2018-2019学年高一下学期3月月考数学试题
市中区一小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷(2)
市中区一小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）□3>20，□里不能填（）。
A. 1B. 2C. 32．（5分）二（1）班有女生26名，男生比女生少4名，男生有多少名？（）①26＋4＝30（名）②26－4＝22（名）3．（2分）8只笔，每个同学2只，可以分给（）个同学。
A.1B.2C.3D.44．（2分）5个盒子能装下这些菠萝吗？（）A. 能B. 不能C. 无法确定5．（2分）9角+5元=（）A. 5元9角B. 14元二、判断题6．（2分）妈妈买土豆花了5元3角，买豆角用了3元7角，一共要付8元钱。
7．（2分）一盒彩笔4元8角，小明给了售货员10元钱，应找回6元2角钱。
8．（2分）最小的两位数10，最小的三位数是100。
9．（2分）张老师买篮球用了62元，买乒乓球用了1元，买篮球的钱比买乒乓球的球多得多。
10．（2分）小玲有5元4角钱，买书花了3元9角，她还剩2元5角钱。
三、填空题11．（9分）填一填12.36元=________元________角________分7.06元=________元________角________分0.65元=________角________分11元2角=________元12．（8分）写一写，读一读。
（1）写作：________读作：________（2）写作：________读作：________（3）写作：________读作：________（4）写作：________读作：________13．（9分）在括号里填上合适的数。
3元=________角 8角=________分 6元7角=________角4元=________角 5角=________分 70分=________角90角=________元 6元7角-1元9角=________元________角14．（4分）猜猜我是谁?我是由4个十和6个一组成的。
2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终xOy αO x 边过点，则的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．1D ．77-17-【答案】D【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点，可得，()4,3P 3tan 4α=所以.3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--故选：D2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()310AE AB AC=+D BC A ．B ．C ．D ．37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.2AB AC AD += 35AE AD=【详解】因为为边的中点，所以，D BC 2AB AC AD +=因为，所以，()310AE AB AC=+35AE AD = 则．23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位），其中是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i ,xy i x y +A ．5B C ．D ．2【答案】A 【详解】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0lnMv v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.()kg m ()kg M Mm 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷40018流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相23900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s1800m/s2100m/s【答案】C【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为，最大速度为，0v v 则，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()09002700552ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003v ==+-+-，27002700180)0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =≈=-⨯-⨯故选：C.5．已知集合，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)∞+[25)(5,)+∞【答案】B【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由有意义可得，得，所以，2log (5)y x =-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得，当且仅当时，等号成立，所以，0x >12y x x =+≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．y x =sin y x=3y x =-12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.3y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值3()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x3.27 1.570.61-0.59-0.260.420.35-0.56-0y101.63-10.04-0.270.260.210.200.22-0.03-0下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0【答案】B【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．a 【详解】由，则，故，(0)0f =0d =3()f x ax cx =+所以且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；()f x [0.56,0.59]根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2πB ．函数的最大值为2()f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为()f x 12π()sin 2g x x=【答案】C【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项【详解】对于A 和B ，()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，()f x 22ππ=()f x 对于C ，当时，，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；sin y x =,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为()f x 12π，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d+>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc>0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的()()2cos 20f x x x ωωω=+>2π()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）x 3π()g x A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,04π⎛⎫⎪⎝⎭()g x C ．是奇函数D ．在区间上的值域为()g x ()g x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后ω()g x 根据余弦函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以()()2cos 20f x x x ωωω=+>，因为函数的()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，2π，，所以，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故2sin 22cos 236()2sin 22g xx x x πππ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于D ：因为，所以，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB11．已知，，，则（ ）0a >0b >21a b +=A ．B ．CD54a b +<1a b ->-12b ≤≥【答案】BCD【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.【详解】因为，所以，所以；2,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为，取等号时满足，故A 错误；221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==B ．因为，故B 正确；22215151112424a b b bb ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为，取等号时C 正确；12b ==≤1,2a b ==D ．因为，只需证，20b -<≥()2132a b ≤-()232a b ≤-即证，即证，即证，()()22312b b -≤-24410bb -+≥()2210b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2210b -≥31,42a b ==故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭sin cos a b θθ--几何意义去进行求解并判断.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()f x 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．若，则__________．π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.425-【分析】根据诱导公式进行求解.【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.25-14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.ϕ=【答案】34π【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故可得，解得，sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Zπϕπ+=∈解得；又因为，,4k k Zπϕπ=-∈()0,ϕπ∈故可得.34πϕ=故答案为：.34π【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1sin cos 2αααα+=-tan 2α【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-，∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-即，tan 1tan 112αα-+=tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===--故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，.6CAB π∠=ABC 2DC =3DA =____．sin D =【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．2sin()sin sin 1.2A C B B B π+=⇒=∴=由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，,2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为C 值.()+3sinD D D φ=-详解： ，由正弦定理得到cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为21312cos AC D =-212AC AC AC D ==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．四、解答题17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测A B C P αβγ得，，，，，.计划沿直线开通一条穿山15α=45β= 30γ=5km 2AD =1km2EB =1km BC =AC隧道，试求出隧道的长度.DE【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得PBC 12sin15PB =PAB的长度3AB =+DE 【详解】在中，，，.PBC 30C γ∠==15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，sin sin BC PBCPB C =∠∠即，所以.1sin15sin30PB=12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==45ABP β∠== 所以.180120APB A ABP ∠=-∠-∠=由正弦定理，sin sin BP ABA APB =∠∠所以，2sin1202sin 15AB =3==+所以DE AB AD EB =--51322=+-=所以隧道的长度为.DE 18．已知函数的部分图像如图所示.()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（Ⅰ）求函数的解析式，并写出的单调减区间；()f x ()f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.ABC ∆,,A B C A 14,cos sin 21225A f B Cπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π[π,π],.63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到π()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π[π,π],.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知,1sin 2A =根据角为锐角,得到.A π6A =进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当时，，可得π6x =πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为所以故 π,2ϕ<π.6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为π2π[π,π.63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴.A π6A =，.0πB <<.【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =(1)求；tan B(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC【答案】(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将sin sin()A B C =+代入，由即可求解；1cos 3C =sin tan cos BB B =（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，sin B cos B 2ab =c =在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C+==+由，得1cos C 3=sin C==所以，即12sin sin 3B B B=sintan cos B B B ==（2）由，可得，22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧==⎪⎨⎪+=⎩sin B =cos B =在中，由正弦定理得，且ABCsin sin c bC B ==2a b=所以，sin sin b C c B ===在中，由余弦定理得：，CMB 2222cos 59MB BCMB BC B CM +-⋅==，222112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪⎝⎭所以，22259a a ⎫+-⋅=⎪⎪⎭所以，可得25959108a =a =b =11sin 22ABC S ab C ==⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C △△a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c a c a B化简整理为，解得22230--=c c 1=+c所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=21．已知函数.()sin 2+sin(2)3f x x x π=-(1)求的最大值及相应的值；()f x x (2)设函数，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，g()()4x f x π=,,P M N ()y gx =求的值.cos MPN ∠【答案】(1)；1,Z12x k k ππ=+∈【分析】（1）整理函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）利用题意求得，在直角中，即可求解.PM MN PN ===MPN △【详解】（1）解：由题意，函数()1sin2sin22f x x x x =+-，1sin2sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数的最大值为，此时，即.()f x ()max 1f x =2232x k πππ+=+,Z12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭过作轴于，D MD x ⊥D因为 所以，可得，1PD DM ==90PMN ∠=PM MN PN ==在直角中，可得MPN △cos PM MPN PN ∠===22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；52(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．2B 2A 92【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.15-【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.由余弦定理得cos C ＝＝＝－.(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·＋sin B ·＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。
高一下学期第一次月考数学试卷 (20)
高一学年三月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0}B ．{0，1}C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2} 2.下列函数为奇函数的是 ( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x3.已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝ ( )A ．－1213B ．－513 C.513 D .12134.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫430.4，c ＝log 34(log 34)，则 ( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b5.向量a ＝(1，－1)，b ＝ (－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝ ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 6.已知三角形ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，4b =，则a = （ ）A ．2B ．C ．．7.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =，且b c <，则b = （ ）A ．2 C ．．3 8.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ( ) A ．8B ．10C ．12D ．149. 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （ ）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n + D ． (1)2n n -10.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 2:5:6A B C =，则ABC ∆是 （ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形11. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．12D ．1312. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 14.在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.15.设数列n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=__________.16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=-，且4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．18.（本题满分12分）已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且4a =，c =，sin 4sin A B =.（1）求边b的长；（2）求角C的大小.19.（本题满分12分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,cos,4b c A-==-（I）求a和sin C的值;（II）求πcos26A⎛⎫+⎪⎝⎭的值.20.（本题满分12分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4Aπ=，22b a-=122c.（1）求tan C的值；（2）若ABC∆的面积为3，求b的值.21.（本题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为12，满足S3＝15，a1＋2b1＝3，a2＋4b2＝6.(1)求数列{a n}，{b n}的通项a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.22.（本题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0， 3422+=+n n n S a a . （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=错误!未找到引用源。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
2022-2023学年云南省红河州个旧市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省红河州个旧市高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{20}A xx =+>∣{2,1,0,1}B =--A B = A ．B ．C ．D ．[]2,1-(]2,1-{}2,1,0,1--{}1,0,1-【答案】D【分析】先求出集合A ，利用交集定义能求出.A B ⋂【详解】解：∵，，{20}{2}A xx x x =+>=>-∣∣{2,1,0,1}B =--∴.{1,0,1}A B =- 故选：D2．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（ ）6π3πA ．B ．C ．D ．4π23π6π3π【答案】D【分析】根据面积公式可得出半径，进一步求出弧长．【详解】由扇形面积公式得212S r α=，21326r ππ=⋅⋅，2r ∴=，263l r ππα∴==⨯=故选：D ．3．已知函数f （x ）=3x +2x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．）B ．C ．D ．(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)【答案】B 【分析】判定函数在定义域上为增函数,再求,,即可判断零点的位()32x f x x=+()10f -<() 00f >置在区间(-1,0)【详解】由函数,易证在定义域R 上为增函数,又因为,,()32xf x x =+()11203f -=-<() 010f =>可得函数的零点所在的区间为(-1,0).()32x f x x=+故选:B.【点睛】本题考查了函数零点位置的判断,判断函数的单调性是解题的关键,属于一般难度的题.4．设，则a ，b ，c 大小关系为（ ）0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a>>【答案】C【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得，，的范围即可得答案．a b c 【详解】，，200. 1.211.2a >== 1.200.90.91b =<=，b a ∴<又在上单调递增，0.2y x =(0,)+∞，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b a c ∴<<故选：C ．5．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）θ()1,M m sin θ=2sin cos sin cos θθθθ-+A ．0B ．C ．D ．54543【答案】D【分析】首先根据三角函数的定义求，再求正切，最后根据的齐次分式化简求值.m sin ,cos θθ【详解】由条件可知，所以，r =0m <sin θ==解得：，2m =-所以，tan 2m θ==-.2sin cos 2tan 15sin cos tan 1θθθθθθ--==++故选：D6．已知，，则的值为（ ）2tan()5αβ+=1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．32223【答案】C【分析】由，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】.()tan tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()21tan tan 3454212211tan tan 544παββπαββ⎛⎫+---⎪⎝⎭===⎛⎫+⋅++- ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是明确已知角与所求角之间的关系.7．设向量，，则是的条件．11(,)a x y =22(,)b x y =1122x y x y =//a b A ．充要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据向量共线得坐标表示，从充分性和必要性两方面进行判断即可.【详解】若则，1122x y x y =12210//x y x y a b -=∴，若，有可能或为0，//a b2x 2y 故是的充分不必要条件.1122x y x y =//a b故选：.C 【点睛】本题考查充分比不要条件的判断，涉及向量共线的坐标表示，属基础题.8．如图，已知，，共线，且向量，则（ ）A B C 4AC BC =A ．B ．4155OB OA OC=+1455OB OA OC=+C ．D ．3144OB OA OC=+ 1344OB OA OC=+ 【答案】D【分析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.34AB AC=【详解】因为，，，三点共线，所以，4AC BC = A B C 34AB AC=OB OA AB =+ 34OA AC =+ ()34OA OC OA =+- 3344OA OC OA =+-1344OA OC =+ 所以.1344OB OA OC=+故选：D.二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d +>+,a b c d >>，ac bd>C ．若则D ．若则a b >，22ac bc >0,0,a b c <<<c ca b <【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；C a b >，0c =22ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c ca b <D 故选：.AD 10．有如下命题，其中真命题为（ ）A ．若幂函数的图象过点，则()y f x =12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()132f >B ．函数（且）的图象恒过定点()11x f x a -=+0a >1a ≠()1,2C ．函数在上单调递减()21f x x =-()0,∞+D ．己知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．a b 3π42a = 3b = a b 【答案】BD【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B 选项，根据指数函数恒过定点即可得到；C 选项，根据二次函数的单调性可以判断；D 选项，由投影向量知识可算得.(0,1)【详解】对A 选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解y x α=12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭122α=得，则，，故A 选项错误；1α=-1y x -=11(3)32f =<对B 选项，函数的图象恒过定点，故B 选项正确；1()1(0,1)x f x a a a -=+>≠(1,2)对C 选项，函数在上单调递增，故C 选项错误；()21f x x =-()0,∞+对D 选项，在方向上的投影向量,故D 选项正确.a bcos 23b b a b θ⎛⋅=⨯⨯= ⎝故选：BD.11．下列结论错误的是（ ）A ．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R ；()20y ax bx c a =++≠20ax bx c ++>B ．不等式在R 上恒成立的条件是且；()200ax bx c a ++≤≠a<0240∆=-≤b ac C ．若关于x 的不等式的解集为R ，则；210ax x +-≤14a -≤D ．不等式的解为.11x >1x <【答案】AD【分析】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A 、B 、C 正误即可，对于D 将不等式化为求解集即可.10xx ->【详解】A ：函数不存在零点，若则解集为R ，若则解集为空集，错误；0a >a<0B ：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x 轴有一个交点，故，a<02Δ40b ac =-≤正确；C ：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得0a =1x ≤0a ≠0140a a <⎧⎨∆=+≤⎩，正确；14a -≤D ：，解得，错误；1110x x x --=>01x <<故选：AD12．若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）1()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕπ=+>><<A ．()2sin 23()3f x x π=+B ．的图象的一个对称中心为()f x 7(,0)2π-C ．的单调递增区间是，()f x 5[3,3]44k k πππ-π-Zk ∈D ．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象π()2sin()3g x x =+23()f x 【答案】AB【分析】根据图像求出的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：()f x 对于A ，根据图像求出的解析式进行判断；()f x 对于B ，利用代入法进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断.【详解】由题图可知，函数的最小正周期，故，解得2A =()f x 4()34T π=⨯π-=π24312T ωωππ===π，所以，又函数的图象经过点，所以，43ω=2()2sin()3f x x ϕ=+()f x (,2)4π(2sin(2)2434f ϕππ=⨯+=即，因为，所以，所以，解得，所以sin()16πϕ+=02πϕ<<2663ϕπππ<+<62ππϕ+=3πϕ=，故A 正确；()2sin 23()3f x x π=+因为，所以的图象的一个对称中心为，故B 正2377()2sin[()2sin(2)0223f πππ-=⨯-+=-π=()f x 7(,0)2π-确；令，，解得，，所以的单调递增区间2222332πππk πx k π-≤+≤+Z k ∈5ππ3π3π44k x k -≤≤+Z k ∈()f x 是，，故C 错误；5[3,3]44k k πππ-π+Z k ∈把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的π()2sin()3g x x =+2332sin()23y x π=+图象，故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题.sin y x =cos y x =三、填空题13．命题“”的否定是_______.2,10x R x ∃∈+<【答案】.2,10x R x ∀∈+≥【分析】根据特称命题的否定为全称命题，直接写出答案即可.【详解】易知命题“”的否定是“”.2,10x R x ∃∈+<2,10x R x ∀∈+≥故答案为：.2,10x R x ∀∈+≥14．已知向量，，若，则__________．(1,2)=- a (,2)b x = a b ⊥|2|a b -=【答案】【分析】根据向量垂直的坐标表示求得参数，再根据向量的模的计算可得答案.【详解】由，，，得，解得a b ⊥(1,2)=- a (,2)b x = 40x -=4,x =所以，，所以(4,2)b = 2(2,6)a b -=-- |2|a b -=故答案为：.15．若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩(),∞∞-+m 【答案】(0,3]【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的1y mx m =+-(),0∞-m 取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩(),-∞+∞∴函数在区间上为增函数，1y mx m =+-(),0∞-∴，解得，001212m m >⎧⎨-≤+=⎩03m <≤∴实数的取值范围是．m (0,3]故答案为．(0,3]【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每()f x (),-∞+∞一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16．已知函数，若函数无零点，则实数的取值范围是3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<()y f x k =-k ________．【答案】3lg2k <【详解】试题分析：∵函数，故函数在上是增函数，在3lg ,2(){3lg(3),2x x f x x x ≥=-<()f x 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数．故当时，有最小值为．由题意可得，函数的图象与直线32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，32x =()f x 3lg 2()f x 无交点，∴．故实数的取值范围是．y k =3lg2k <k 3lg2k <【解析】1．函数零点；2．函数的单调性．【思路点睛】本题考查函数零点的定义，函数的单调性以及最小值，体现了转化的数学思想，利用函数的单调性求出函数的最小值，由题意可得，函数的图象与直线无交点，故只()f x ()f x y k =要小于的最小值即可．k ()f x 四、解答题17．化简求值：(1)已知化简．()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f α(2)．20338πsin log lg 25lg 4275-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)()cos f αα=-(2)234【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可；（2）应用指对数的运算性质化简求值.【详解】（1）.()()()()()3πsin πcos 2πcos sin cos sin 2cos πsin sin cos sin π2f αααααααααααα⎛⎫---+ ⎪⋅⋅-⎝⎭===-⋅⎛⎫--- ⎪⎝⎭（2）.202338π219123sin log lg 25lg 41lg1001227532424--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．在锐角中，角的对边分别为．ABC A B C ，，a b c ，，2sin 0b C -=（1）求角的大小；B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．ABC 条件①；条件②：．2b a ==24a A π==，注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．3B π=【分析】（1，进而得，再结合锐角三2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面22230--=c c 1=+c 积公式计算即可；条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得bsin C =进而根据三角形的面积公式求解.【详解】解（1．2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=因为，所以．0,,sin 02C C π⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为，所以．0,2B π⎛⎫∈⎪⎝⎭3B π=（2）条件①：；2b a ==因为，由（1）得，2b a ==3B π=所以根据余弦定理得，2222cos =+-⋅⋅b c ac a B 化简整理为，解得22230--=c c 1=+c 所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=条件②：24a A π==，由（1）知，，π3B =4A π=根据正弦定理得，sin sin b aB A =所以sin sin ⋅==a Bb A 因为，512C A B ππ=--=所以5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积ABC 1sin 2=⋅=S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得，进而结合锐角三角形即可得sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.3B π=19．已知，且.将表示为的函数，若记此函数为()()2cos ,1,cos ,m x x n x y =+=- m n ⊥ y x ，()f x （1）求的单调递增区间；()f x （2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不()f x 6π变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.()g x ()g x []0,x π∈【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【详解】试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函f x （）数的递增区间即可；（2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即g x （）可．试题解析：（1）由得，mn ⊥ 22cos cos 0m n x x x y ⋅=+-=所以. 22cos cos 1cos22sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭由得，222,262k x k k Zπππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Zππππ-+≤≤+∈即函数的单调递增区间为2sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意知()2sin 16g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为， []50,,,666x x ππππ⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎣⎦故当时， 有最大值为3； 62x ππ-=()g x 当时， 有最小值为0.66x ππ-=-()g x 故函数在上的最大值为3，最小值为0.()g x []0,x π∈20．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：()11,A x y ()22,B x y ()1212,d A B x x y y =-+-()cos ,A B =()1cos ,A B -(1)若，，求A ，B 之间的曼哈顿距离和余弦距离；()1,2A -34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),d A B (2)已知，，，若，，()sin ,cos M αα()sin ,cos N ββ()sin ,cos Q ββ-()1cos ,5M N =()2cos ,5M Q =求的值tan tan αβ【答案】(1)，1451(2)3-【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到，，计算得到答案.1sin sin cos cos 5αβαβ+=2sin sin cos cos 5αβαβ-=【详解】（1），()3414,12555d A B =--+-=，故余弦距离等于()34cos ,55A B ==()1cos ,1A B -=（2）()cos ,M N =；1sin sin cos cos 5αβαβ=+=()cos ,M Q =+2sin sin cos cos 5αβαβ=-=故，，则.3sin sin 10αβ=1cos cos 10αβ=-sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==-21．某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y （单位：万元）与年产量x （单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫25150,02064003011700,20x x x y x x x ⎧+≤<⎪=⎨+-≥⎪⎩情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润t （单位：万元）关于年产量x 的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)25150500,020********,20x x x t x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)8000台，1040万元【分析】（1）分别求出和时的解析式，即可得到年利润t （单位：万元）关于年产020x ≤<20x ≥量x 的函数解析式；（2）分别求出和时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润.020x ≤<20x ≥【详解】（1）当时，；020x ≤<()2230051505005150500t x x x x x =-+-=-+-当时，.20x ≥6400640030030117005001200t x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.25150500,020********,20x x x t x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，020x ≤<()225150500515625t x x x =-+-=--+故当时，t 取得最大值，为625，15x =当时，因为，20x ≥6400160x x +≥=当且仅当，即时等号成立，6400x x =80x =所以，6400120012001601040t x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭即当时，t 取得最大值，为1040，80x =综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.22．已知函数．2()(2)3f x x a x a =--+-（1）若f （a ＋1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5－a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）1或；（2）；（3）存在， ，.32-(,6]-∞2n =1m =-【分析】（1）根据已知条件，得到解方程即可()()()221(2)1322(2)3a a a a a a a a +--++-=--+-求出结果；（2）由于的对称轴为，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求()f x 22a x -=出最小值即可；（3）根据题意转化为是方程的两个根，结合韦达定理得到，,m n 2(2)3x a x a x --+-=2m n mn +=+分离常数，根据m 、n 为整数即可求解.【详解】（1）因为，且，2()(2)3f x x a x a =--+-()(1)2f a f a +=所以，()()()221(2)1322(2)3a a a a a a a a +--++-=--+-整理得，解得或；2230a a +-=1a =32-（2）的对称轴为，2()(2)3f x x a x a =--+-22a x -=因为，[]2,3x ∈①若，即，则在上单调递增，所以222a -≤6a ≤()f x []2,3x ∈，符合题意；2min ()(2)22(2)35f x f a a a ==--+-=-②若，即，则在上单调递减，在单调递增，所以2232a -<<68a <<()f x 22,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭2,32a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则，与矛盾，22min 222816()((2)352224a a a a a f x f a a a ----+-⎛⎫==--+-==- ⎪⎝⎭6a =68a <<不符合题意；③，即，则在上单调递减，232a -≥8a ≥()f x []2,3x ∈所以，则，与矛盾，不符合题意；2min ()(3)33(2)31225f x f a a a a ==--+-=-=-7a =8a ≥综上，因此实数a 的取值范围为；6a ≤(,6]-∞（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]，①若，则在上单调递增，所以，即是方程，22a m -≤()f x [],m n ()()f m mf n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩,m n 2(2)3x a x a x --+-=即的两个根，由韦达定理得，所以，所以2(1)30x a x a --+-=13m n a mn a +=-⎧⎨=-⎩2m n mn +=+，当时，不存在，舍去，()12m n n -=-1n =m 当时，，所以当时，；当时，，1n ≠21111n m n n -==+--0n =2m =2n =0m =又因为，所以，，经检验，此时，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是m n <2n =0m =3a =[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若，则在上单调递减，在上单调递增，所以22a m n -<≤()f x 2,2a m -⎛⎫ ⎪⎝⎭22a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，即，()()22a f m fn n f m n ⎧-⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨=⎪⎪=⎩22222(2)322(2)3(2)3a a a a m n a n a n m a m a n ⎧--⎛⎫--⋅+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪--⋅+-=⎨⎪--⋅+-=⎪⎪⎩所以，即有两个不相等的实数根，且2228164(2)3(2)3a a m n a n a nm a m a n ⎧-+-≥⎪--⋅+-=⎨⎪--⋅+-=⎩2(2)30x a x a n --⋅+--=，由于为整数，则为整数，则2m n a +=-,m n a 231=211n n a n n n +-=+---当时，，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍0n =3,1a m ==-去；当时，，经检验符合题意；2n =3,1a m ==-故，；1m =-2n =③若，则在上单调递减，所以，22a n -≥()f x [],m n ()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩即，则，不合题意舍去.22(2)3(2)3m a m a n n a n a m ⎧--⋅+-=⎨--⋅+-=⎩m n =综上：存在这样的为整数，且，.,m n 1m =-2n =【点睛】动轴定区间型二次函数最值得方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点值对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终的结果.。
岷县二小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
岷县二小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题1．（5分）一个加数是54。
另一个加数比它少7。
另一个加数是多少？①54＋7＝61 ②54－7＝472．（2分）一张5元和一张2角的人民币合起来是（）元。
A. 5.20B. 5.02C. 2.50、3．（2分）个位上是7的两位数一共有（）个。
A. 10B. 9C. 14．（5分）二（1）班有女生26名，男生比女生少4名，男生有多少名？（）①26＋4＝30（名）②26－4＝22（名）5．（2分）2元和（）角同样多。
A. 20B. 200C. 2二、判断题6．（2分）十位上的数比个位上的数小。
（）7．（2分）比23多4的数是27。
8．（2分）读数和写数都要从个位起。
9．（2分）搭一个五边形最少需要5根小棒。
10．（5分）4元3分可以写成4.3元．三、填空题11．（10分）在正确答案下面画“√"。
（1）小丽可能多少千克?（2）一个电饭煲可能多少元?12．（10分）口算56＝50＋________ 78＝________＋869＝________＋________ 42＝________＋________27＝________＋________ 55＝________＋________13．（4分）猜猜我是谁?我是由4个十和6个一组成的。
________我加上我是40。
________我是最小的两位数。
________我是29后面的一个数。
________14．（8分）算一算。
7元+3元=________ 8角3分-4角=________8分+2分=________ 9元3角-2元3角=________4角6分-6分=________ 7角2分+5分=________6角+2角3分=________ 3角7分-________分=30分15．（5分）填一填。
2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月第一次月考质量检测数学试题
2023-2024学年安徽省滁州市定远县高一下册3月第一次月考数学试题一、单选题1．已知411iz -=+，则z =（）AB ．13CD．【正确答案】A 【分析】求得5i1i z +=+，由模的性质可得结果.【详解】依题意得()41i 41132i 1i 2z -=+=+=-+，所以z ==故选：A.2．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】利用向量坐标运算可得AB和AB ，由此可知所求向量为AB AB -.【详解】()3,4AB =-，5AB ∴= ，∴与向量AB 的方向相反的单位向量为34,55AB AB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：A.3．设a 、b 、c为非零向量，若a b cp ab c=++，则p 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]1,2C ．[]0,3D ．[]1,3【正确答案】C【分析】求出p的最大值和最小值，可得出结果.【详解】解：a a 、b b 、c c 分别为a 、b 、c方向上的单位向量，则3a b cp ab c=++≤，当且仅当a 、b 、c 方向都相同时，等号成立，作a OA a = ，bOB b =，cOC c = ，当23AOB BOC COA π∠=∠=∠=时，如下图所示：以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAEB ，则该四边形为菱形，且3AOE π∠=，所以，AOE △为等边三角形，且1OE =，又因为23AOC π∠=，1OC = ，由图可知，0OC OE += ，即0p OA OB OC =++= ，综上所述，03p ≤≤ .故选：C.4．设a 、b 是两个平面向量，则“a b =”是“a b =r r ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.【详解】充分性：若a b =，则a 、b 方向相同且a b =r r，充分性成立；必要性：若a b =r r ，但a 、b 的方向不一定相同，即a 、b 不一定相等，必要性不成立.因此，“a b =”是“a b =r r”充分而不必要条件.故选：A.5．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2CD DB = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．1233b c+C ．2133b c-D ．1233b c-【正确答案】B【分析】由向量的运算法则求解【详解】∵2CD DB =，∴23CD CB = ，而()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=+，故1233AD b c =+ ，故选：B6．在ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，则BC CA ⋅的值等于（）A ．20B ．20-C ．D ．-【正确答案】B【分析】由题意得BC 与CA的夹角为120︒，由数量积公式直接计算即可得到答案.【详解】ABC 中，5BC =，8AC =，60C ∠=︒，BC 与CA的夹角为120︒，则1=cos12058202BC CA BC CA ⎛⎫⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B本题考查两个向量数量积的计算，属于简单题.7．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a = ，AD b = ，E 为BF 的中点，则AF =（）A ．3455a b+ B ．4355a b+C ．1233a b+D ．2133a b+【正确答案】A【分析】根据向量数乘和加减法法则，结合几何图形即可求解.【详解】()1124AF AB BF AB BC CF AB AD AE AB AD AB AF =+=++=+-=+-+，即()14AF AB AD AB AF =+-+ ，∴53344455A F a b b A a F =+⇒=+．故选：A ．8．已知,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，AB =32OC OA OB =-，M 为线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为（）A ．14B ．12C ．34D ．32【正确答案】A根据,A B 是圆22:1O x y +=上的两个动点，且AB = ,OA OB的模和夹角，再由M 是线段AB 的中点，用,OA OB 表示向量OM，然后利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解：,A B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，1OA OB ∴==，又AB =即22AB =,即2cos 2ABBAO OA∠==，即6∠=BAO π，2263AOB πππ∴∠=-⨯=，M 是线段AB 的中点，1122OM OA OB ∴=+ ，()113222OM OC OA OB OA OB⎛⎫∴⋅=+- ⎪⎝⎭223122OA OB OA OB =-+⋅223121111cos 223π=⨯-+⨯⨯⨯14=.故选：A.关键点点睛：本题解题的关键是：利用,A B在圆上以及AB 得到23AOB π∠=.二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=+，则12z z -=【正确答案】ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+，z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1，即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确；对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =，所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD10．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知a ，b 均为非零向量，则//a b ⇔ 存在唯一的实数λ，使得b aλ=B ．若向量AB ，CD共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上C ．边长为1的正方形ABCD 中2BA BC +=uu r uu u rD ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=【正确答案】AD【分析】利用向量共线的概念即可判断A 正确，B 错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C 错误，利用三角形重心的结论即可判断D 正确，问题得解.【详解】对于选项A ，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B ，向量AB ，CD共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A ，B ，C ，D 不必在同一直线上，故B 错误；对于选项C ，边长为1的正方形ABCD中BA BC BD +==uu r uu u rC 错误；对于选项D ，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选：AD.11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足2a b ==，a b += ）A ．2a b ⋅=-B ．a 与b的夹角为π3C ．a b a b-<+ D ．a b - 在b上的投影向量为12br 【正确答案】BC【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】2a b ==，a b += 22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+ ,解得2⋅= a b ,故A 错误·cos ,2a b a b a b ⋅== ,1cos ,2a b a b a b ⋅==，由于()0π，，a b ∈ ，a ∴r 与b 的夹角为π3，故B 正确,22a b a b -=<+=故C 正确a b - 在b 上的投影向量为()21··22b a bb a b b b b b bbb b⋅-⋅-==-=-，故D 错误,故选：BC12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c=，则（）A ．cos cos b A aB +=B ．ABC 周长的最大值为6C ．cos cos BA的取值范围为)+∞D ．AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为23+【正确答案】BD【分析】若cos cos b A a B +，利用余弦定理化简可得c =即可判断A ；由余弦定理结合均值不等式可判断B；利用三角函数恒等变换的应用可得cos 1cos 2B A A =-，根据正切函数的性质即可判断C；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求)23AC AB A π⋅=++ ，进而根据正弦函数的性质可判断D ；【详解】对于A，若cos cos b A a B +=22222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅22c =，解得c =2c =，故A 错误．对于B ，由余弦定理得：()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===，则()()222343324a b a b ab a b +⎛⎫+-=≤=+ ⎪⎝⎭，所以4a b +≤，ABC 周长为46a b c c ++≤+=，所以ABC周长的最大值为6，故B 正确；对于C，222cos()cos cos sin sin cos 1333cos cos cos 2A A AB A AA A πππ-+===-，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A 的取值范围为()(0,,+∞⋃-∞，所以cos cos B A的取值范围为(-∞，12)(2--⋃，)∞+，故C 错误；对于D，由正弦定理得，则sin sin sin 3c a b C A B ===，则b B =，cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= ，23B A π=-，2sin 3AC AB A A π⎛⎫⋅-⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sin cosA A ()121cos22cos22sin22A A A A A A ⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭sin 2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∵203A π<<，4023A π<<，52333A πππ<+<，则当232A ππ+=，即12A π=时，AC AB ⋅2，故D 正确；故选：BD.三、填空题13．已知复数z 满足(12)56i z i -++=-，则||z 的值为_______.【正确答案】10.【详解】分析：根据待定系数法及共轭复数的概念求出复数z ，再求出||z ．详解：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-．∵()1256i z i -++=-，∴()12()(1)(2)56i a bi a b i i -++-=-+-=-，∴1526a b -=⎧⎨-=-⎩，解得68a b =⎧⎨=⎩．∴68z i =+，∴10z ==．点睛：本题考查复数的概念和加减运算，解题的关键是根据待定系数法求出复数z 的代数形式，然后再根据复数模的概念求解．14．在ABC 中，11,.34AD AC AE AB == 若P 为BD CE ，的交点，满足AP xAB yAC =+，则x y +的值为__________．【正确答案】511【分析】利用平面向量三点共线性质可得()114AP AB AC λλ=+- ，()13AP AB AC μμ-=+，从而求得211μ=，进而得到231111AP AB AC =+ ，由此得解.【详解】依题意，得,,E P C 三点共线，所以()()1114AP AE AC AB AC λλλλ=+-=+- ，同理：由,,B P D 三点共线得到()()113AP AB AD AB AC μμμμ-=+-=+，所以1134μλλμ-⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得211μ=，所以231111AP AB AC =+ ，又AP xAB yAC =+，所以211x =，311y =，故511x y +=．故511．15．设()cos sin a αα= ，，()πcos sin 02b ββαβ⎛⎫=<<< ⎪⎝⎭ ，是平面上两个向量，若45a b ⋅= ，且4tan 3β=，则tan α=__________．【正确答案】724【分析】利用平面向量的数量积运算与余弦函数的和差公式得到()4cos 5αβ-=，结合,αβ的取值范围求得()3tan 4αβ-=-，从而利用正切的和差公式展开并代入4tan 3β=即可得解.【详解】因为45a b ⋅= ，所以4cos cos sin sin 5αβαβ+=，则()4cos 5αβ-=，由π02αβ<<<，即π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()3sin 5αβ-==-，则()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==--，所以tan tan 31tan tan 4αβαβ-=-+⋅，即33tan tan tan tan 44αβαβ-=--⋅，把已知4tan 3β=代入，可得4334tan tan 3443αα-=--⨯，解得7tan 24α=，所以7tan 24α=.故724．16．作用于同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知124,5F N F N ==，1F 与2F 之间的夹角是60°，则力3F 的大小为___________N .【分析】根据条件及312||F F F =+=【详解】解：根据题意知，1230F F F ++=,则()312F F F =-+，所以312||F F F =+=．即力F 3．四、解答题17．已知复数()1i 1i z a +=-（R a ∈，i 是虚数单位）.(1)若z 对应的点在虚轴上，求实数a 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第二象限，求a 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)(1,1)-【分析】（1）根据复数的运算法则，求得2211i 11a az a a -+=-++，结合题意列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到2211i 11a a z a a -+=+++，结合题意列出不等式组，即可求解．【详解】（1）由题意，复数()()()()()2221i 1i 11i 1i11i 1i 1i 1i 111a a a a a z a a a a a a ----+--+====-++-+++所以z 对应的点为2211,11aa a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为z 对应的点在虚轴上，所以2101aa -=+，得1a =；（2）由（1）知2211i 11a a z a a -+=+++，z 对应的点为2211,11a aa a-+⎛⎫⎪++⎝⎭，z 在复平面上对应的点在第二象限，可得22101101aa a a -⎧<⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得11a -<<，即实数a 的取值范围为(1,1)-.18．已知a ，b ，c在同一平面内，且()1,2a =r .（1）若c = //a c ，求c ；（2）若b = ()()2a b a b +⊥- ，求a 与b的夹角的余弦值.【正确答案】（1）()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）10.【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x =⎧得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-= ，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=- ，最后由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 即可得解.【详解】（1）设(),c x y = ，因为()1,2a =r ，//a c，c = ，所以2y x =⎧=36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,6c = 或()3,6c =-- ；（2）因为()1,2a =r，所以a r 又()()2a b a b +⊥-，b = 所以()()22225220a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯= ，所以1a b ⋅=- ，所以cos ,a b a b a b ⋅==-⋅ 本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题.19．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60︒的两条数轴，12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量.若12OP xe ye =+ ，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.已知OP 的坐标为(4,2).（1）求||OP 的大小；（2）若OQ 的坐标为(3,2)-，求OP 与OQ 夹角的大小.【正确答案】（1）；（2）120 .【分析】（1）先计算12111122e e ⋅=⨯⨯= ，再由1242OP e e =+ ，平方即可计算模长；（2）由1232OQ e e =-+ ，先计算OP OQ ⋅ ，再由||||OP OQ OP OQ ⋅⋅ 可得夹角的余弦值，从而得解.【详解】（1）12,e e 分别是x 轴和y 轴正方向的单位向量，且夹角为60︒，所以12111122e e ⋅=⨯⨯= ，OP 的坐标为(4,2)，所以1242OP e e =+ ，所以21221122221)161641616428(224OP e e e e e e =+⋅+=+⨯+=+= ，所以||OP == （2）OQ 的坐标为(3,2)-，所以1232OQ e e =-+，||OQ === 2221212112(4232)()122412147OP OQ e e e e e e e e ⋅=-⋅+⋅+=-+=+-++=- ,所以OP 与OQ夹角的余弦值为|12|||OP OQ OP OQ ⋅⋅=- 所以OP 与OQ 夹角的大小为120 .20．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin =+b a C c A .（1）求A 的大小；（2）若3cos 5B =，5BC =，17BD BA = ，求CD 的长.【正确答案】（1）π4A =；（2）CD =（1）由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，再由()sin sin B A C =+，代入得cos sin sin sin A C C A =，可求得A 的大小；（2）由正弦定理sin sin AC BC B A=，求得AC =7AB =，1BD =，利用余弦定理求得答案.【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，所以()sin sin cos sin sin A C A C C A+=+即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，整理得cos sin sin sin A C C A =，因为sin 0C ≠可得cos sin A A =，又0A π<<，所以π4A =；（2）在ABC中，4sin 5B ==，由4sin sin 52AC BC AC B A =⇒=AC =又因为()cos cos cos cos sin sin 10C A B A B A B =-+=-+=，所以2222cos 49AB AC BC AC BC C =+-⨯⨯⨯=，得7AB =，由17BD BA = 得17BD BA =，所以1BD =，所以2222cos 20CD BD BC BD BC B =+-⨯⨯⨯=，所以CD ==.关键点点睛：在运用正弦定理、余弦定理解三角形时，注意由已知条件选择合适的定理，并注意角的范围.21．目前，中国已经过成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原．处处都能见到5G 基站的身影．如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图2，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离MD =x m ，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角β．试问当x 多大时，观测基站的视角∠AMB 最大?参考数据：sin 80.14︒≈，sin 370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．【正确答案】(1)152m ；(2)x =.【分析】（1）先通过正弦定理求出BC ，进而求出BD ，然后求得答案；（2）先表达出tan ,tan αβ，然后结合两角和与差的正切公式得到tan AMB ∠，最后结合基本不等式求得答案.【详解】（1）由题知∠ACB =8°，∠BAC =45°，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，即50sin80sin 45BC =︒︒，所以500.72500.14BC ⨯≈=，在Rt BDC 中，sin BD BCD BC ∠=，即sin 37250BD ︒=，所以2500.6150BD ≈⨯=，所以山高BE =BD ＋DE =150＋1.5=151.5≈152m.（2）由题知AMD β∠=，BMD α∠=，则在Rt BMD △中，150tan BD MD x α==，在Rt AMD △中，200tan AD MD xβ==，由题知AMB βα∠=-，则()tan tan tan tan 1tan tan AMB βαβααβ-∠=-=+220015050200150300001x x x x x x-==++⋅5030000x x =≤+当且仅当30000x x =即x =时，tan ∠ACB 取得最大值，即视角最大．22．已知向量1(1,0)e = ，2(0,1)e = ，动点P 从点0(1,2)P -开始沿着与向量12e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为12e e + ；另一动点Q 从点0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e + 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为1232e e + ，设P 、Q 在0=t 秒时刻分别在0P 、0Q 处．（Ⅰ）经过多长时间PQ 最小？求出最小值；（Ⅱ）经过多长时间后00PQ P Q ⊥ ，求出t 值．【正确答案】（Ⅰ）当1t =（Ⅱ）2t =．【详解】试题分析：（Ⅰ）由题意可得经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，根据模长公式可求得PQ ，再根据配方法求其最值．（Ⅱ）根据向量垂直数量积等于0可求得t 的值．试题解析：解：根据题意得0(1,2)P -，0(2,1)Q --，则00(1,3)P Q =--12(1,1)e e += ，12e e + 1232(3,2)e e += ，1232e e += 经过t 秒后，点P 的位置在(1,2)t t -++，点Q 的位置在(23,12)t t -+-+，（Ⅰ）(12,3)PQ t t =-+-+ ，PQ ==≥ 1t =时取最小值；（Ⅱ）由(12,3)PQ t t =-+-+ ，而00PQ P Q ⊥ ，那么(1)(12)(3)(3)0t t -⨯-++-⨯-+=，解得2t =，故经过2秒钟后，00PQ P Q ⊥ ．1数量积公式，模长公式；2向量垂直．。
2022-2023学年上海市复旦大学附属中学青浦分校高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
高一下学期3月月考数学试题一、填空题1．与角终边相同的最小正角为__________.（用角度制表示）2023︒【答案】223︒【分析】根据终边相同的角的概念计算即可.【详解】由，20233605223=⨯+︒︒︒得与角终边相同的最小正角为.2023︒223︒故答案为：.223︒2．半径为7的扇形弧长为，则扇形所对圆心角的弧度数为__________.π【答案】##π71π7【分析】由题意可得弧长,则由弧长公式即可得.π,7l R ==l R α=【详解】设扇形圆心角为，半径为，弧长为，由题意，αR l π,7l R ==由弧长公式得，所以.π7α=π7α=故答案为：.π73．设向量，且，则实数的值是__________.()(),1,4,2a n b ==-- a b ⊥ n 【答案】##12-0.5-【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】由，，()(),1,4,2a n b ==--a b ⊥ 得，解得.420a b n ⋅=--=12n =-故答案为：.12-4．若角的终边过点，则__________.α()1,2-πsin 2α⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】【分析】利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.cos α【详解】角的终边过点，α(1,2)-由三角函数的定义得cos α==由诱导公式得ππsin sin cos 22ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.,a b θπ2π,33θ⎡⎤∈⎢⎣⎦a b +【答案】⎡⎣【分析】根据.a +【详解】a b +=== 因为，所以，所以，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]22cos 1,3θ+∈所以.a b ⎡+∈⎣故答案为：.⎡⎣6．方程在区间上的解集为__________.sin 1cos2x x =-[]0,2π【答案】或或或或{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =【分析】利用二倍角公式，由，得到，所以2cos212sin αα=-sin 1cos2x x =-22sin sin 0x x -=，，又，从而求出结果.sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈【详解】由，得到，即，sin 1cos2x x =-2sin 1(12sin )x x =--22sin sin 0x x -=解得或，又，,sin 0x =1sin 2x =[]0,2πx ∈当时，或或，sin 0x =0x =πx =2πx =当时，或，所以或或或或，1sin 2x =π6x =5π6x =0x =π6x =5π6x =πx =2πx =故答案为：或或或或.{|0x x =π6x =5π6x =πx =}2πx =7．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.60,5,B AC BC a =︒==ABC a【答案】(]0,5⋃【分析】利用正弦定理可求出，由只有一个结合正弦函数的性质可得解.a A =ABC 【详解】由，得，sin sin BC AC A B=sin sin AC A a AB ⋅==又，所以，π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则当时，三角形只有一个解，ππ0,32A ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭此时，{}sin 1A ⎛∈⋃ ⎝所以.(]0,5a ∈⋃故答案为：.(]0,5⋃8．已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的数量投影为______．a b 3a = 6b = 2a b - a 【答案】3【分析】求出以及，然后结合投影的概念即可直接求解.26a b -= 1cos 2,2a b a -=【详解】因为向量与的夹角为60°，，，a b 3a = 6b = 所以1cos 603692a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=26a === ，()2222991cos 2,6318182a b aa b a a b a -⋅-⋅⨯--====⨯则在方向上的数量投影为.2a b -a 12cos 2,632ab a b a -⨯-=⨯= 故答案为：3.9．已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则()()1122,,,A x y B x y αβ､1221x y x y =的最大值为__________.121222x x y y -+-【答案】【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ1221x y x y =πβα-=化简，即可求解.1212π22in(4x x y y α-+-+=【详解】令，且，且，[)11cos (0,2πsin x y ααα=⎧∈⎨=⎩[)22cos (0,2πsin x y βββ=⎧∈⎨=⎩βα>所以，(cos ,sin ),(cos ,sin )A B ααββ因为，可得，可得，1221x y x y =cos sin cos sin αββα=sin()0βα-=又因为，所以，即αβ≠πβα-=πβα=+所以12122cos cos 22sin sin 2x x y y αβαβ=-+--+-，π2cos cos 2sin sin 3cos 3sin 4ααααααα=+++=+=+所以的最大值为121222x xy y -+-故答案为：10．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，ABCD 2,60AB ABC ︒=∠=AC BD ，O E AC 若，则的最小值为___________72AB BO ⋅=- BE DE ⋅ 【答案】194-【分析】先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用3BA BC ⋅= 3BC = (),01AE t AC t =≤≤ 向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次,BA BC ,BE DE 2773BE DE t t ⋅=--01t ≤≤函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由，知，即，72AB BO ⋅=- 72BA BO ⋅= ()1722BA BA BC ⋅+=所以，得，则，即.27BA BA BC +⋅= 3BA BC ⋅= cos 603BA BC ⋅︒= 3BC = 设，则，得，(),01AE t AC t =≤≤ ()BE BA t BC BA -=- ()1BE t BA tBC=-+ ，()()()11DE BE BD t BA tBC BA BC tBA t BC=-=-+-+=-+- ()()11BE DE t BA tBC tBA t BC ⎡⎤⎡⎤∴⋅=-+⋅-+-⎣⎦⎣⎦()()()22211221t t BA t t BC t t BA BC =-+-+-+-⋅()()()241913221t t t t t t =-+-+-+-，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小22119773724t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭01t ≤≤12t =BE DE ⋅ 值为.194-故答案为：.194-【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函,BA BC,BE DE 数的最值问题，突破难点.11．已知函数，若存在实数满足[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩k ()()f a f b ==互不相等，则的取值范围是__________.()()(,,f c f d k a b c d==,)+++a b c d 【答案】{}15(7,)62⋃【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解.()()f a f b ==()()f c f d k==【详解】函数的图象如下图所示：[]2sin π,0,2()log (2),(2,)x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩存在实数满足互不相等，不妨设，则由[0,1)k ∈()()f a f b ==()()(,,f c f d k a b c d==,)a b c d <<<图可知关于对称，所以；,a b 12x =1a b +=当时，，，则，此时；0k =2c =3d =5c d +=6a b c d +++=当时，因为解得或，故而，，且由图可得01k <<2log (2)1x -=52x =4x =532c <<34d <<，即，可得，22log (2)log (2)c d --=-122d c =--122d c =+-所以122c d c c +=++-1242c c =-++-设，则，在上单调递减，所以，所以2t c =-1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14c d t t +=++1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13(6,2c d +∈，综上所述；15(7,)2a b c d +++∈{}15(7,)62a b c d +++∈⋃故答案为：.{}15(7,)62a b c d +++∈⋃12．为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问2222cos a ab C b c -+=题：若三个正实数，满足，，，则,,x y z 2225x xy y ++=2236y yz z ++=2249z zx x ++=_______.xy yz zx ++=【答案】【分析】设的角、、的对边分别为、、，在内取点，使得ABC A B C a b c ABC O ，设，，，利用余弦定理得出的三边长，2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐOA x =OB y =OC z =ABC 由此计算出的面积，再利用可得出的值.ABC ABC AOBBOCAOCS SSS=++△△△△xy yz zx ++【详解】设的角、、的对边分别为、、，ABC A B C a b c 在内取点，使得，ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ设，，，OA x =OB y =OC z =由余弦定理得，，222222cos 25c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=5c ∴=，∴，222222cos 36a y z yz BOC y yz z =+-∠=++=6a =，∴，222222cos 49b z x zx AOC z zx x =+-∠=++=7b =则，2225cos 27a b c ACB ab +-∠==则，所以π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭sin ACB ∠==由，ABC AOB AOC BOC S S S S =++ 得，112π12π12πsin sin sin sin2232323ab ACB xy yz zx ∠=++即，所以.)xy yz xz =++xy yz xz ++=故答案为：【点睛】关键点点睛：在内取点，使得是解决本题的关键.ABC O 2π3AOB BOC AOC ===ÐÐÐ二、单选题13．在中， “”是“”的 ABC A B <sinA sinB <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【详解】在中，，三角形中大边对大角，则ABC A B < a b <由正弦定理可得，，2sin a R A =2sin b R B =，2sin 2sin R A R B ∴<，充分性成立sinA sinB ∴<，sinA sinB < 由正弦定理可得，2asinA R =2b sinB R =，则22a b R R ∴<a b<三角形中大边对大角，则，必要性也成立A B <故选C【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围．14．已知，下列命題中错误的是（ ）()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．函数的图象关于直线对称；()y f x =π3x =-B ．函数在上为严格增函数；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数的图象关于点对称；()y f x =5π,03⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数在上的值域是.()y f x =4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.【详解】对于A ，因为为最小值，πsin 312πf -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数的图象关于直线对称，故A 正确；()y f x =π3x =-对于B ，因为，所以，ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ,23212x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以函数在上为严格增函数，故B 正确；()y f x =ππ,32⎡⎤-⎢⎣⎦对于C ，因为，5ππsin 132f ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以点不是函数的对称中心，故C 错误；5π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，4π,π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1πππ,236x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，故D 正确.()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：C.15．已知A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则的2(0,0)OA mOB nOC m n =+>> 21m n +最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．4【答案】C【分析】先根据三点共线，求出，利用基本不等式求最值.21m n +=【详解】因为A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，2(0,0)OA mOB nOC m n =+>>所以21m n +=21214(2)448n m m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立．4=n m m n 11,24m n ==故选：C【点睛】（1）A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），且，则有；OA OB OC λμ=+=1λμ+（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”：①“一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．16．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5ππ,62α⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β使得，则的最小值为（ ）()()0f f αβ+=m A ．B ．C ．D ．3π25π6π7π6【答案】D【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，ππ5,62ε⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦()[f α∈π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β使得，又由，得到，即可求解.()f β∈π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ6m -≥【详解】由函数，因为，可得，()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ5,62x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2π,6ππ3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦-所以函数，即，()[f x ∈()[f α∈又因为在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤⎥⎝⎦β()()0f f αβ+=即在区间上总存在唯一确定的，使得，π,2m ⎛⎤ ⎥⎝⎦β()f β∈因为，则，π,2m β⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πππ,636m β⎛⎤-∈- ⎝⎦结合三角函数的性质，可得，解得，ππ6m -≥7π6m ≥所以实数的最小值为.m 7π6故选：D.三、解答题17．已知锐角内角的对应边分别为，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos220A A +=(1)求的值；A ∠(2)若，求面积的最大值.a =ABC 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；（2）利用余弦定理和基本不等式得到，即得解.12bc ≤【详解】（1）因为，所以，cos 220A A +=22sin 30A A -+=解得，sin A =sin A =又为锐角三角形，所以.ABC π3A =（2）在中，由余弦定理可得，即，ABC 2222cos a b c bc A =+-2212b c bc =+-（当且仅当时取等号），，22122bc b c bc ∴+=+≥b c =12bc ∴≤的面积为ABC 11sin 1222bc A ≤⨯=，故当为等边三角形时，有最大面积为π3A =ABC 18．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n==-=⋅ (1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦x【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 13π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间.（2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x =()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为；()f x 2ππ2T ==由，解得：，，π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为.π2π4x +=3π8x =()f x 119．已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点.ABCD 是扇形的内接矩形，π3记，矩形的面积为.COB θ∠=ABCD S(1)当时，求矩形的面积的值.π6θ=ABCD S (2)求关于角的解析式，并求的最大值.S θS【答案】(1)S =(2)；时，ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6θ=max S =【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，sin BC α=cosAB αα=S θ代入求值；π6θ=（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.S 【详解】（1）在中，，，在中，Rt OBC △cos OB θ=sin BC θ=Rt OAD △tan 60DAOA =︒=∴，∴，OA BC θ===cos AB OB OA θθ=-=∴2cos sin sin cos AB BC Sθθθθθθ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭=1sin 2cos2)2θθ=-1sin 222θθ=.12cos 22θθ⎫=+⎪⎪⎭ππ2063θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，π6θ=ππ266S ⎛⎫=+ ⎪⨯⎝⎭（2）由（1）知ππ2063S θθ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由得，所以当，即时，.π03θ<<ππ5π2666θ<+<ππ262θ+=π6θ=max S ==20．已知函数，且.()()sin cos 4sin29f x a x x x =+++π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；a ()y f x =(2)若，求的值域；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x =(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若n ()y f x =[]0,πn n 不存在，说明理由.【答案】(1)，函数的最小正周期为9a =-()f x πT =(2)1,1316⎡--⎢⎣(3)存在正整数，理由见解析506n =【分析】（1）根据代入即可求解的值．因为的周期是都，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a sin cos sin 2x x x、、π故得函数的最小正周期；()f x（2）根据，得到，设，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++πsin cos 4x x x t⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，转化为二次函数求解；t ⎡∈⎣（3）分类讨论和时，将转化为二次函数，从而求得其零点个数，进而π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()y f x =得解.【详解】（1）函数，()()sin cos 4sin 29f x a x x x =+++∵，π134f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴，πππsin cos 4sin 913442a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭9a =-所以，()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++因为的周期是都，sin cos sin 2x x x、、π又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，所以函数的最小正周期为.()f x πT =（2）若，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，则，πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭t ⎡∈⎣则，2sin22sin cos 1x x x t ==-所以，()()2495,f x g t t t t ⎡==-+∈⎣所以其值域为；1,1316⎡--⎢⎣（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．506n =()0f x =[]0,πn 当时，．π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()9sin cos 4sin29f x x x x =-+++设，πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭则，2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin29495f x x x x t t =-+++=-+令，得或，24950t t -+=1t =54t ⎡=∈⎣此时，或或，其中π0,2x =00π04x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭0π2x x =-0πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭当时，．π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()9sin cos 4sin29f x x x x =--++设，则，(πsin cos ,4t x x x t ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭2sin22sin cos 1x x x t ==-于是，()()29sin cos 4sin294913f x x x x t t =--++=--+令，249130t t --+=解得或，1t =(134t =-∉故在没有实根．()f x π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭综上，在上有4个零点，()0f x =[)0,π又的最小正周期为，而，()f x πT =202545061=⨯+所以函数在有2025个零点．[]0,506π21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x(1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；(2)当时，，且；[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞(3)存在，.2,Z m k m T π=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数.()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即，2T π=()y f x =[)0,∞+()()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则，3[,2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pf x P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则，3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，……，22[,2)y P P ∈当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n ny P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nPP P P P P P -≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥所以当时，，且.[,(1))(N )22x n n n ππ*∈+∈()sin 12n f x P x n π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[2,)P ∈+∞（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2x f x kx=⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx+⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos T kx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有，cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21TT ⋅=±当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21TT ⋅=12T T =2xy =1y x =12T T =此时恒成立，则，即，()cos cos kx kT kx+=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m T π=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21TT ⋅=-12T T =-2xy =1y x =-12TT =-所以存在，符合题意，其中满足.2,Z m k m T π=∈T 21TT ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题
山东省济南市2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1M =-，{}21N y y x ==-，则MN =（ ）A ．0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．已知:tan p α=:3q πα=，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0.90.810.8,ln , 1.22a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>4．若非零向量,a b ，满足22||||3a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π5．函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．126．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a （ ） A ．3B ．3-C ．13-D ．137．若将函数g (x )图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到函数f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，则（ ）A ．g (x )＝sin (2)3x π+B ．g (x )＝sin 2(2)3x π+C ．g (x )＝sin2xD ．g (x )＝sin (2)6x π+8．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．7二、多选题 9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若R k ∈，且0kb =，则0k =或0b = B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =C ．若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则()()0a b a b +⋅-= D ．若a 与b 平行，则a b a b ⋅=⋅ 10．下列选项中正确的是（ ） A ．α∃，使得4sin 4sin αα+≥成立 B ．若a ，b 为正实数，则2b aa b +≥C ．当0a ≠，不等式12a a+≥恒成立D ．若正实数x ，y 满足21x y +=，则218x y+≥11．已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，当[]2,3x ∈时，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ） A ．()f x 在()3,2--上为减函数 B ．()f x 的最大值是1 C ．()f x 的图象关于直线2x =-对称D ．()f x 在()4,3--上()0f x <12．给出下面四个结论，其中正确的是（ ）A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题13．已知扇形的弧长为3cm ，周长为7cm ，则这个扇形的面积为______2cm ．14．已知α，β为锐角，且(1)(1)4αβ=，则αβ+=_____． 15．已知函数()y f x =是偶函数，当[]0,1x ∈时，1f x ，当1x >时，()12x f x -=，则()12f x -<的解集是______. 16．已知幂函数()223m m y x m N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m m a a --+<-的a 的取值范围为________.四、解答题 17．已知4a =，3b =，()()24a b a b +⋅-=． (1)求a b ⋅； (2)求a b +．18．已知0απ<<，1sin cos 5αα+=．(1)求sin 2α的值； (2)求cos sin αα-的值．19．已知函数()()sin 20,2f x x πϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，______．请在①函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，①函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，①函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图象将向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．20．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x 万件产品，还需另外投入原料费及其他费用()f x 万元，产量不同其费用也不同，且()21,010,29lg 41,10.x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪+-≥⎩已知每件产品的售价为8元且生产的该产品可以全部卖出.(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；(2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？21．已知函数()sin cos cos 6f x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)已知α，β为锐角，111,26421220f f βπαβπ+⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值.22．己知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值： （2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】 【分析】首先求集合N ，再求M N ⋂. 【详解】211y x =-≥-，即{}1N y y =≥-，{}1,0,1M =-，所以{}1,0,1M N ⋂=-. 故选：D 2．B 【解析】求出命题p 为真时α的取值，根据集合之间的关系可得结论． 【详解】tan α=3k παπ=+，k Z ∈；而q 只有3πα=，因此p q ⇒为假，q p ⇒为真，①p 是q 的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键． 3．B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据指数函数的单调性可知，00.910.80.80=>>， 即0.8001,1.21.21a <<=>，即c ＞1，由对数函数的单调性可知1ln 02<，即0b <．所以c ＞a ＞b ． 故选：B ． 4．A【解析】 【分析】设向量a 与b 的夹角为θ，根据向量的垂直和向量的数量积，以及向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：设向量a 与b 的夹角为θ， ①22||||3a b =， 不妨设||3b m =，则22a m =， ①()(32)a b a b -⊥+， ①()(32)0a b a b -⋅+=， ①223||2||0a b a b --⋅=， 26a b m ∴⋅=，26cos ||||32a b m a b m θ⋅∴==⋅⋅，0θπ≤≤，①4πθ=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】先求出定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，诱导公式即可求解． 【详解】解：对于函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ． 6．B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可． 【详解】 解：()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-．若(ln 2)8f =，(ln 2)(ln 2)8f f ∴-=-=-，则ln 28a e --=-， 得ln 28a e -=， 得ln8ln2a =-， 即3ln2ln2a =-， 得3a -=，得3a =-， 故选：C ． 7．C 【解析】 【分析】由函数()f x 的部分图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再得出()g x 的解析式． 【详解】由函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象知，1A =，且35346124T πππ=-=， 解答T π=，所以22Tπω==； 又12x π=，()1f x =，sin(2)112πϕ⨯+=，所以262k ππϕπ+=+，k Z ∈；由||2ϕπ<知，3πϕ=；所以()sin(2)3f x x π=+；所以()()sin[2()]sin 2663g x f x x x πππ=-=-+=．故选：C ． 8．D 【解析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2； 又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-， 即函数()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()f x 和cos y x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有7个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为2317⨯+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查方程实数解的问题，根据数形结合的思想求解即可，属于常考题型.9．AC 【解析】 【分析】根据数乘运算的定义判断A ；根据a b ⊥时，0a b ⋅=判断B ；根据向量加减法的几何意义判断C ；根据a 与b 平行且反向时的结果判断D. 【详解】解：对于A 选项，根据数乘运算的定义，A 选项正确； 对于B 选项，当a b ⊥时，0a b ⋅=亦成立，B 选项错误；对于C 选项，若不平行的两个非零向量a ，b ，满足a b =，则由向量加减法运算的几何意义得a b +与a b -是以非零向量a ，b 为邻边的菱形的对角线，故()()a b a b +⊥-，即()()0a b a b +⋅-=，故正确；对于D 选项，当a 与b 平行且反向时，a b a b ⋅=-⋅，故错误； 故选：AC 10．ABD 【解析】 【分析】A.D 可以代入特殊值，即可判断，BD 利用基本不等式即可判断. 【详解】A.当sin 1α=时，4sin 54sin αα+=≥成立，故A 正确.B.当a ，b 为正实数，2b a a b +≥=，当a b =时等号成立，故B 正确；C.当0a <时，10a a +<，所以不等式12a a+≥不恒成立，故C 错误；D.0,0x y >>()212142448yx x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4y x x y =时，即122x y ==时等号成立，故D 正确. 故选：ABD 11．BCD 【解析】先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断A 错；再由题中条件，确定函数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断BCD 正确. 【详解】因为当[]2,3x ∈时，()[]121230,1f x x x x =--=-+=-∈，则函数()f x 在[]2,3x ∈上递减，又函数()f x 是偶函数，所以()f x 在()3,2--上为增函数；故A 错； 因为函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以()()f x f x -=，()()11f x f x -+=-+，则()()11f x f x -=-+，所以()()2=-+f x f x ，则()()()24f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x +=， 所以()f x 以4为周期；则()()()222f x f x f x +=-=-，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此当[]1,2x ∈时，()[]0,1f x ∈；当[]0,1x ∈时，[]22,3x +∈，则()212211f x x x x +=-+-=-=-，又()()2=-+f x f x ，所以()[]11,0f x x =-∈-；因为偶函数关于y 轴对称，所以当[]1,0x ∈-时，()[]1,0f x ∈-； 综上，当[]13,x ∈-时，()[]1,1f x ∈-；又()f x 是以4为周期的函数，所以x R ∀∈，()[]1,1f x ∈-，则()max 1f x =，故B 正确； 因为()()()222f x f x f x +=-=-+，函数()f x 为偶函数，所以()()22f x f x +=--，因此()()22f x f x -+=--，所以()f x 的图象关于直线2x =-对称；即C 正确；因为()0,1x ∈时，()10f x x =-<显然恒成立，函数()f x 是以4为周期的函数， 所以()f x 在()4,3--上也满足()0f x <恒成立；故D 正确； 故选：BCD.思路点睛：求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可. 12．ABD 【解析】 【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确. 【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2， 当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确 故选：ABD 13．3 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.由题意可知，扇形的半径为732cm 2-=，因此，该扇形的面积为21323cm 2S =⨯⨯=. 故答案为：3. 14．23π 【解析】 【分析】将题目所给方程展开后，化简为()tan αβ+的形式，由此求得αβ+的大小. 【详解】将()()114αβ=展开得)()tan tan 31tan tan αβαβ+=-⋅，即()tan tantan 1tan tan αβαβαβ+=+=-⋅α，β为锐角，0παβ<+<，故2π3αβ+=.【点睛】本小题主要考查利用两角和的正切公式对已知条件进行化简，考查特殊角的三角函数值，属于中档题. 15．()1,3- 【解析】 【分析】根据题意，画出()f x 的图象，数形结合，即可求得不等式的解集. 【详解】()f x 的图象如图所示.令122x -=，可得2x =，所以()22f =. 因为()12f x -<，所以()()12f x f -<.结合函数图象可得12x -<，解得13x . 故答案为：()1,3-. 16．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案. 【详解】 幂函数()223m m y xm N --*=∈在()0,∞+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<.*m N ∈，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去； 当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足； 当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减， 故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<. 故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭17．(1)6【解析】 【分析】（1）根据向量数乘运算的运算律求解即可； （2）结合根据向量模的运算公式求解即可. (1)解：①()()24a b a b +⋅-=①2224a a b b -⋅-=，2224a a b b -⋅-=①4a =，3b = ①(224234a b -⋅-⨯=，即6a b ⋅=(2)解：①4a =，3b =，6a b ⋅=，①()22222222242631a ba ab b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=，①()231a b a b +=+=18．(1)2425- (2)75-【解析】 【分析】（1）由0απ<<，1sin cos 5αα+=，两边同时平方，可求出sin 2α的值；（2）由（1）知sin 2α的值，可判断α为第二象限角，再对cos sin αα-两边同时平方，可求出cos sin αα-的值. (1)()21sin cos 1sin 225ααα+=+=，所以24sin 225α=-.(2)()249cos sin 1sin 225ααα-=-=①0απ<<，sin 20α<，①α为第二象限角 7cos sin 5αα-=-.19．(1)条件选择见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）不管选择条件，都是根据三角函数对称性，列式，结合ϕ的取值范围，求函数的解析式；（2）首先利用三角函数变换规律，求得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求6x π-的范围，即可求得函数的值域. (1)若选①，函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，则2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数sin 2126y f x x πϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于原点对称，则,6k k Z πϕπ-+=∈，则6,k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；若选①，函数()f x 在5,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则函数()f x 在3x π=-取得最小值，则()sin 213f x πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22,32ππϕπ⎛⎫⨯-+=-+∈ ⎪⎝⎭k k Z ，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ，所以函数解析式为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；(2)由题意可得函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以563,6x πππ⎛⎫⎡⎤-∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以62ππ-=-x 时，()min sin 12g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； 63x ππ-=时，()max sin3g x π==所以函数()g x 在2,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡-⎢⎣⎦．20．(1)()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩(2)当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式；（2）利用函数单调性求出最大值，即可得到答案. (1)当010x <<时，()2211838322W x x x x x =--=-+-.当10x ≥时，()()89lg 413lg 38W x x x x x x =-+--=--+. 故()2183,010,2lg 38,10.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪--+≥⎩ (2)当010x <<时，()()22118382922W x x x x =-+-=--+，所以当8x =时，()W x 取得最大值，且最大值为29； 当10x ≥时，()lg 38W x x x =--+，此时()W x 单调递减， 所以当10x =时，()W x 取得最大值，且最大值为27.综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元. 21．(1)2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式、二倍角公式、降幂公式化简即可得出()f x ，再由正弦型三角函数的单调性求解即可；（2）由（1）及同角三角函数的基本关系可求出β，αβ+的正余弦值，再由角的变换ααββ=+-求解即可.(1)()sin cos cos 6f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π11cos 211()cos )cos 2sin(2)24264x f x x x x x x +∴=+=+=++π， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. (2)11111sin()cos 26224244f ⎛⎫+=++=+=+ ⎪⎝⎭βππββ, cos β∴=故可得sin β= 1111sin()2122420f +⎛⎫-=++= ⎪⎝⎭αβπαβ3sin()sin 5∴+=<=αββ， 4cos()5∴+=-αβ[]cos cos ()cos()cos sin()sin ∴=+-=+++ααββαββαββ 4355⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 22．（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【解析】 【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域； （3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++ 20x >，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+∈- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x <，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <； ①函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+ ，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。
高一数学第一次月考试题(含解析)
所以CC1⊥BC．
因为AC=BC=2， ，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．
因为AM 平面ACC1A1，
所以BC⊥AM．
(Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则NP∥CC1．
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
试题分析：先利用正弦定理化简 得 ，再由 可得 ，然后利用余弦定理表示出 ，把表示出的关系式分别代入即可求出 的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．
由 及正弦定理可得 ，
故选A．
考点：正弦、余弦定理
4.如图， 是水平放置的 的直观图，则 的面积为
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理得到 由特殊角的三角函数值得到角B.
【详解】根据余弦定理得到 进而得到角B= .
故答案为： .
【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
A. 6B.
C. D. 12
【答案】D
【解析】
△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝ ×6×4＝12.
曲江区三小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
（2）解：12 元- 2 元=10 元 答：洋娃娃比哨子贵 10 元。
（3）解：5 元- 2 元=3 元
第 9 页，共 10 页
A. 69
B. 93
C. 96
5． （ 2 分 ） 一个西瓜 9 元，下面付钱方式正确的是（ ）。
A.1 张 5 元和 2 张 2 元
B.1 张 5 元和 1 张 4 元
C.1 张 5 元和 8 张 1 元
6． （ 2 分 ） 小明买文具用去 3 元 7 角，还剩 5 元，他原来有（ ）钱。
A. 8 元 7 角
第 5 页，共 1பைடு நூலகம் 页
答. 6． 【答案】A 【考点】100 以内数的不进位加法，货币简单的计算
【解析】
二、判断题
7． 【答案】正确 【考点】100 以内数的大小比较
【解析】 8． 【答案】错误
【解析】 9． 【答案】正确 【考点】货币单位及其换算
【解析】【解答】9 角=9÷10=0.9 元。由此可知题干所述正确。 故答案为：正确。 【分析】1 元=10 角，明确其间的换算，从角向元换算时，将小数点向左移动一位，由此即可得出答案。
11．（ 2 分 ） 判断对错.
0.08 元就是 8 分钱.
三、填空题
第 1 页，共 10 页
12．（ 2 分 ） 一枚 1 元硬币可以换________枚 1 角硬币。一张 100 元可以换________张 50 元。
13．（ 5 分 ） 如下图，○有________个，□有________个，△有________个，☆有________个， 个。
2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ）α1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos αA ．BC ．D ．12-12【答案】A【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果.cos x α=【详解】由三角函数的定义可得.1cos 2α=-故选：A.2．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）45︒A ．（）B ．（）2π45k +︒Z k ∈π3604k ⋅︒+Z k ∈C ．（）D ．（）36045k ⋅︒+︒Z k ∈5ππ4k +Z k ∈【答案】C【分析】根据终边相同的角的表示方法以及角度和弧度的应用，一一判断各选项，可得答案.【详解】对于A ，B ，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确；又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（），45︒36045k ⋅︒+︒Z k ∈π2π4k +Z k ∈对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C 正确，D 错误，5ππ4k +0k =5π445︒故选：C3．已知，则（ ）tan 3α=-22cos sin αα-=A ．B ．C ．D ．4545-3535-【答案】B【分析】弦化切即可求解.【详解】，22222222cos sin 1tan 84cos sin cos sin 1tan 105αααααααα----====-++故选:B.4．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ．D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误；π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2当时，，，则此函数在区间上单调递减，故D )π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-正确.故选：D.5．函数在上的图像大致为（ ）()3sin xf x x x =-[]π,π-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.【详解】函数定义域为，3sin ()xf x x x =-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且，33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x --=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ；()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求.πx =()(π)πf x f ==故选：B6．已知，则（ ）π3,π,sin 25αα⎛⎫∈=⎪⎝⎭cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BC ．D【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.【详解】由，得π3,π,sin 25αα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，4cos 5α===-，，ππππ,2224αα<<∴<<cos 02α>，cos 2α===所以cos πcos 22αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：A.7．如图，在正方形中，分别是边上的点，，，则（ ）ABCD ,E F ,AB AD 32AE BE =4ECF π∠=A ．B ．32AD DF =2AD DF =C ．D ．3AD DF =4AD DF=【答案】D【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到.tan FCB ∠tan FCD ∠4AD DF =【详解】由题可知，()31tan tan 5tan tan 431tan tan 115FCE BCE FCB FCE BCE FCE BCE ∠∠∠∠∠∠∠++=+===-⋅-⨯则，即，.1tan 4FCD ∠=4CD DF =4AD DF =故选：D.8．已知函数的图象关于对称，且，则()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠6x π=()085f x a=的值是（ ）0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．725-2425-7252425【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b =可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果()085f x a=04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭【详解】因为，()()sin cos f x a x b xx ϕ=+=+0ab ≠其中，sin ϕ=cosϕ=由于函数的图象关于对称，所以，6x π=6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭即，化简得，12ab =所以，即，()00008sin cos 2sin 35f x a x x a x aπ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，20000227sin 2sin 2cos 22sin 16323325x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.二、多选题9．下列各式中正确的是（ ）A ．B ．3ππtantan 55>tan2tan3<C ．D ．17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BC【分析】根据正切函数的函数值的正负以及单调性可判断A ，B ，利用诱导公式结合正余弦函数的性质可判断C ，D.【详解】对于A ，，A 错误;3π2π2ππtantan(πtan 0tan 5555=-=-<<对于B ，，由于函数在上单调递增，π23π2<<<tan y x =π(,π)2故，B 正确；tan2tan3<对于C ，，17π17πππcos(cos cos(4πcos 4444-==+==，故，C 正确；23π3π3πcos()cos(4π+cos 0555-==<17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D,函数在上是增函数，而，sin y x =ππ[,]22-ππ1018-<-所以，D 不正确； ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．若为第一象限角，则为第一或第三象限角α2αB ．函数是偶函数，则的一个可能值为()πsin 4f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ϕ3π4C ．是函数的一条对称轴π3x =()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为601cm 60cm 【答案】AC【分析】对于A ：直接代入象限角的范围即可求解；对于B ：代入即可判断奇偶性；对于3π4ϕ=C ：代入根据余弦函数对称轴的性质即可判断；对于D ：根据弧长公式即可求解.π3x =【详解】对于A ：若为第一象限角，则，απ2π2π,Z2k k k α<<+∈则：，所以为第一或第三象限角，πππ,Z 24k k k α<<+∈2α故选项正确；A对于B ：当时，，函数为奇函数，3π4ϕ=()()sin πsin f x x x =+=-故选项错误；B 对于C ：因为，所以是函数π2cos π23f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3x π=的一条对称轴，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故C 选项正确；对于D ：扇形圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为，π31cm πcm3故D 选项错误.故选：AC.11．已知函数，其中表示不超过实数x 的最大整数，下列关于()[][]sin cos cos sin f x x x =+[]x 结论正确的是()f x A ．B ．的一个周期是cos12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 2πC ．在上单调递减D ．()f x ()0,π()f x 【答案】ABD 【分析】将代入可判断A ；根据函数周期的定义可判断B ；根据取整函数的定义，可以判断2x π=在上函数值是确定的一个值，从而判断C ；利用可判断D.()0,π()0f 【详解】由，()[][]sin cos cos sin f x x x =+对于A ，，故A 正确；sin 0cos1cos12f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于B ，因为()()()2sin cos 2cos sin 2f x x x πππ+=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以的一个周期是，故B 正确；[][]()sin cos cos sin x x f x =+=()f x 2π对于C ，当时，，，所以，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 1x <<0cos 1x <<[][]sin cos 0x x ==所以，故C 错误；()[][]sin cos cos sin sin 0cos 01f x x x =+=+=对于D ，()[][]0sin cos 0cos sin 0f =+D 正确；sin1cos 0sin111=+=+>>故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数、单调性、周期性、最值的综合应用，属于中档题.12．已知函数，则（ ）()cos 2sin ,Rf x x a x a =+∈A ．的最小正周期为()f x πB ．的图象关于直线轴对称()f x π2x =C ．当则函数在上单调递增2a =()f x ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．当时，最小值为0，则1a =()π,,6x f x α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭π7,π26α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD【分析】A 、B 分别判断、是否成立即可；C 、D 研究正弦函数和二(π)()f x f x +=(π)()f x f x -=次函数所构成的复合函数的单调性，以及正弦函数的值域判断正误.【详解】A ：，又，故不一(π)cos 2(π)sin(π)cos 2sin f x x a x x a x +=+++=-R a ∈(π)()f x f x +=定成立，错误；B ：，即关于直线轴对称，正确；(π)cos 2(π)sin(π)cos 2sin ()f x x a x x a x f x -=-+-=+=()f x π2x =C ：由，令，则，2()12sin 2sin f x x x =-+1sin (2t x =∈-2215()()1222()24f x g t t t t ==-+=--+而在上递增，在上递增，上递减，sin t x =ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()g t 11(,22-1(2所以在上递增，在上递减，错误；()f x ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ：由，令，则，而2()12sin sin f x x x =-+sin t x =2219()()122()48f x g t t t t ==-+=--+，1((1)02g g -==要使在上最小值为0，只需保证至少取到或1中的一个值，但不能小于，()f x π,6α⎛⎫-⎪⎝⎭sin α12-12-即，正确.π7π26α<≤故选：BD三、填空题13．已知，且是第二象限的角，则______．2sin 3β=βtan β=【答案】【分析】根据同角的平方关系求得，从而得到结果.cos β【详解】因为是第二象限的角，则，βcos 0β<所以cos β==则sin tan cos βββ==故答案为:14．函数的定义域为______．()()lg tan 1f x x =-【答案】，πππ,π42k k ⎛⎫++⎪⎝⎭()k ∈Z 【分析】根据对数函数真数大于0，正切函数图象性质解决即可.【详解】由题知，，()()lg tan 1f x x =-所以，即，解得，tan 10ππ2x x k ->⎧⎪⎨≠+⎪⎩ππππ42ππ2k x k x k ⎧+<<+⎪⎪⎨⎪≠+⎪⎩πππ,42k x k k π+<<+∈Z 所以函数的定义域为，()()lg tan 1f x x =-πππ,π42k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 故答案为：，πππ,π42k k ⎛⎫++⎪⎝⎭()k ∈Z15．已知函数，若函数在区间上存在两个零点和两个最值点，则m 的()sin cos f x x x=-()f x []0,m 取值范围是___．【答案】79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先根据辅助角公式得到，再求出的取值范围，然后根据正弦函()π4f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π4x -数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可．【详解】依题意可得，()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由，则，[]0,x m ∈πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦要使函数在区间上存在两个零点和两个最值点，()f x []0,m 则，解得．3ππ2π24m ≤-<7π9π44m ≤<所以m 的取值范围为．79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：．79ππ,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．若定义在上的函数满足：当时，，且R ()f x π2x ≤()()sin 2sin 3sin cos f x f x x x -+=，则__________.()()2f x f x +=365f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】##3625-1.44-【分析】将代入已知等式，结合正余弦函数的奇偶性可构造方程组求得，x -()sin 3sin cos f x x x=结合可化简得到；利用周期性可知所求函数值为，令cos 0x ≥()sin 3sin f x x =45f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可求得结果.4sin 5x =-【详解】当时，π2x ≤，；π2x -≤()()()()()()sin 2sin sin 2sin 3sin cos f x f x f x f x x x ∴--+-=+-=-由得：，()()()()sin 2sin 3sin cos sin 2sin 3sin cos f x f x x x f x f x x x ⎧-+=⎪⎨+-=-⎪⎩()sin 3sin cos f xx x =当时，，π2x ≤cos 0x ≥cos x ∴=()sin 3sin f x x ∴=，，()()2f x f x += 36448555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则.4sin 5x =-412365525f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭故答案为：.3625-【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够灵活应用正余弦函数的奇偶性，采用构造方程组的方式求得，利用周期性将自变量转化到的范围()sin f x []1,1-内即可.四、解答题17．（1）已知，求值；sin 2cos α63sin α5cos αα-=--tan α（2）化简.()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.28tan 19α=-2sin α【分析】（1）根据同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式进行求解即可.【详解】（1）；sin 2cos αtan 22866tan 3sin α5cos 3tan 519ααααα--=⇒=⇒=-----(2)()()2πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2sin sin cos cos sin ααααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭==18．如图所示，在平面直角坐标系中、角的项点与原点重合，以x 轴非负半轴为始边的两个锐xOy 角、，它们的边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B.αβ(1)求，的值.sin αsin β(2)求的值()sin 2αβ+【答案】(1)，sin α=sin β=【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解，cos α=cos β=解sin α=sin β=（2）由二倍角公式可得，，进而由正弦的和角公式即可求解.4sin25β=3cos25β=【详解】（1）由三角函数的定义可知为锐角，则，从而cos α=cos β=αsin 0α>sin α==sin β==sin α=sin β（2）∵，，4sin22sin cos 5βββ==23cos22cos 15ββ=-=所以()34sin 2sin cos2cos sin255αβαβαβ+=+==19．已知，.π1tan 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；()2sin 22cos f ααα=-(2)若，且的值.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3πsin 4β⎛⎫+= ⎪⎝⎭αβ+【答案】(1)；45-(2).π4【分析】(1)先利用两角差的正切公式求得角的正切值，把所给的函数式进行恒等变形，根据二倍α角公式和同角三角函数的基本关系，进行弦化切，代入即得结果；(2)由，结合所给的角的范围，利用两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的3π3π44ββ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭基本关系，求得，再利用和角的正切公式求解即可.1tan 3β=【详解】（1）∵，π1πtan 0434αα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴，解得.1tan 11tan 3αα-=+1tan 2α=∴；()2222sin 22cos 2sin cos 2cos 1cos sin f αααααααα-⋅-==+21222tan 2211tan 5144αα⨯--===-++（2）∵，且，∴，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3πsin 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭3π3π5π444β<+<∴，3π3πcos 0,cos 44ββ⎛⎫⎛⎫+<+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴3π3π3π3π3π3πsin sin sin cos cos sin 444444ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，⎛=-= ⎝π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴，∴.cos β=1tan 3β=∴，()11tan tan 23tan 1111tan tan 123αβαβαβ+++===-⋅-⨯又∵，3π04αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴.π4αβ+=20．已知函数，的最小正期为.()()()2π2sin 2104f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()f x π(1)求的单调增区间和对称中心；()f x (2)方程在上有两个解，求实数的取值范围.()210f x n -+=70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦n 【答案】(1)的单调增区间为，；对称中心为，；()f x π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈(2).31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再结合三角函数的图象及性质求解即()f x 可；（2）根据正弦函数的图象和性质结合条件即得.【详解】（1）因为，()()()2π2sin 2104f x x x ωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭所以，()ππcos 22sin 222sin 223f x x x x x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为的最小正周期为，，()f x π0ω>所以，即，2ππ2ω=1ω=所以的解析式，()f x ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，πππ2π22π232k x k -≤-≤+Z k ∈得：，π5πππ1212k x k -≤≤+所以的单调增区间为，，()f x π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈令，，得：，π2=π3x k -Z k ∈ππ62k x =+所以的对称中心为，；()f x ππ,062k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈（2）因为，所以，7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2336x -≤-≤当，即时，单调递增，πππ2332x -≤-≤5π012x ≤≤()π2sin 23y f x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()π2sin 232y f x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭⎡⎤⎣⎦当，即时，单调递减，ππ5π2236x ≤-≤5π7π1212x ≤≤()π2sin 23y f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()[]π21,2sin 23y f x x ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭方程在上有两个解，即在上有两个解，()210f x n -+=70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦()21f x n =-70,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，1212n ≤-<312n ≤<所以实数的取值范围为.n31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．已知函数.()21sin cos 2y f x x x x ==-(1)求函数在区间的值域；()y f x =2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)已知函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.()π6h x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()cos 0x h x m -->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)(),1-∞-【分析】(1)首先化简,再根据范围求出范围，即可得到其值域；()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭x π26x -(2)利用诱导公式和二倍角余弦公式结合分离参数得，再结合22192cos cos 12cos 48m x x x ⎛⎫<+-=+- ⎪⎝⎭范围，即可求出右边最小值，即得到答案.x 【详解】（1）21()sincos 2f x x x x =-1cos21222x x -=+-12cos 22x x =-，πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，，2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以，1()sin 2,162πf x x ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故函数在区间的值域为.()y f x =2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）因为()ππsin 2cos 262h x f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()cos 0,cos cos 20x h x m x x m -->+->所以2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48m x x x x x ⎛⎫<+=+-=+- ⎪⎝⎭设()2192cos 48g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若不等式在上恒成立，只需.()cos 0x h x m -->π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()min m g x <当时，则，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈所以当，即时，cos 0x =π2x =()2min π1921248g x g ⎛⎫⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.1m <-实数的取值范围为.m (),1-∞-22．已知函数，其中a 为常数.()245f x x ax =-+(1)若对，恒成立，求实数a 的取值范围；1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤(2)若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a 的取值范围.()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】(1)[]0,8(2)2192a ≤<【分析】（1）参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦求出和的最值，得到实数的取值范围；()164g x x x =-()44h x x x =+a （2）解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，分三种情况数形结合得到实数a 的取值范围；112t <<22t =解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或2450t at -+=11t =212t <<101t <<212t <<且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围.112t <<22t =11t =22t =101t <<212t <<a 【详解】（1），恒成立，1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()121f x ≤≤即对恒成立，16444x a x x x -≤≤+1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，()164g x x x =-1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以， ()()max 20g x g ==今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，()44h x x x =+448x x +≥1x =所以，()min 8h x =所以，即实数的取值范围是.08a ≤≤a []0,8（2）解法一：今，则方程即，2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，1t ()212t t t <2450t at -+=则方程在内有且只有三个实数解等价于且；()2sin 0f x =5π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭11t =212t <<或且；或且101t <<212t <<112t <<22t =今，对称轴为，且，()245m t t at =-+8a t =1254t t =①当且时，，解得；11t =212t <<()()219022120128Δ800m a m a a a ⎧=-=⎪=->⎪⎪⎨<<⎪⎪=->⎪⎩9a =②当且时，，解得； 101t <<212t <<()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<③当且时，与相矛盾，不合题意；112t <<22t =1254t t =综上，实数的取值范围为.a 2192a ≤<解法二：今，则方程即， 2sin t x =()2sin 0f x =2450t at -+=设，是方程的两根，令.1t ()212t t t <2450t at -+=()245m t t at =-+若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解，11t =9a =254t =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 1x =52sin 4x =则方程在有两个实数解； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则，，22t =212a =158t =当时，有一个实数解，有一个实数解，5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin 2x =52sin 8x =则方程在有两个实数解，不合题意； ()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此外，要使方程在有三个实数解，只需，，()2sin 0f x =5π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭101t <<212t <<则，解得；()()()0519022120m m a m a ⎧=⎪=-<⎨⎪=->⎩2192a <<综上，实数的取值范围为.a 2192a ≤<【点睛】复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程的根的个数，在解决此类问x ()0g f x =⎡⎤⎣⎦题时，分两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使其等式成立，第二层()g x ()f x 是结合第一层的值，求出对应的的值，求出零点的个数.()f x x。
西市区第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
西市区第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）小红有1元钱，买尺子用去6角钱，她还剩（）。
A.4元B.4角2．（2分）在60和70之间,且个位和十位上的数相同的数是（）。
A. 55B. 66C. 77D. 883．（2分）通过数一数，发现23里面有（）个6.A.1B.2C.3D.44．（2分）9角+5元=（）A. 5元9角B. 14元5．（2分）有甲、乙两种品牌的饮料，甲饮料4天卖出132瓶，乙饮料3天卖出102瓶，平均每天甲、乙两种饮料，（）卖的多．A. 甲B. 乙6．（2分）我比61少1，我是（）A.60B.61C.62D.59二、判断题7．（2分）80前面一个数是78。
8．（2分）43是由4个一和3个十组成的。
（）9．（2分）鸭子、鸟、鸡与鱼是两类动物。
（）10．（2分）人民币兑换时要保留二位小数。
11．（2分）9090090左边的9表示9个十万，中间的9表示9个万，右边的9表示9个十。
三、填空题12．（5分）填一填。
13．（7分）填上适当的数。
68＜________＜70 45＞________＞38 85＜________＜9280＞________＞________＞75 56＜________＜________＜7814．（1分）一个两位数，十位上是7，个位上是4，这个数是________。
15．（4分）5个1角就是5个________元，是________元；6个1分是6个________元，是________元。
16．（15分）在正确答案右边画“ ”。
（1）下面哪个数最接近70？59 72 82 69（2）100的百位上的1表示多少？1个十十个一一个百（3）一个数从右起，第二位是什么数位？个位十位百位17．（5分）写出十位上和个位上数字相同的两位数：________，________，________，________，________。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
安徽省蚌埠第二中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
蚌埠二中2018-2019学年度第二学期3月月考高一数学试题第Ⅰ卷 (选择题共60分)一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.）1.已知等差数列的前三项依次为,,，则此数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件确定出公差d,再由通项公式即可得到答案.【详解】等差数列中，，可得，由通项公式可得，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.2.若为第一象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：因为α为第二象限角，，所以．所以．故选：A．【点睛】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．3.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．4.已知等差数列中，若，则它的前7项和为（）A. 105B. 110C. 115D. 120【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前7项和公式和性质计算即可得到答案.【详解】等差数列中，，,故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由确定cosα和sinα异号，从而可判断出选项.【详解】由即可确定cosα和sinα异号，则定有sin2α=2sinαcosα<0成立，故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的符号，考查二倍角的正弦公式，是基础题．6.如果-1,a,b,c,-9依次成等比数列，那么()A. b＝3，ac＝9B. b＝3，ac＝-9C. b＝-3，ac＝-9D. b＝-3，ac＝9【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号.详解：由题意，又，∴，∴，故选D.点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.7.设的三个内角，向量，，若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为向量，，若，解得为选C8.已知，则等于（）A. 8B. -8C.D.【答案】A【解析】由，可得，∴，，∴，故选．9.设等比数列的前n项和记为S n，若，则（）A. 3：4B. 2：3C. 1：2D. 1：3【解析】【分析】由为等比数列，再根据比例关系，即可求得结果.【详解】设，则，由为等比数列，则，将、代入可得：，所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列的常见结论，已知数列为等比数列，则也为等比数列，若已知数列为等差数列也为等差数列.10.为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为S n，则点(n,S n)所在的抛物线可能为()A. B.C. D.【答案】D【解析】当n≥1时{a n}单调递增且各项之和大于零，当n＝0时S n等于零，结合选项只能是D.11.已知S n是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式及前n项和公式，把问题中的两个相等关系转化为关于公比q与m的关系式，构成方程组求解即可。
东安县小学2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
【解析】【解答】15-8=7； 15-5=10； 15-9=6； 15-6=9； 根据计算，填空如下：
故答案为：7；10；6；9. 【分析】根据题意可知，已知和与一个加数，求另一个加数，用和-一个加数=另一个加数，据此列式解答. 17．【答案】6；3；4 【考点】平面图形的分类及识别
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【解析】【解答】解：8 角 2 分是 1 元的 ， 写成小数是 0.82 元. 故答案为： ；0.82 【分析】1 分= 元，1 角= 元，由此判断 8 角 2 分是 1 元的几分之几，然后再写出小数即可. 13．【答案】3；3；2；2；72；5；2；15 【考点】货币单位及其换算
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【解析】【分析】10 个十就是 100
二、判断题
6． 【答案】错误
【解析】 7． 【答案】错误 【考点】21～100 的认识与读写
【解析】【解答】在自然数的排列规律中，前一个数比后一个数少 1，据此判断。 8． 【答案】正确 【考点】100 以内数的大小比较
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【解析】 9． 【答案】错误 【考点】100 以内数的进位加法，货币简单的计算
【解析】【解答】观察图可知，图中有 6 个三角形，3 个平行四边形，4 个梯形. 故答案为：6；3；4. 【分析】三角形的个数：单独一个三角形 4 个，1 个平行四边形和 2 个小三角形组成的大三角形有 2 个，据此 求和；平行四边形的个数：两个角处 2 个，中间有 1 个，据此求和；梯形的个数：由中间的平行四边形和四个 角的三角形分别组合成 4 个梯形. 18．【答案】3；5；1；3；6 【考点】平面图形的分类及识别
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23．（ 5 分 ） 把各种图形的序号填到相应的方框里。
2023-2024学年上海海洋大学附属大团高级中学高一下学期3月月考数学试卷
2023-2024学年上海海洋大学附属大团高级中学高一下学期3月月考数学试卷1.将化为弧度为______．2.设扇形的周长为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数是______.3.已知角的终边经过点，则的值为______．4.已知，则______.5.在中，若，，，则______.6.化简：______．7.方程的解集是______．8.已知，则的值为______．9.在中，是方程的两个根，则______．10.在中，若面积，则______．11.已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______.12.函数的最大值是______．13.“是钝角”是“是第二象限角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14.若，角终边所在的象限是（）A．一或三B．二或四C．二或三D．三或四15.化简的值为（）A．B．C．D．16.在中，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．17.已知，求：的值18.一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？19.已知，其中．求：(1)的值；(2)求角的值20.海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？21.设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知(1)求角B的大小；(2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值.。
石柱土家族自治县第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
石柱土家族自治县第二小学校2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）一个杯子8元钱，可以这样付钱：（）。
A. 2张5元B. 1张5元和3张1元C. 1张5元和2张2元2．（2分）一个数的个位数是7，个位数比十位数少2，这个数是（）。
A.75B.79C.973．（2分）把5元8角改写成用“元”作单位的小数是（）。
A.0.58元B.5.8元C.58元4．（2分）下面图形中与其他图形不是同类的是（）A. B. C. D.5．（2分）小红有69元零花钱，小刚有48元零花钱，小刚比小红的零花钱（）。
A. 少一些B. 少得多C. 多一些D. 多得多6．（5分）小新有30本故事书，连环画比故事书多7本，连环画有多少本？（）①30＋7＝37（本）②30－7＝23（本）二、判断题7．（2分）78000里有780个100。
8．（2分）“44”这个数中的两个4都表示4个十。
（）9．（2分）3元加3角等于6元。
10．（2分）4角5分=4.5元11．（2分）99是所有两位数中最大的数。
（）三、填空题12．（3分）拼一个至少要用________根火柴棒，拼一个至少要用________根火柴棒，拼一个至少要用________根火柴棒。
13．（4分）数一数，填一填。
________个________个________个________个14．（2分）有28个苹果，每5个装一袋，可以装________袋。
最少还要增加________个，正好转满6袋。
15．（1分）一个两位数，最高位是7，其余是0，这个数是________。
16．（2分）比30多30的数是________，比50少20的数是________。
17．（1分）一个玩具熊68元，全付10元一张的纸币，至少要付________张。
18．（4分）7.85元=________元________角________分10元零4分=________元19．（1分）78后面的第5个数是________。
五峰土家族自治县二小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷
五峰土家族自治县二小2018-2019学年一年级下学期数学3月月考试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．（2分）用一定不能画出（）。
A.B.2．（2分）2元和（）角同样多。
A. 20B. 200C. 23．（2分）下面的数中最大的数是（）A.88B.89C.78D.874．（2分）1支钢笔8元，1个笔记本4元，笑笑有10元，要买这两样东西，还差（）。
A.2分B.2角C.2元5．（8分）下面这些物品价钱中的“5”分别表示多少？选一选。
（1）45.8元（）A. B.C. D.（2）50.6元（）A. B.C. D.（3）0.05元（）A. B.C. D.（4）7.5元（）A. B.C. D.二、判断题6．（2分）个位和十位相同的两位数只有“77”。
（）7．（2分）56-7>65-8（）8．（2分）9090090左边的9表示9个十万，中间的9表示9个万，右边的9表示9个十。
9．（2分）人民币兑换时要保留二位小数。
10．（2分）37和73一样大。
三、填空题11．（2分）50前面的一个数是________，后面的一个数是________。
12．（1分）4元+3元=________元。
13．（6分）填一填________条边 ________边形________条边 ________边形________条边 ________边形14．（3分）点的运动形成________，线的运动形成________，面的运动形成________15．（8分）在横线上填上合适的数。
9 +________=12 ________+ 5 = 18 16 -________=10 14 -________= 5 7 +________=15 5 +________= 11 8 +________=16 16 -________= 916．（5分）看图列式。
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2019年月考数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 集合{}|sin ,y Z y x x R ∈=∈=（ B ）A . []1,1-B . {}1,0,1-C . {}1,1-D . ()1,1-2. 若点(,)P x y 是330︒角终边上异于原点的一点，则yx的值为（ D ） A . 3B . 3-C .33D . 33-解：由三角函数定义tan330yx︒=，知33y x =-3. 半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（ D ）A . 3πcmB . 23πcmC . 23πcmD . 223πcm解：由||lRα=，知22||1201803l R ππαπ==⨯⨯= 4. 已知1sin cos 2αα-=，且(0,)απ∈，则sin cos αα+=（ A ） A .72B . 72-C . 72±D . 12±解：由222(sin cos )sin cos 2sin cos αααααα-=+-，22sin cos 1αα+=，1sin cos 2αα-=，知32sin cos 04αα=>，再根据(0,)απ∈，∴sin 0α>，∴cos 0α>，∴sin cos 0αα+>，故2137sin cos (sin cos )4sin cos 2442αααααα+=-+=+⨯=5. 已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（ A ） A .13B . 13-C .233D . 233-解：由()362πππαα-=+-，知1sin()sin[()]cos()36263ππππααα-=+-=-+= 6. 函数12cos[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ C ）A . 3π,2-,4π B . 3π,2,12πC . 6π,2,12π D . 6π,2,4π 解：由112cos[()]2cos()34312y x x ππ=+=+及2||T πω=，知6T π=，2A =，12πϕ=7. 下列各点中，能作为函数tan()5y x π=+（x ∈R 且310x k ππ≠+，k ∈Z ）的一 个对称中心的点是（ C ） A .(0,0)B .(,0)5πC .3(,0)10πD .(,0)π解：令,52k x k ππ+=∈Z ，取1k =，有310x π=． 8. sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ B ） A . 1sin()23y x π=+ B . 2sin(2)3y x π=-C . sin(2)3y x π=-D . 1sin()23y x π=-解：2sin sin 2sin(2)3x y x y x y x ππ=−−−−−−→=−−−−−−−→=-1横坐标变为原来的沿轴向右平移个单位239. 函数sin (0)y b a x a =+<的最大值为1-，最小值为5-，则tan(3)y a b x =+的 最小正周期为（ B ）A .29π B .9πC .3π D .23π 解：由题意知，1b a -=-，5b a +=-， 解出2a =-，3b =-。
所以tan 9y x =，得9T π=10.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ A ）A .24sin()33x y π=+ B .224sin()33x y π=- C .24cos()33x y π=+ D .224cos()33x y π=- 解：由图形知，3T π=，223T πω==，若24sin()3x y ϕ=+，由2032πϕ-⋅+=，得到3πϕ=， 有24sin()33x y π=+。
若24cos()3x y ϕ=+，由2322ππϕ--⋅+=，得到6πϕ-=，11.在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（ B ） A .(,)4ππB .5(,)44ππC .5(,)(,)424ππππ⋃D .53(,)(,)442ππππ⋃解：由三角函数线或者三角函数图象得到，sin cos x x >成立的x 的取值范围为5(,)44ππ12．函数23cos log ||3y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点的个数是（ A ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13. 已知tan 3α=，则α的取值集合为____|,3k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z _____ 解：由tan 3α=，根据终边角的集合表示有3k παπ=+，k ∈Z 。
14. 函数sin(4)6y x π=-的单调增区间为___5|,26212k k x x k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z __ 解：sin(4)6y x π=-的单调增区间为21226k k x ππππ-≤≤+，k ∈Z 。
sin(4)6y x π=-的单调减区间为526212k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z 。
故sin(4)6y x π=-sin(4)6x π=--的单调增区间为5|,26212k k x x x ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 。
15. 函数7cos(2)2y x π=+的图象的对称轴方程是______(),24k x k ππ=+∈Z 解：7cos(2)sin 22y x x π=+=，由函数sin y x =的对称轴方程为2x k ππ=+， ∴sin 2y x =对称轴方程为24k x ππ=+，k ∈Z 。
16. 已知()cos2n f n π=，则(1)(2)f f ++…(2017)(2018)f f ++=____1-解：由()cos2n f n π=的周期为4，且(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， ∴(1)(2)f f ++…(2010)(2011)f f ++为(1)(2)(3)1f f f ++=-三、解答题(共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（12分）已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值． 解：（1）α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---∴=+--sin (tan )sin cos (tan )ααααα⋯⋯-=--⋯⋯4分s 61co α=-⋯⋯⋯⋯；分 （2）331sin()sin()cos ,2293ππααα-=--==-⋯⋯⋯⋯分，11() 3.1cos 312f αα∴=-=-=-⋯⋯⋯⋯分18.（12分）已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）()()()()4sin cos 3sin 25cos 2πααπαπα---++- ； （2）212sin cos cos ααα+． 解：（1）()()()()4sin cos 4sin cos 3sin 25cos 23sin 5cos 2πααααπαπααα--⋯--=++-+⋯⋯⋯分4tan 13tan 543111;3354146αα-=+⨯-==⨯+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分分（2）22221sin cos 2sin cos cos 2sin c 8os cos αααααααα⋯⋯+++⋯⋯=分 221012tan 12tan 13110.2317αα+=++=⋯⋯⋯⋯⋯=+⋯⋯⋯⨯分分19. (12分)求函数224sin 4cos y x x =--的最值，并写出函数取最值时对应的x 的值．解：222124sin 4cos 4sin 4sin 24(sin )32y x x x x x =--=--=--，………… 4分且sin [1,1]x ∈-，…………6 分∴当1sin 2x =，即26x k ππ=+或526x k ππ=+时，y 有最小值3-；…………9分 当sin 1x =-，即22x k ππ=-时，y 有最大值6。
………… 12分20.（12分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求,ϕω的值． 解：因为()sin()f x x ωϕ=+是R 上的偶函数，所以2k πϕπ=+，k ∈Z 。
………… 3分因为0ϕπ≤≤所以2πϕ=。
有()sin()cos 2f x x x πωω=+=，………… 6分又因为其图像关于点3(,0)4M π对称，所以342k ππωπ=+，k ∈Z 。
………… 8分得到4233k ω=+，k ∈Z 。
………… 9分又因为()f x 在区间[0,]2π上是单调函数，有112222T ππω=≥，得到2ω≤。
…… 11分又因为0ω>所以得到223ω=或。
………… 12分21.（12分）函数()cos()f x x ωϕ=+(0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图象如图所示．（1）求函数解析式； （2）若方程()f x m =在13[,]612ππ-有两个不同的实根，求m 的取值范围．解：由题中的图象知，5263T ππ=- ，即T π=…………3分所以22Tπω==，………… 4分根据五点作图法，令23πϕπ⨯+=，得3πϕ=。
…………7分所以()cos(2)3f x x π=+…………9 分由()cos(2)3f x x π=+在13[,]612ππ-上的图象知， 当1m =，或者(1,0)m ∈-上有两个不同的实根。
………… 12分 22. （10分）求证：1sin cos 2sin cos sin cos 1sin cos αααααααα+--=-+- ．证明：1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--+-2(sin cos )sin cos 1sin cos αααααα-+-=+- …………6分(1sin cos )(sin cos )1sin cos αααααα+--=+- …………8分sin cos αα=- …………10分。