2|=-=×--=.
13.解:(1)设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0),由e==,得a=c,又×2cb=1,即bc=1,且a2-c2=b2,所以a=,b=1,c=1,故椭圆E的标准方程为+y2=1.
(2)证明:椭圆E的右焦点为(1,0),故直线l的方程为y=(x-1),
由-
消去y整理得5x2-8x+2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=2[x1x2-(x1+x2)+1]=-,
所以x1x2+y1y2=0.
因为=x1x2+y1y2=0,所以OM⊥ON,所以以线段MN为直径的圆过原点.
14.D[解析]∵点N c,在椭圆的外部,∴+>1,即-+>1,可得<,故椭圆的离心率
e==->-=.
因为|MF1|+|MN|=2a-|MF2|+|MN|,且-|MF2|+|MN|≤|NF2|=,所以要使|MF1|+|MN|<|F1F2|恒成立,只需2a-|MF2|+|MN|<|F1F2|恒成立即可,所以2a+<×2c,可得e=>,故椭圆的离心率的取值范围是,1.
15.解:(1)由题意知e==,则e2==-=,所以a2=4b2.
因为圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以=b,即b=1,所以a2=4b2=4,
故椭圆C的方程为+x2=1.
(2)设E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,将y=kx代入椭圆的方程+x2=1,整理得(k2+4)x2=4,故x2=-x1=,则|EF|=|x1-x2|=.
又A(1,0),B(0,2),故点A,B到直线EF的距离分别为d1=,2=,
所以四边形AEBF的面积S=|EF|(d1+d2)=××==2=2=2≤2,当且仅当k=2时取等号,
所以当四边形AEBF的面积最大时,k=2.
§2抛物线
2.1抛物线及其标准方程
1.A[解析]抛物线y2=x的准线方程为x=-,故选A.
2.A[解析]根据抛物线的标准方程x2=y,可得抛物线的焦点在y 轴上,焦点坐标为0,.
3.D[解析]因为抛物线x2=ay的准线方程为y=-=1,所以a=-
4.故选D.
4.C[解析]抛物线x2=4y的准线方程是y=-1,因为抛物线上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2,所以由抛物线的定义知,点M到准线y=-1的距离也是2,所以点M的纵坐标是1.
5.C[解析]因为抛物线C:y2=2px的准线方程为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以-=-2,解得p=4,所以焦点F的坐标为(2,0),故直线AF的斜率k AF=-
=-.
--
6.C[解析]设P(x0,y0),则|PF|=x0+=4,即x0=3,代入抛物线的方程,得|y0|=2,∴S△
POF=|y0||OF|=2,故选C.
7.B[解析]抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,故直线l1即为抛物线的准线,故点P到直线l1的距离等于点P到点F的距离.
设点P到直线l2的距离为d,则d+|PF|≥=.故选B.
8.0,[解析]抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,焦点坐标为0,.
9.[解析]∵|AF|+|BF|=x A+x B+=3,∴x A+x B=,∴线段AB的中点到y轴的距离为=.
10.y 2
=16x [解析] 设动圆圆心M (x ,y ),设圆M 与直线l :x=-4的切点为N ,则|MA|=|MN|,即动点M 到定点A 和定直线l :x=-4的距离相等,∴点M 的轨迹是抛物线,且以A (4,0)为焦点,以直线l :x=-4为准线,∴
=4,∴p=8,∴动圆圆心M 的轨迹方程是y 2
=16x.
11.(1,2) [解析] 由抛物线y 2
=4x 可得焦点F (1,0),准线l 的方程为x=-1.过点A 作AM ⊥l ,垂足为M ,则
|AM|=|AF|.因此当B ,A ,M 三点共线时,|AB|+|AF|取得最小值,此时|AB|+|AF|=|AB|+|AM|=|BM|=3-(-1)=4,此时y A =2,代入抛物线方程可得22
=4x A ,解得x A =1,∴点A 的坐标为(1,2).
12.解:(1)∵2p=6,∴p=3,则焦点坐标是
,准线方程为x=-
.
(2)将2x 2
-5y=0变形为x 2=
y ,∴2p=
,∴p=
,∴焦点坐标为
,准线方程为y=-
.
13.解:如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x 2
=-2py (p>0).
因为点C (5,-5)在抛物线上,所以25=-2p×(-5),所以2p=5, 所以抛物线的方程为x 2
=-5y.
因为点A (-4,y 0)在抛物线上,所以16=-5y 0,即y 0=-
,
所以OA 的长为5-
=
=1.8 m .
所以管柱OA 的长为1.8 (m ). 14.D [解析] 如图,
过点P 作直线l 与抛物线的准线的垂线,垂足分别为A ,B ,记抛物线的焦点为F ,连接PF ,则点P 到直线
l :2x-y+3=0的距离为|PA|,点P 到y 轴的距离为|PB|-1,由抛物线的定义知|PB|=|PF|,故点P
到直线
l:2x-y+3=0和y轴的距离之和为|PF|+|PA|-1,而|PF|+|PA|的最小值等于点F(1,0)到直线l:2x-y+3=0的距离d,且d==,故点P到直线l:2x-y+3=0与y轴的距离之和的最小值为-1.
15.解:由题知M(3,0),圆M的半径r=3,设动圆圆心P(x,y),半径为R,则由已知得
∴|PM|=|x|+3.当x>0时,上式的几何意义为点P到定点M的距离与点P到定直线x=-3的距离相等,∴点P的轨迹是焦点为M(3,0),准线方程为x=-3的抛物线除去点(0,0)的部分,∴所求轨迹方程为y2=12x(x>0).
当x<0时,|PM|=3-x,上式的几何意义为动点P到定点M的距离等于它到定直线x=3的距离,∴点P的轨迹为x轴的负半轴,即y=0(x<0).故所求轨迹方程为y2=12x(x>0)或y=0(x<0).
2.2抛物线的简单性质
第1课时抛物线的简单性质(1)
1.C[解析]由y=2x2得x2=,所以焦点坐标为0,,故选C.
2.C[解析]抛物线的标准方程为x2=y,焦点坐标为,准线方程为y=-,故焦点到准线的距离为.
3.B[解析]不妨设抛物线的方程为y2=2px(p>0),焦点为F,∵PQ⊥x轴,∴|PF|=|MF|=|FQ|=p,则△PMQ为等腰直角三角形.故选B.
4.A[解析]∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,∴=1,
∴该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选A.
5.D[解析]由抛物线y2=2px上的点M(1,m)到其焦点F的距离为5,可知=1+=5,解得p=8,即抛物线的方程为y2=16x,所以抛物线的准线方程为x=-4,故选D.
6.C[解析]设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线的定义可
知,|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=x1+x2+p,又线段PQ的中点的横坐标为3,|PQ|=10,∴10=6+p,可得p=4,∴抛物线的方程为y2=8x.
7.C[解析]过A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为M,N,设准线与x轴交于点P.
设|BF|=m,则|BC|=3m,又|BN|=|BF|=m,|AF|=|AM|=3,=,所以=,解得m=,又=,所以=,故|FP|=2,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
8.y2=8x[解析]∵抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,
∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.
9.2[解析]由抛物线y2=4x,得2p=4,∴p=2,∴=1.
∵M在抛物线y2=4x上,且|MF|=3,∴x M+1=3,即x M=2.
10.①④[解析]y2=10x表示焦点在x轴正半轴上的抛物线,且焦点为,0,准线方程为x=-,通径的长为10,抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1+=,故填①④.
11.4[解析]当△PMF为等边三角形时,|PF|=|PM|,
故PM垂直抛物线的准线.
设P,m,则M(-1,m),则|PM|=1+,又F(1,0),由|PM|=|FM|,得1+=,解得m2=12,∴等边三角形PMF的边长为4,其面积为4.
12.解:(1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F位于直线x+y-1=0上,∴F(1,0),∴抛物线的方程为y2=4x.
(2)∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴直线AB的方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-1代入y2=4x,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,故线段AB的中点C的横坐标为3.
13.解:由题意及抛物线的性质知A,B两点关于x轴对称.
设A(x,y),则B(x,-y),焦点为F,0.
-=-1,∴y2=x x-,∴2px=x x-,
由题意知AF⊥OB,则有
-
∵x≠0,∴x=,∴直线AB的方程为x=.
14.3p[解析]抛物线的焦点为F,准线方程为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则
=-,=-,=-.
∵++=0,∴x1+x2+x3-=0,即x1+x2+x3=.
又∵||=x1+,||=x2+,||=x3+,
∴||+||+||=x1+x2+x3+=3p.
15.解:设P,Q分别是抛物线和圆上的点,圆心为C(3,0),半径为1,若|PQ|最小,则|CP|=|PQ|+|CQ|也最小,此时C,P,Q三点共线,问题转化为在抛物线上求一点P,使它到点C的距离最小.设P(,y0),
则|CP|2=(-3)2+=-+≥,故|PQ|的最小值是-1,即抛物线和圆最近两点之间的距离为-1.
第2课时抛物线的简单性质(2)
1.C[解析]∵点(0,2)在抛物线y2=8x的上方,∴过点(0,2)且与抛物线y2=8x相切的直线有2条,并且与抛物线对称轴平行的直线有1条,∴过点(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有3条.
2.D[解析]抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,焦点坐标为,当y=时,x=±,∴过抛物线y=2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.
3.B[解析]由抛物线方程y2=8x,知其焦点为(2,0),准线方程为x=-2.由动圆与准线相切知,动圆必过抛物线的焦点,故选B.
4.B[解析]由题意可得抛物线的准线l:x=-,分别过点A,B,D作l的垂线,垂足分别为M,N,H,在直角梯形ABNM中,|DH|=.设F为抛物线的焦点,连接AF,BF,由抛物线的定义可知
|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,∴|DH|=≥=2p,故AB的中点D到抛物线C的准线的距离的最小值为2p.
5.D[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),即
-
===2,即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3,故选D.
-
6.A[解析]作NP垂直于抛物线的准线,垂足为P,根据抛物线的定义得|NF|=|NP|.因为|NF|=|MN|,所以|NP|=|MN|,则sin∠PMN==,所以∠PMN=,则∠NMF=.故选A.
7.C[解析]∵抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=-1,
∴经过F且斜率为的直线的方程为y=(x-1),与抛物线方程联立,可得点A(3,2).∵AK⊥
l,∴K(-1,2),∴△AKF的面积是4.
8.y2=4x[解析]设M的坐标为(x,y),又A(2a2,a),B(0,3a),可得消去a,得点M的轨迹方程为x=,即y2=4x.
9.8[解析]由抛物线的方程为y2=4x,得p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=x1+x2+p,又
=3,∴|AB|=6+2=8.
10.x2=y[解析]设直线l的方程为y=x+b,
由消去y得x2=2p(x+b),即x2-2px-2pb=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=2p=3,∴p=,∴抛物线的方程为x2=y.
11.(-2,-1][解析]直线l的方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=8x,
得x2-2(a+4)x+a2=0,由Δ=4(a+4)2-4a2>0,得a>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2(a+4),x1x2=a2,
∴|AB|=-=,由|AB|≤8,得≤1,
又a>-2,∴-2<a≤-1,故a的取值范围为(-2,-1].
-消去x整理得ky2-4y+4(2k+1)=0①.
12.解:由题意得,直线l的方程为y-1=k(x+2),由
(1)当k=0时,由方程①得y=1,把y=1代入y2=4x,得x=,此时直线l与抛物线只有一个公共点.
当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1),令Δ=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,此时方程①只有一个解,直线l与抛物线只有一个公共点.
综上所述,当k=0或k=-1或k=时,直线l与抛物线只有一个公共点.
(2)当k≠0时,令Δ>0,即2k2+k-1<0,解得-1<k<0或0<k<,所以当-1<k<0或0<k<时,直线l与抛物线有两个公共点.
(3)当k≠0时,令Δ<0,即2k2+k-1>0,解得k>或k<-1,
所以当k<-1或k>时,直线l与抛物线没有公共点.
13.解:(1)由题意知,抛物线的焦点坐标为(1,0),
设直线l的方程为x=ty+1,代入抛物线方程y2=4x,消去x整理得y2-4ty-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4t,y1y2=-4,∴=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.
(2)证明:设直线l的方程为x=ty+b,代入抛物线方程y2=4x,消去x整理得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
∴=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.
由b2-4b=-4,得b2-4b+4=0,∴b=2,∴直线l过定点(2,0).
14.3[解析]因为|PQ|=,所以|PF|=-|QF|.
由抛物线的标准方程可知p=4.
因为直线l过抛物线y2=8x的焦点,所以由过抛物线焦点的弦的性质可知+==,故
+=,解得
-
|QF|=或|QF|=8.
又因为|PF|>|QF|,所以|QF|=,|PF|=8,所以=3.
15.解:(1)由题意知F ,0,则当直线l的倾斜角为时,直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
得x2-3px+=0,所以x1+x2=3p,
-
又|AB|=x1+x2+p=16,所以p=4,所以抛物线G的方程为y2=8x.
(2)证明:抛物线G的方程为y2=8x,设直线l的方程为ty=x-2,
消去x得y2-8ty-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
-
则y1+y2=8t,y1y2=-16,所以|AB|=x1+x2+4=t(y1+y2)+8=8(t2+1),
又x M==(y1+y2)+2=4t2+2,y M==4t,即M(4t2+2,4t),
所以|AB|-2|MN|=8(t2+1)-2-=8(t2+1)-2(4t2+1)=6,即|AB|-2|MN|为定值.
§3双曲线
3.1双曲线及其标准方程
1.A[解析]由双曲线-=1知a=,b=2,c=3,∴焦点坐标是(±3,0).
2.B[解析]若方程
-+
-
=1表示双曲线,则(4-m)(m-3)<0,解得m>4或m<3,∴m的取值范围是(-∞,3)∪
(4,+∞).
3.B[解析]由双曲线的定义知-=8,又|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,又|PF2|≥
c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.
4.D[解析]由题意知|MN|=|NQ|,∴||NQ|-|NP||=||MN|-|NP||=|MP|=6,
又∵Q(-4,0),P(4,0),|PQ|=8>6,
∴点N的轨迹是以Q,P为焦点的双曲线,且a=3,c=4,∴b=,
∴点N的轨迹方程为-=1,故选D.
5.A[解析]由题意得c2=4-1=3,则c=,且焦点在x轴上,故设双曲线的方程为-
-
=1(0<a2<3),将点
Q(2,1)的坐标代入,得-
-
=1,解得a2=2,故双曲线的方程为-y2=1.
6.C[解析]把双曲线的方程x2-y2=2化为标准形式可得-=1,则a=,b=,c=2.设|PF1|=2|PF2|=2m,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,故m=2,所以|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=2c=4,
所以cos∠F1PF2=-==,故选C.
7.A[解析]设F'是双曲线C的右焦点,则△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF'|+2≥
|AF|+|AF'|+2,当点P为线段AF'与双曲线的交点时取等号.直线AF'的方程为+=1,与x2-=1联立,消去x整理得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),∴△APF的周长最小时,点P的纵坐标为2,∴△APF的周长最小时,该三角形的面积为×6×6-×6×2=12.
8.16[解析]由双曲线的方程
-
-=1(0<m<5)知,a2=64-m2,b2=m2,
∴c2=a2+b2=64-m2+m2=64,∴c=8,∴2c=16.
9.-1[解析]根据题意可知双曲线8kx2-ky2=8的焦点在y轴上,双曲线的方程可化为
--
-
=1.∵一个焦
点的坐标为(0,3),∴c2=9,∴--=9,∴k=-1.
10.③④[解析]当4-k=k-1,即k=时,曲线C为圆,故①中说法错误;
当k=时曲线C为圆,且∈(1,4),故②中说法错误;
若曲线C为双曲线,则(4-k)(k-1)<0,即k>4或k<1,故③中说法正确;
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则4-k>k-1>0,解得1<k<,故④中说法正确.
11.[解析]由题意及双曲线的定义可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有==,所以
-=-=.
12.解:根据题意,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为点A(-7,-6),B(2,3)在双曲线上,所以有-
-
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
13.解:设双曲线的另一个焦点为F2,连接PF2,则ON是△PF1F2的中位线,
所以|ON|=|PF2|.因为||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,所以|PF2|=2或18,所以|ON|=|PF2|=1或9.
14.[解析]由双曲线C的方程x2-=1得a=1,b=2,c==5.
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=2,
又∵=,∴|PF1|=10,|PF2|=8,又|F1F2|=2c=10,
∴边PF2上的高为-=2,设△PF1F2内切圆的半径为r,由等面积法得
×2×8=×(10+10+8)r,解得r=,故△PF1F2内切圆的面积为.
15.解:设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,即4c2=4a2+|PF1||PF2|.
∵△=2,∴|PF1||PF2|sin=2,∴|PF1||PF2|=8,∴4c2=4a2+8,∴b2=2.又∵2c=4a,∴a2=,∴该双曲线的方程为-=1.
3.2双曲线的简单性质
第1课时双曲线的简单性质(1)
1.C[解析]由双曲线方程可得a2=4,b2=8,则c2=a2+b2=12,其焦距为2c=2=4.故选C.
2.C[解析]双曲线方程可化为-=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4,故实轴长为4.
3.B[解析]∵双曲线的渐近线方程为x±y=0,∴可设双曲线的方程为x2-2y2=k(k≠0).∵点P(2,-2)在双曲线上,代入双曲线方程得k=4-8=-4,∴双曲线的方程为x2-2y2=-4,即-=1.
4.A[解析]由题意知a=4,又∵|A1B1|=5,∴c=5,∴b=-=-=3,∴双曲线的方程为-=1.
5.D[解析]双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
∵双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,∴=,∴b= a.
∵焦点为F(2,0),∴a2+b2=4,∴a=1,b=,∴双曲线的方程为x2-=1.
6.B[解析]∵双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,∴=.
∵抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,∴-c=-6,∴c=6.
又c2=a2+b2,
∴a2=9,b2=27,∴双曲线的方程为-=1.
7.C[解析]过F2作F2A⊥PF1,交PF1于A,由题意知|F2A|=2a,|F1F2|=2c.∵|PF2|=|F1F2|,∴A为PF1的中点,故|PF1|=2|AF1|=2-=2-=4b.由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,则
4b-2c=2a,∴2b=c+a.又c2=a2+b2,∴(2b-a)2=a2+b2,∴4b2-4ab+a2=a2+b2,∴3b2=4ab,∴=,∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.故选C.
8.y=±2x[解析]由题意知2c=3×2a=6a,∴=9=,∴=8,∴=2,从而该双曲线的渐近线方程为y=±2x.
9.2[解析]双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于b,由题意知b=×2c,∴b=c=,∴b=1,因此该双曲线的虚轴长是2b=2.
10.-y2=1[解析]椭圆+=1的焦点坐标为(±,0),故可设双曲线的方程为-
-
=1(0<a2<3),又点
P(2,)在双曲线上,所以-
-
=1,解得a2=2,故所求双曲线的方程为-y2=1.
11.x2-=1[解析]由题意可得
°
解得∴双曲线的方程为x2-=1.
12.解:(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线的方程为-=1,则a2+b2=32=9①.又双曲线经过点(,4),∴-=1②.由①②得a2=4,b2=5,∴所求的双曲线方程为-=1.
(2)∵双曲线方程为-=1,∴a=2,b=,c==3,∴双曲线的离心率e==,渐近线方程为
y=±x=±x.
13.解:椭圆方程可化为+=1,可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时,
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
∴解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
②当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
∴解得
∴双曲线的标准方程为-=1.
由①②可知,双曲线的标准方程为-=1或-=1.
14.-=1[解析]设M(x0,y0),又A1(-a,0),A2(a,0),
所以=,=
-
,
由于,1,依次成等比数列,所以=
-=
-
=1.
又-=1,所以a2=b2(-a2),即
-
=,所以a2=b2,
又2c=4,a2+b2=c2,所以a2=2,b2=2,
所以双曲线的标准方程为-=1.
15.解:(1)证明:设P(x1,y1)双曲线的两条渐近线的方程分别是x-2y=0和x+2y=0,点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,
它们的乘积是=-=,
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
(2)设点P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1=-+.
∵|x|≥2,∴当x=时,|PA|2的最小值为,即|PA|的最小值为.
第2课时双曲线的简单性质(2)
1.D[解析]∵c=,∴==2,∴a=1.
2.B[解析]依题意可知a=2,=b,∴c=b,∴a2=c2-b2=b2=4,∴b2=12,∴c2=16,c=4,故2c=8,故选B.
3.D[解析]设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为y=±x,因为点(4,-2)在一条渐近线上,所以=.又c2=a2+b2,所以-=,所以e2=,所以e=,故选D.
4.B[解析]由4x2+y2=64得+=1,焦点坐标为(0,±4),离心率为,所以双曲线的焦点在y轴
上,c=4,e==,所以a=6,b=-=2,所以双曲线的方程为-=1.
5.C[解析]∵a,b,c依次成等比数列,∴b2=ac,又b2=c2-a2,∴c2-a2=ac,∴c2-ac-a2=0.∵e=,∴e2-e-1=0,又
e>1,∴e==,
∴双曲线E一定是“黄金双曲线”,故选C.
6.C[解析]直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于点B,
直线l与渐近线l2:bx+ay=0交于点C
--
-
,又A(a,0),
∴=-,=
--
-
,∵=,
∴-=
-
,即b=2a,∴c2-a2=4a2,∴c2=5a2,∴e2==5,∴e=.
7.D[解析]∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直于x轴,∴∠EAF=∠EBF,∵△ABE是钝角三角形,∴∠AEB是钝角,即有|AF|>|EF|.∵F为左焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,∴|AF|=,又|EF|=a+c,∴>a+c,即c2-ac-2a2>0,又由e=,可得e2-e-2>0,解得e>2或e<-1(舍去),则该双曲线的离心率e的取值范围是(2,+∞).
8.[解析]将y=x+1代入x2-=1,
得4x2-(x+1)2-4=0,即3x2-2x-5=0,设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=,x1x2=-,
∴直线y=x+1被双曲线x2-=1截得的弦长|AB|=×--=.
9.[解析]由题意知A(3,0),F(5,0),不妨取双曲线的一条渐近线的斜率是,与该渐近线平行且过点F的直线的方程是y=(x-5),与双曲线方程联立,可得点B的纵坐标为-,故△AFB的面积为|AF||y B|=×2×=.
10.[解析]双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,由消去y得x2-x+1=0.∵这条渐近线与曲线y=x2+1相切,∴Δ=-2-4=0,即2=4,
∴该双曲线的离心率e===.
11.3x-2y-18=0[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),由P(8,3)为弦AB的中点,可得x1+x2=16,y1+y2=6,又
9-16=144,9-16=144,两式相减,可得9(x1+x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0,即9(x1-x2)-6(y1-y2)=0,可
得k AB=-
-
=,则直线AB的方程为y-3=(x-8),即3x-2y-18=0.
12.解:设双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0),由点P(1,2)在双曲线上,可得-=λ,得λ=-,因此双曲线的标准方程为-=1.
13.解:(1)当a=时,双曲线C的方程为4x2-y2=1,
由
-
消去y整理得3x2+2x-2=0.
设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=-,
则|AB|==-=×=.
(2)将y=-x+1代入-y2=1,
整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
若直线l与双曲线C有两个不同的交点,则-
-
解得0<a<且a≠1.
又∵双曲线C的离心率e==,∴e>且e≠,
故离心率e的取值范围是,∪(,+∞).
14.A[解析]设|PF2|=m(m≥c-a),则根据双曲线的定义得|PF1|=2a+m,所以==+4a+m≥8a,当且仅当m=2a时等号成立.又m≥c-a,结合题意知c-a≤2a,即≤3,即e≤3,又e>1,所以1<e≤3,故选A.
15.解:(1)由
-得故双曲线E的方程为x2-y2=1.由-
-
得(1-k2)x2+2kx-2=0①,∵
直线与双曲线右支交于A,B两点,
∴
-
-
-
-
-
---
解得1<k<.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由①得x1+x2=
-,x1x2=
-
,∴|AB|=-=2-
-
=6,
整理得28k4-55k2+25=0,∴k2=或k2=.又1<k<,∴k=,∴x1+x2=4,y1+y2=k(x1+x2)-2=8.设C(x3,y3),由=m(+),得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4m,8m).∵点C是双曲线上一点,∴80m2-64m2=1,解得m=±.
滚动习题(二)
1.C[解析]由题意可得c=1.当椭圆的焦点在x轴上时,m-4=1,解得m=5.
当椭圆的焦点在y轴上时,4-m=1,解得m=3.故选C.
2.A[解析]方程表示双曲线,则(k+2)(k-1)<0,解得-2<k<1.
3.C[解析]由y=2x2得x2=y,所以2p=,p=,故焦点到准线的距离为p=,故选C.
4.C[解析]设A为直线x=a与x轴的交点.因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,所以|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30°,
所以∠PF2A=60°,∠F2PA=30°,所以|PF2|=2|AF2|=2a-c=3a-2c.
又因为|PF2|=|F1F2|=2c,所以2c=3a-2c,所以e==,故选C.
5.A[解析]由题意得,双曲线的焦距为10,即a2+b2=c2=25①.因为双曲线的一条渐近线的方程为y=x,点P(2,1)在该渐近线上,所以a=2b②.由①②可得a2=20,b2=5,所以双曲线C的方程为-=1.
6.A[解析]设点P到准线的距离为d,根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=2d,又抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故点P到准线的距离d=6,所以|AF|+|BF|=12.
7.C[解析]分别过A,B两点作抛物线准线的垂线AM,BN,垂足分别为M,N,则|AB|=|AM|+|BN|,分别取AB,MN的中点E,F,连接EF,则EF为梯形ABNM的中位线,则2|EF|=|AM|+|BN|,易知当AB与x轴垂直时|EF|最小,故|AB|的最小值为2p.
8.D[解析]双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,∴以四个交点为顶点的四边形为正方形.
∵以四个交点为顶点的四边形的面积为16,∴正方形的边长为4,
∴点(2,2)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,
∴+=1①.∵e=,∴-=,∴a2=4b2②.
由①②得a2=20,b2=5,∴椭圆C的方程为+=1.故选D.
9.[解析]∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,解得a=2,∴抛物线的方程为x2=y,则焦点坐标为.
10.+=1[解析]椭圆+=1的焦点坐标为(0,±4),则所求椭圆的半焦距c=4,设所求椭圆的方程为
+=1(a>b>0),则a2-b2=16①.将(,-)代入椭圆方程得+=1②.由①②得a2=20,b2=4,则所求椭圆的方程为+=1.
11.2+4[解析]∵F(2,0),M(0,2),∴|FM|=2,△PFM的周长最小,即|PM|+|PF|最小.设左焦点为F1,由双曲线的定义可得|PM|+|PF|=|PM|+2+|PF1|,而|PM|+|PF1|的最小值为|MF1|=2,∴|PM|+2+|PF1|的最小值为2+2,故△PFM周长的最小值为2+4.
12.1[解析]由椭圆方程+y2=1,得a=,b=1,∴c=1.由∠F1PF2=90°,得PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=4,又|PF1|+|PF2|=2a=2,∴|PF1||PF2|=-=2,∴△=|PF1||PF2|=1.
13.解:(1)由题意可得解得
∴b2=a2-c2=8-4=4,
∴椭圆C的方程为+=1.
消去y整理得3x2-4x-6=0,
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由
-
∴
∴|AB|=|x1-x2|=-=--=, -
又点O到直线y=x-1的距离d==,
∴S△AOB=|AB|d=.
14.解:(1)直线AB的方程是y=2-,代入y2=2px,整理得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.
由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线的方程是y2=8x.
(2)将p=4代入4x2-5px+p2=0,化简可得x2-5x+4=0,从而可得x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而
A(1,-2),B(4,4).
设C(x3,y3),因为=+λ,所以(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,所以(4λ-2)2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,即4λ2=8λ,解得λ=0或λ=2.
15.解:(1)将(3,1)代入圆C的方程,得(3-m)2+1=5.又∵m<3,∴m=1,则圆C:(x-1)2+y2=5.易知直线PF1的斜率存在,设直线PF1的斜率为k,
则直线PF1的方程为y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0.
∵直线PF1与圆C相切,∴=,解得k=或k=.
当k=时,直线PF1与x轴的交点的横坐标为,不合题意,舍去.
当k=时,直线PF1与x轴的交点的横坐标为-4,∴F1(-4,0),F2(4,0),
2a=|AF1|+|AF2|=5+=6,∴a=3,a2=18,∴b2=18-16=2,
故椭圆E的方程为+=1.
(2)=(1,3),设Q(x,y),则=(x-3,y-1),=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.
∵+=1,即x2+(3y)2=18,而x2+(3y)2≥2|x||3y|,∴-18≤6xy≤18,
则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36],
∴x+3y的取值范围是[-6,6],又=x+3y-6,∴的取值范围是[-12,0].。