湖南省衡阳市第八中学2020学年高二数学下学期期中试题 文

湖南省衡阳市第八中学2020学年高二数学下学期期中试题 文
请注意：时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{|2,}A x x k k Z ==∈，{|14}B x x =-<≤，则集合A B I 中元素的个数为
A.
B.3
C.
D.
2. 已知复数2(1)Z i =-，则复数Z 的虚部是
A.
B.-2
C. 2i
D.2i -
3.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A. 4π
B. 1
8 C. 8π D. 14
4.已知下表所示数据的回归直线方程为
，则实数a 的值为
x 2 3
4
5
6 y 3
7 12 a
23
A. 15
D. 18
5. 执行右侧程序，如果输入的a=5,b=3，那么输出的结果为
A. 5,3
B. 3,5
C. 3,3
D. 5,5
6.已知向量13(,)2BA =u u u r ，31(,)2
BC =u u u r
，则ABC ∠=
A. 030
B. 060
C. 0120
D.0150
7.函数y ＝2|x |
sin 2x 的图象可能是
INPUT a, b
IF a>b THEN c=a a=b b=c ENDIF PRINT a,b END
8.设直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
6
，则该椭圆的离心率为
A. 13
B. 12
C. 23
D. 34
9.已知数列{}n a 满足递推关系：11n
n n a a a +=
+，112
a =，则2018a = A. 12016
B. 12017
C. 12018
D. 12019
10.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条相互垂直的半径若该几何体的体积是632
π，则它的表面积是
A. 17π
B. 18π
C. 1534π
D. 36π
11.已知函数
的定义域为
，且满足()()0f x x f x '+⋅<(()f x '是
的导函数，
则不等式2
(1)(1)(1)x f x f x +-<-的解集为
A.
B.
C.
D.
12.已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当0x ≥时,2()2f x x x =-，函数
32()()(1)()(),(0,1)g x f x b f x bf x b =-++∈，则函数()g x 的零点的个数是
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.21111
3
3
2
26
5
____a b
a b
-
-
-=⋅
14.已知z x y =+，且,x y 满足25
4x y x y +≥⎧⎨-≤⎩
，则z 的最小值为_____
15.已知三棱锥
的三条侧棱两两互相垂直，且13,23,7AB BC AC ===，则
此三棱锥外接球的表面积为______．
16.已知偶函数在区间
上单调递增，且满足
，给出下
列判断： ①(3)0f =；
在[0,2]上是减函数；
的图象关与直线
对称；函数
在
0x =处取得最大值；
函数
没有最小值，其中判断正确的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{}n b 中，
341n n S =-，
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若数列n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18. （本小题满分12分）锐角
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知2sin (cos cos )3C a B b A c +=． （1）求C ； （2）若3c =，
的面积为33，求
的周长． 19. （本小题满分12分）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点． （1）求证：平面平面PAC ；
（2）当
平面BDE 时，求三棱锥P BDE -的体积．
20. （本小题满分12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量单位：
，其频率分布直方图如下：
（1）网箱产量不低于40kg 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有9.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关： 箱产量<40kg 箱产量≥40kg 合计 旧养殖法 新养殖法 合计
（2）已知旧养殖法100个网箱需要成本50000元 ，新养殖法100个网箱需要增加成本15750元，该水产品的市场价格为x 元/kg （15x ≥），根据箱产量的频率分布直方图（说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户一个较好的建议，并说明理由．
附参考公式及参考数据：
20()p K k ≥
0k
2
0()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++
27.50.01232.50.01437.50.02442.50.03447.50.0452.50.03257.50.0262.50.01267.50.0129.42⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=37.50.00442.50.0247.50.04452.50.06857.50.04662.50.01067.50.00810.47⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：
22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为，，离心
率为
3
，过的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且的周长为16．
求椭圆C 的方程；
若直线y kx m =+与椭圆C 分别交于A ，B 两点，且，试问点O 到直线AB 的距
离是否为定值，证明你的结论．
22.（本小题满分12分）已知函数()2x
f x ae x =-. 1讨论
的单调性；
2若()x
f x e <恰有两个整数解，求a 的取值范围．
2020年上期衡阳市八中高二期中考试
参考答案 一、选择题
B B
C B A
D ADC CD ．
二、填空题 13.
1a
14.2 15.16π
16.①②④
17.（本小题满分10分）解：12(1)21n a n n =+-=-，Q 341
n
n S =-，
11341,1b b ∴=-∴=
当2n ≥时，1
1341
n n S --=-， 1
334n n b -∴=⋅，
1
4n n b -∴=，
11b =满足上式，
1
4n n b -∴= .............5分
1
(21)4n n C n -∴=-
0121143454(21)4n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+-⨯L 1234143454(21)4n
n T n ∴=⨯+⨯+⨯+-⨯L
由上述两式可得：
5(65)49n
n n T +-⋅=
.............10分
18.（本小题满分12分）
解：2sin (cos cos )3C a B b A c +=Q
2sin (sin cos sin cos )3sin C A B B A C ∴+=
3sin()2A B ∴+=
,3sin 2
C ∴= 又因为ABC ∆为锐角三角形，
3C π
∴∠=
.............5分 （2）2
2
2
2cos c a b ab C =+-Q ，3c =
2229()3a b ab a b ab ∴=+-=+-
133
sin 22
ab C =Q
6ab ∴=
2()27a b ∴+= 33a b ∴+= 333a b c ∴++=+ ∴
的周长为333 .............12分
19.（本小题满分12分）
证明：（1）,PA AB PA BC ⊥⊥Q PA ABC ∴⊥面 BD ABC ⊂Q 又面
PA BD ∴⊥
又2AB BC ==，D 为线段AC 的中点
BD AC ∴⊥ BD PAC ∴⊥面 又BD BDE ⊂Q 面 ∴平面平面PAC .............6分
(2)因为
平面BDE ，所以//ED PA
1,ED ED ABC ∴=⊥面 ,ED AD ED BD ∴⊥⊥ AB BC ⊥Q 2,2BD AD ∴=
=可求
111
323P BDE A BDE V V AD BD DE --==⨯⨯⨯⨯=
.............12分
20.（本小题满分12分） 解：（1）由题可填写联表： 箱产量<40kg 箱产量≥40kg 合计 旧养殖法 25 75 100 新养殖法 2 98 100 合计 27
173
200
2
2
200(9825752)22.65010.82827173100100
k ⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯ 所以有9.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关 .............6分 (2)由频率分布直方图可得：
旧养殖法100个网箱产量的平均数:
(27.50.01232.50.01437.50.02442.50.03447.50.04x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
52.50.03257.50.0262.50.01267.50.012)+⨯+⨯+⨯+⨯5⨯
=47.1；
新养殖法100个网箱产量的平均数
(37.50.00442.50.0247.50.044x =⨯+⨯+⨯；
52.50.06857.50.04662.50.01067.50.008)+⨯+⨯+⨯+⨯5⨯
=52.35 .............8分 设新养殖法100个网箱获利为()f x ，则
()52.3510065750523565750(15)f x x x x =⨯⨯-=-≥
设旧养殖法100个网箱获利为()g x ，则
()47.110050000471050000(15)g x x x x =⨯⨯-=-≥
由()()f x g x >可得：30x > 所以当30x >时，采用新养殖法；
当30x =时，两种方法均可；
当1530x ≤<时，采用旧养殖法. .............12分 21.（本小题满分12分） 【答案】解：
由题意知，416a =，则4a =，
由椭圆离心率32
c e a =
=，则223,4c b == 椭圆C 的方程
221164
x y += ． .............4分 由题意，直线AB 斜率存在，
直线AB 的方程为y kx m =+，设
，
联立方程221164
y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去y 得222
(14)84160k x kmx m +++-=．
由已知
，2121222
8416
,4141
km m x x x x k k -+=-=++， 由，即
，
则
，即1212()()0x x kx m kx m +++=， .............8分
整理得：22
1212(1)()0k x x km x x m ++++=，
22
222
4168(1)04141
m km
k km m k k --∴+++=++． 22516(1)m k ∴=+，满足
．
点O 到直线AB 的距离2
45
5
1m d k ==
+为定值． .............12分 22.（本小题满分12分） 解：()2x
f x ae x =-Q
()2x f x ae '∴=- 当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴为R 上的减函数；
当0a >时，由()0f x '>可得2ln x a >，
此时函数()f x 的单调递减区间为2(,ln )a -∞，单调递增区间为2
[ln ,)a
+∞.............5分
（2）由()x
f x e <恰有两个整数解可得21x x
a e <+恰有两个整数解，
设2()1x x g x e =+
2(1)
()x x g x e -'=
由()0g x '>可得1x <
所以()g x 在(,1)-∞上为单调递增函数，在[1,)+∞上为单调递减函数.
又2(1)1g e =+，(0)1g =，24(2)g e =，36
(3)1g e =+
根据数形结合可得当32
64
11a e e +≤<+
， 综上所得：当326411a e e
+≤<+时，()x
f x e <恰有两个整数解。

.............12分。