浙江省杭州地区(含周边)2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

浙江省杭州地区（含周边）2019-2020学年高一数学上学期期中试题
（含解析）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确答案.） 1.已知{(,)|3}{(,)|1}A x y x y B x y x y =+==-=，，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1 B. {}2,1x y == C. {}(2,1) D. (2,1)
【答案】C 【解析】
试题分析：{}32
{(,)|{}{(,)|{}(2,1)11
x y x A B x y x y x y y +==⋂===-==.故选C ．
考点：集合运算． 2.已知函数2-2()(1)x 1
x
f x x =
>+，则它的值域为（ ）
A. ()0+∞，
B. (),0-∞
C. ()-10，
D. ()2,0-
【答案】D 【解析】 【分析】
化简得到4()2(1)1f x x x =-+>+，设1(2)t x t =+>，再求出4
(0,2)t y =∈得到答案. 【详解】222(1)44
()=2(1)111
x x f x x x x x --++=
=-+>+++ 设1(2)t x t =+>，易知：4
(0,2)t
y =∈
故4
()2(1)1
f x x x =-+
>+的值域为：()2,0- 故选：D
【点睛】本题考查了函数的值域，分离常数是常用的技巧，需要灵活掌握. 3.设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中元
素共有 （ ） A. 3个 B. 4个
C. 5个
D. 6个
【答案】A
试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．
4.为了得到函数2log (22)y x =+的图像，只需把函数2log y x =的图像上所有的点（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】
通过函数的平移法则依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (22)y x =+，正确；
B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (44)y x =-，错误；
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到2log (24)y x =+，错误；
D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到2log (48)y x =-，错误. 故选：A
【点睛】本题考查了函数的平移，熟练掌握函数平移法则是解题的关键.
5.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x
f x x b =++（b 为常数），则当0x <
时，()f x =（ ） A. -221x x ++
B. --221x x ++
C. -2-2-1x x
D.
--2-2-1x x
【答案】B 【解析】
通过(0)0f =解得1b =-，设0x <，则0x ->，代入函数化简得到答案.
【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则0
(0)2001f b b =++=\=-
设0x <，则0x ->，()221x
f x x ---=-
()()221x f x f x x -=--=-++
故选：B
【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性计算函数表达式，通过(0)0f =解得1b =-是解题的关键.
6.设函数1()ln
1x
f x x x
+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11
()22
ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln
1x
f x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x x
f x x x f x x x
-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C
11
()22
ln 30f => ，排除D 故选：B
【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7.下列关于,x y 的关系式中，y 可以表示为x 的函数关系式的是（ ）
A. 22
1x y +=
B. ||||1x y +=
C. 32
1x y +=
D.
231x y +=
【答案】D 【解析】 【分析】
依次判断每个选项是否满足函数关系式得到答案.
【详解】A. 22
1x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式； B. ||||1x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式； C. 3
2
1x y +=，当0x =时，1y =±，不满足函数关系式；
D. 2
3
1x y +=，y =. 故选：D
【点睛】本题考查了函数关系式，通过特殊值排除选项可以快速得到答案.
8.设I 为全集，123,,S S S 是I 的三个非空子集，且123S S S I ⋃⋃=，则下面论断正确的是 （ ）
A. ()123I C S S S ⋂⋃=∅
B. ()123I I S C S C S ⊆⋂
C. 123I I I C S C S C S ⋂⋂=∅
D. ()123I I S C S C S ⊆⋃
【答案】C 【解析】 【分析】
根据集合间的基本关系，即可求解.
【详解】()1212I I I C S C S C S S ⋂⋃＝，而123S S S I ⋃⋃＝，则123I S S C S ⋃＝，∴()123I C S S S ⋃＝，33I S C S ⋂∅＝，因此C 正确，选C 。

【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题.
9.函数()f x 的定义域为R ，其图像上任意两点111222(,),(,)P x y P x y 满足
2121()()0x x y y --<， 若不等式(22)(4)x x
f m f m -<-恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A. [)0+∞，
B. (],0-∞
C. 1
4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，
D.
14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，- 【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件判断函数单调递减，化简得到224x x m m ->-恒成立，换元求函数的最值得到答案. 【详解】任意两点111222(,),(,)P x y P x y 满足2121()()0x x y y --<，则函数单调递减.
(22)(4)x x f m f m -<-恒成立，即224x x m m ->-恒成立.
设2(0)x
t t => 故222411111()(0)3333212
x x m m t t t t >∴<+=+->+
2111
()0(0)3212
t t +->>恒成立，所以0m ≤ 故选：B
【点睛】本题考查了函数的恒成立问题，根据条件判断函数单调递减是解题的关键. 10.对于函数11
()44f x x x
=+
+-，恰存在不同的实数123,,x x x ， 使123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++=（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
化简得到4
()4(4)
f x x x =+
-，设(4)t x x =-得到函数4()4f t t =+画出函数图像，根据
图像得到4t =或4
9
t =- ，代入计算得到答案. 【详解】11()444(4)
4f x x x x x =+
+=+--，设2(4)44t x x x x =-=-≤且0t ≠
特别的：4t =时，方程(4)t x x =-有唯一解；4t <且0t ≠时，方程(4)t x x =-有两解.
4
()4f t t
=+
，画出函数图像，如图所示：
设123()()()f x f x f x m ===，即()44
t t
f m =+
=恰有2个解，其中1个解为4. 5m =时满足条件，此时4t =或49t =- 即(4)4x x -=或4
(4)9
x x -=-
解得1321234,26x x x x x x +==∴++= 故选：C
【点睛】本题考查了方程的解的问题，通过换元和图像可以简化运算，是解题的关键. 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分） 11.计算：()2
1
log 23
3
312792⎛⎫
+--= ⎪⎝⎭
______.
【答案】8 【解析】
【分析】
直接利用指数对数幂函数计算法则得到答案. 【详解】()()2
21log 223
log 3
3
3
33127log 92
272log 939482⎛⎫
+--=+--=+-= ⎪⎝⎭
故答案为：8
【点睛】本题考查了指数对数幂函数计算，意在考查学生的计算能力.
12.设全集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B =，则下图中阴影部分表示的集合是_____.
【答案】{}2,4 【解析】 【分析】
先判断阴影部分表示的集合为U B C A ⋂，再计算得到答案. 【详解】集U Z =，{}1,3,5,7,9A =，{}1,2,3,4,5B = 阴影部分表示的集合为：{}2,4U B C A ⋂= 故答案为：{}2,4
【点睛】本题考查了韦恩图的识别，将图像转化为集合的运算是解题的关键. 13.函数2
11()
2
x y -=的单调递增区间是______.
【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】
利用复合函数的单调性得到答案.
【详解】
211()2x y -=分解为21(),12
t y t x ==-两个函数.
1
()2
t y =在R 上单调递减，21t x =-在[0,)+∞上单调递减，
故2
11()2
x y -=在[0,)+∞上单调递增.
故答案为：[0,)+∞
【点睛】本题考查了复合函数的单调性，记住同增异减是解题的关键. 14.
函数y =
的定义域为_______________。

【答案】3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意结合函数的定义域得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.
【详解】由函数的解析式可得：()0.5430log 430x x ->⎧⎨->⎩，解得：34
31
4
x x ⎧
>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，
综上可得，函数的定义域为：3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 15.已知函数2
1(0)
(1)2(0)
x x f x x x x -≥⎧+=⎨+<⎩，若()0f m =，则m =_____. 【答案】2或-1 【解析】 【分析】
先计算得到2
2(1)
()1(1)x x f x x x -≥⎧=⎨
-<⎩
，讨论m ≥1和1m <两种情况，计算得到答案. 【详解】221(0)2(1)
(1)()2(0)1(1)x x x x f x f x x x x x x -≥-≥⎧⎧+=∴=⎨⎨+<-<⎩⎩
当m ≥1时，2(0)2f m m m =-=∴=；
当1m <时，2
1()01f m m m =-=∴=-或1m =（舍去） 综上所述：2m =或1m =- 故答案
：2或-1
【点睛】本题考查了分段函数求值，多解或漏解是容易发生的错误.
16.已知函数16
()log f x x =，58,2()33,2
x x x g x x --≤⎧=⎨->⎩，若(())10f g x +≥，则x 的取值范围
为 ______.
【答案】34x ≤<或2x = 【解析】 【分析】
讨论2x ≤和2x >两种情况，代入计算得到答案. 【详解】函数
16
()log f x x =，58,2()33,2
x
x x g x x --≤⎧=⎨->⎩
当2x ≤时：()16
(())1log 8102f g x x x +=-+≥∴≥ 考虑定义域：808x x ->∴<，故2x =； 当2x >时：(
)
516
(())1log 3
3103x
f g x x -+=-+≥∴≥
考虑定义域：53304x x -->∴<，故34x ≤<. 综上所述：34x ≤<或2x = 故答案为：34x ≤<或2x =
【点睛】本题考查了分段函数不等式，忽略掉定义域是容易发生的错误.
17.已知()|31|f x x =-，对于任意的实数,m n ，()()g x f x m n =++在区间00[,2]x x +上的最大值和最小值分别为M 和N ，则M N -的取值范围为______. 【答案】[3,6] 【解析】 【分析】
题目等价于()|31|f x x =-在区间00[,2]x x +上M N -的取值范围，分类013
x ≥
， 05133x -<<，05
3
x ≤-三种情况，分别计算得到答案.
【详解】()()g x f x m n =++表示()f x 向左平移m 个单位，向上平移n 个单位.
不影响M N -的取值范围，等价于()|31|f x x =-在区间00[,2]x x +上M N -的取值范围. 画出函数图像：
当01
3x ≥
时：()00132136M N x x -=+-+=-； 当051
33
x -<<时：(){}
00max
3321,1
306M N x x <-=+--<-；
当05
3
x ≤-时：()00132631M N x x -+=-+=-.
综上所述：[3,6]M N -∈ 故答案为：[3,6]
【点睛】本题考查了函数的最大值最小值，等价转化和分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.
三、解答题（本大题共4小题，每题13分，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.已知{}
2
|230A x x x =--≥，{
}
2
22
|log 30B x x x =--≥，
{}
210C x x ax a =-+->
（1）求()R C A B I ；
（2）若()A C C ⋃⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）1
(0,]2
；（2）04a << 【解析】 【分析】
（1）计算(,1][3,)A =-∞-⋃+∞，1(0,][8,)2B =⋃+∞，再计算()R C A B I 得到答案.
（2）根据题目得到A C ⊆，讨论2a >，2a =，2a <三种情况得到答案.
【详解】（1）{}
2|230(,1][3,)A x x x =--≥=-∞-⋃+∞，
{}
{}22221|log 30|(log 3)(log 1)0(0,][8,)2
B x x x x x x =--≥=-+≥=⋃+∞， R
C A =(1,3-），R C A B ⋂1(0,]2=. （2）A C C A C ⋃⊆∴⊆
210(1)[(1)]0x ax a x x a -+->∴--->
当2a >时：C =(,1)(1,)a -∞⋃-+∞，则13a -<，所以24a <<
当2a =时：C =(,1)(1,)-∞⋃+∞，满足A C ⊆则2a =符合
当2a <时：C =(,1)(1,)a -∞-⋃+∞，则11a ->-，所以02a <<
综上知a 的取值范围为04a <<
【点睛】本题考查了集合的运算和集合间的关系，意在考查学生的计算能力及分类讨论的数学思想，属于中档题.
19.已知函数2()4
x b f x x +=+为奇函数. （1
）求log ((2f f +的值；
（2）写出()f x 的单调增区间并用定义证明.
【答案】（1）0；（2）增区间为[2,2]-，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数为奇函数计算得到0b =，再代入数据计算得到答案.
（2）设1222x x -≤<≤，计算2112212221()(4)()()0(4)(4)x x x x f x f x x x ---=
>++判断得到答案. 【详解】（1）已知2()4x b f x x +=
+为奇函数(0)00f b ∴=∴=，所以2()4x f x x =+，
log ((2f f +
=(0f f +=.
（2）()f x 的单调增区间为[2,2]-，证明：设1222x x -≤<≤
21()()f x f x -=2224x x +1214x x -+ 21122221()(4)(4)(4)
x x x x x x --=++ 因为210x x ->，2140x x ->，所以21122221()(4)0(4)(4)
x x x x x x -->++ 21()()f x f x >，∴函数()f x 在[2,2]-上单调递增
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
20.已知函数()||f x x x a =-.
（1）当2a =时，求方程()1f x =的根；
（2）若方程()1f x =有两个不等的实数根，求a 的值.
【答案】（1
）1,211x x ==，（2）2a =
【解析】
【分析】
（1）讨论2x ≥和2x <两种情况，分别计算得到答案.
（2）解方程得到1a x x =±，讨论1a x x =-和1a x x
=+两种情况得到答案.
【详解】（1）当2a =时，()1f x =∴21x x -= 2x ≥时：2(2)12101x x x x x -=∴--=∴=± 2x <时：2(2)12101x x x x x -=∴-+=∴= 综上所述：方程的根为121,1x x ==（2）()1f x =∴110x x a x a x
-=∴-=>，所以0x > 111x a x a a x x x x
-=∴-=±∴=± 对于1a x x =-：因为函数1y x x
=-在(0,)+∞单调递增，所以方程1a x x =-均有一根， 所以方程1a x x
=+在(0,)+∞恰好要有一个根，所以2a =
综上所述：方程()1f x =有两个不等的实数根时2a =.
【点睛】本题考查了方程的解的问题，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.
21.已知函数1()2
x f x =，2()23g x ax x =+-. （1）当1a =时，求函数[()]
f g x 的单调递增区间、值域； （2）求函数[()]g f x 在区间[2,)-+∞的最大值()h a .
【答案】（1）增区间为(,1]-∞- ，(0,16]；（2）1165()4()113()4a a h a a a
⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩ 【解析】
【分析】
（1）利用复合函数的单调性计算得到单调性，再计算值域得到答案.
（2）设1()2
x t f x ==
，2()23g t at t =+-，讨论0a =，0a >，0a <三种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）当1a =时，1()2x f x =
为单调递减函数，2()23g x x x =+-的单调减区间为(,1]-∞-. 所以函数2231
[()]2x x f g x +-=的单调递增区间为(,1]-∞-
22()23(1)4g x x x x =+-=+-[4,)∈-+∞，所以[()]f g x 值域为(]0,16.
（2）令1()2x t f x ==
(0,4]∈，即求()g t 在(0,4]上的最大值()h a 对于2()23g t at t =+-，
当0a =时：()23g t t =-，在(0,4]上单调递增，所以()(4)5h a g ==；
当0a >时：对称轴为10t a
=-
<，在(0,4]上单调递增，所以()(4)165h a g a ==+； 当0a <时：对称轴为10t a =-> 14a -≥，即104
a -≤<时，在(0,4]上单调递增，所以()(4)165h a g a ==+；14a -<，
即14a -
>时，在1(0,]a -上单调递增，1(,4]a
-上单调递减， 所以11()()3h a g a a =-=-- 综上所述：()1165,4113,4a a h a a a
⎧+≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩ . 【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，最大值，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力.。