长沙理工大学高等数学 练习册 第五章 定积分答案

习题5.1
略
习题5.2—5.3
（A ）
一 计算下列定积分
1．⎰20
3cos sin π
xdx x
解：原式23
4
20
11cos cos cos 44xd x x π
π
=-=-=⎰
2．⎰-a dx x a x 0
222
解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2
π
=
t
原式⎰⋅⋅=20
22cos cos sin π
tdt a t a t a
()⎰⎰-==
2
4
20
2
4
4
c o s 18
2s i n 4
π
π
dt t a tdt a 420
4
4
164sin 41828a t a a π
ππ
=-=
3．⎰
+3
1
2
2
1x
x
dx
解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为
4π，3
π
原式θθθθ
π
πd tg ⎰=34
22
sec sec
()⎰-=34
2
s i n s i n π
πθθd
33
2
2-
=
4．⎰
--11
45x
xdx
解：令u x =-45，则2
4145u x -=
，udu dx 2
1-= 当1-=x ，1时，1,3=u 原式()
6
1
5811
32=-=⎰du u 5．⎰
+4
1
1
x dx
解：令t x =，tdt dx 2=
当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-=+=⎰⎰⎰
212
121
1212t dt dt t tdt ()[]
3
2ln 221ln 22
121+=+-=t t
6．⎰--1
4
3
1
1x dx
解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=
x 时0,2
1=u 原式2ln 2111
121221
00
21-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u
7．⎰
+2
1
ln 1e x
x dx
解：原式()⎰
⎰++=+=221
1
ln 1ln 11ln ln 11e e x d x
x d x
232ln 1221
-=+=e x
8．⎰
-++0
222
2x x dx
解：原式()
()⎰
--+=++=02
22
111x arctg x dx
()2
4
4
11π
π
π
=
+
=--=a r c t g a r c t g
9．dx x ⎰
+π
2cos 1
解：原式⎰⎰==π
π
2cos 2cos 2dx x dx x
()⎰⎰-+=ππ
π
2
20
c o s 2c o s 2dx x xdx
22s i n s i n 2220=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=πππ
x x 10．dx x x ⎰-π
π
sin 4
解：∵x x sin 4为奇函数
∴⎰-=π
π
0sin 4xdx x
11．dx x ⎰-22
4cos 4π
π
解：原式()⎰
⎰=⋅=2
2
2
20
4
cos 22cos 24π
πdx x xdx
()
()⎰⎰
++=+=20
220
2
2cos 2cos 2122cos 12π
π
dx x x dx x
()⎰
⎰+++=2
20
20
4cos 12cos 22πππ
dx x xdx x
⎰+++=20
20
44cos 41
22sin 2π
π
π
πx xd x πππ
23
4sin 412320
=+=x
12．⎰-++5
524
231
2sin dx x x x
x 解：∵1
2sin 2
423++x x x
x 为奇函数 ∴01
2sin 5
524
23=++⎰-dx x x x
x
13．⎰3
4
2
sin π
πdx x x
解：原式⎰-=34
π
πxdctgx
⎰+-=34
3
4
π
πππc t g x d x
x c t g x 34s i n
ln 9341π
ππx +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 22
ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23
ln 219341+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰
4
1
ln dx x
x
解：原式⎰=4
1
ln 2x xd
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎰4
141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=⎰4112ln 42dx x x
⎰-
-=41
2
1
22ln 8dx x
42ln 8-= 15．⎰1
0xarctgxdx
解：原式⎰=
102
2
1arctgxdx ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022
102
121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=102
10121218x dx dx π
1
01021
218a r c t g x
x +-=π
2
1
4
-
=
π
16．⎰20
2cos π
xdx e x
解：原式⎰=20
2sin π
x d e x
⎰⋅-=20
220
22s i n s i n
π
πdx e x x e x x
⎰+=20
2c o s
2π
π
x d e e x ⎰⋅-+=20
220
22c o s 2c o s 2π
π
π
dx e x x e e x x
⎰--=20
2c o s 42π
π
x d x e e x
故()
25
1cos 20
2-=
⎰π
π
e xdx e x 17．()dx x x ⎰
π
2
sin 解：原式()⎰⎰
-==π
π
2
2
2
2cos 1sin dx x
x dx x x ⎰⎰-=ππ0
2
022c o s
2121x d x x dx x ⎰-=ππ
02
3
2s i n 4
161
x d x x
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=
⎰πππ0023
22s i n 2s i n 4
1
6x d x x x x
⎰-=
π
π0
3
2c o s 416x xd 462c o s 2c o s 4163
003
πππππ
-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=
⎰x d x x x 18．()dx x e
⎰1
ln sin
解：原式()()⎰⋅-=e
e
dx x
x x x x 111
ln cos ln sin
()⎰-=e
dx x e 1
ln cos 1sin
()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin
()⎰-+-=e
dx x e e 1
ln sin 11cos 1sin
故()()11cos 1sin 2
ln sin 1
+-=
⎰e
dx x e
19．⎰--24
3cos cos π
πdx x x
解：原式()
⎰-
-=24
2cos 1cos π
πdx x x
()⎰⎰
+-=-
20
04
s i n c o s s i n c o s π
π
x d x
x dx x x ()()2
2
30
4
2
3
c o s 32c o s 32π
π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x 3
2
344-=
20．⎰+4
sin 1sin π
dx x
x
解：原式()⎰--=4
2
sin 1sin 1sin π
dx x
x x ⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=4022c o s s i n π
dx x tg x x ()
⎰⎰---=402
4
21s e c c o s c o s π
π
dx x x
x d ()24
2c o s 14040-+=--=
ππ
π
x t g x x 21．dx x
x
x ⎰
+π0
2
cos 1sin
解：令t x -=
2
π
，则
原式⎰-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2
222cos 12sin 2π
ππππdt t t t ⎰-
+-+-=2
2
2
2s i n 1c o s s i n 1c o s
2π
ππ
dt t t t t t ()4s i n s i n 1c o s 220202πππππ
==+=⎰t a r c t g dt t t 22．⎰-+21
11ln
dx x
x
x 解：原式⎰
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=210
2211ln x d x x ()()()
⎰--+--⋅+-⋅--+=21
022
2
1
02
111111211ln 2dx x x x x x x x x x ⎰-+=21
022
1l n 3l n 81dx x x ⎰⎰-++=21
0221
01
3ln 81x dx
dx
2
1011
ln 21213ln 81+-++=x x
3ln 8
321-=
(B)
一 解答
1．求由0cos 0
=+⎰⎰x
y
t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数
dx
dy 。

解：将两边对x 求导得
0c o s =+x dx dy
e y
∴y e
x dx dy cos -=
2．当x 为何值时，函数()⎰-=x
t dt te x I 0
2
有极值？
解：()2
x xe x I -='，令()0='x I 得0=x
当0>x 时，()0>'x I 当0<x 时，()0<'x I
∴当0=x 时，函数()x I 有极小值。

3．
()
⎰x x dt t dx
d cos sin 2
cos π。

解：原式()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+=⎰⎰t a a x dt t dt t dx d cos 2sin 2
cos cos ππ ()()
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+-=⎰⎰x a x a dt t dt t dx d cos 2sin 2
cos cos ππ (
)()()()'+'-=x x x x c o s c o s c o s s i n s i n c o s 2
2π ()()
()x x x s i n c o s c o s c o s s i n c o s 22
-+-=ππ ()()
x x x x 22s i n c o s s i n c o s s i n c o s πππ---= ()()
x x x 2s i n c o s c o s s i n π-=
4．设()⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
11
,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

解：()()⎰
⎰⎰++=21
2
10
20
2
11dx x dx x dx x f 3
861212
131
02=+⎪⎭⎫
⎝⎛+=x x x
5．()1
lim
2
2
+⎰+∞
→x dt arctgt x
x 。

解：()()()
x x arctgx x dt arctgt x x
x 212
1lim
1
lim
212
2
20
2-+∞
→∞
∞+∞
→++⎰型
()()
x
a r c t g x x
x x
a r c t g x
x x x 2
22
211lim 1lim
+
=+=+∞→+∞
→
()411l i m 22
2π=+=+∞→arctgx x
x
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
00,sin 21
π
x x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0
ϕ。

解：当0<x 时，()()000
===⎰⎰x
x dt dt t f x ϕ
当π≤≤x 0时，()2
cos 1sin 210x
tdt x x
-==⎰
ϕ 当π>x 时，()()()()10sin 2
1000=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰x
x x dt tdt dt t f dt t f dt t f x π
πππϕ
故()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=时当时当时当ππϕx x x x ,
10,cos 12
1
0,
0。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<+≥+=时当时当0,110,11
x e x x
x f x ，求()⎰-2
1dx x f 。

解：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<+≥=--时当时当1,111,1
11
x e x x
x f x
()()⎰⎰
⎰
-+++=--211
0120
111
11dx x e dx dx x f x ()⎰⎰+-+-+=---211
011
1111x dx x d e
e e x x x (
)
2ln 1ln 11
1++-=-x e
()e +=1ln 8．()
22
21
lim
n n n n n +++
∞→ 。

解：原式n
n n n n n 1
21lim ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=∞→
3
21lim 101
==⋅=⎰∑
=∞
→dx x n n i n
i n
9．求∑
=∞
→+n
k n
k n k
n ne
n e
1
2lim 。

解：原式∑
=∞
→+=n
k n
k n k n n
e
e
1
211lim 1
1
200a r c t a n a r c t a n 14
x x x
e dx e e e π
===-+⎰
10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=10
2dt t f x x f ，求()x f 。

解：令()A dt t f =⎰1
0，则()A x x f 2+=，
从而()()A dx A x dx x f 22
1
21
10
+=
+=⎰⎰ 即A A 221+=
，2
1-=A ∴()1-=x x f 11．若⎰
=
-2ln 26
1
x
t
e dt π
，求x 。

解：令u e t =-1，则()
21ln u t +=，du u u
dt 2
12+= 当2ln 2=t 时，3=u 当x t =时，1-=x e u ∴(
)
31
31
2
2ln 22121
--=+=-⎰
⎰
x x e e x
t
arctgu u
u udu
e dt
6
132π
π=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x e a r c t g
从而2ln =x 12．证明：⎰
-
--<<21
2
12
1222
dx e e
x 。

证：考虑⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的函数2
x e y -=，则 2
2x xe y --='，令0='y 得0=x
当⎪⎭⎫
⎝⎛-∈0,21x 时，0>'y
当⎪⎭⎫
⎝⎛∈21,0x 时，0<'y
∴2
x e
y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2
x e
y -=在2
1±
=x 处取最小值2
1-
e
故⎰
⎰
⎰
-
---
-<<21
2
1212
121
2
12
112
dx dx e
dx e x
即⎰
-
--<<21
2
12
1222
dx e
e
x 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-a x
x
x dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。

解：左端a
x
x e a x a 221lim -+∞
→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
右端()()⎰
⎰
∞
+-∞+--=--=a
x a
x de x x d e x 2222222
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=⎰
∞+-∞+-a
x a
x
dx xe e
x 22222
⎰∞
+---=a
x a x d e e a 22222
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--=⎰
∞+-∞+--a
x a
x
a
dx e xe e
a 2222
22
()
a e a a 22122-++= ∴()
a a e e a a 222122--=++ 解之0=a 或1-=a 。

14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0
,
0,
12
x e x x x f x
，求()⎰-3
1
2dx x f 。

解：令t x =-2，则
()()()
e
dt e dt t dt t f dx x f t 137121
1
2
11
3
1
-=
++==-⎰⎰⎰⎰
--- 15．设()x f 有一个原函数为x 2
sin 1+，求()⎰'20
2π
dx x f x 。

解：令t x =2，且()()x x x f 2sin sin 12='
+=
()()()⎰⎰
⎰
'='='π
π
π
20
412122dt t f t dt t f t dx x f x ()()()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==
⎰⎰πππ0004141dt t f t tf t tdf ()
0s i n 12s i n 4102
0=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
+-=ππt t t 16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰3
1
dx x f 最
小。

解：当()⎰3
1
dx x f 最小，即()⎰-+3
1
ln dx x b ax 最小，由()0ln ≥-+=x b ax x f 知，
b ax y +=在x y ln =的上方，其间所夹面积最小，则b ax y +=是x y ln =的切线，
而x y 1=
'，设切点为()00ln ,x x ，则切线()000ln 1x x x x y +-=，故0
1
x a =，1ln 0-=x b 。

于是()⎰⎰
-⎪⎭⎫
⎝⎛+=-+=313
1
231
ln 2ln xdx bx x a dx x b ax I
()⎰-+-=3
1
ln ln 124xdx a a
令024=-='a I a
得2
1
=a 从而20=x ，12ln -=b
又022>=''a
I a
，此时()⎰31dx x f 最小。

17．已知()2
x e
x f -=，求()()⎰'''1
dx x f x f 。

解：()2
2x xe x f --='
()()()()()[]1
2
10
10
21x f x f d x f dx x f x f '=''='''⎰
⎰
21
222212
--=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-=e xe x
18．设()()()⎰⎰+-=1
20
22dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。

解：设()A dx x f =⎰10
，()B dx x f =⎰2
，则()A Bx x x f 22+-=
∴()()A B dx A Bx x dx x f A 221
3121
021
0+-=
+-==⎰⎰
∴()()
A B dx A Bx x dx x f B 2423
8
20220+-=+-==⎰⎰
解得：31=A ，34
=B ，于是
()3
2
342+-=x x x f
19．()()[]⎰
'-π
2
sin cos cos cos dx x x f x x f 。

解：原式()()⎰⎰'+=π
π0
cos cos sin cos cos x d x f x xdx x f
()()()⎰⎰-+=π
π
π0
00
c o s c o s c o s s i n c o s c o s x
d x
x f x xf xdx x f 0=
20．设0→x 时，()()
()dt t f t x x F x
''-=⎰022的导数与2x 是等价无穷小，试求
()0f ''。

解：()
()()2
3
22
2lim
3
lim
x
dt t f x x dt
t f t
x x x x x ⎰⎰''=''-→→
()()x
f x x
dt
t f x x x ξ''=''=→→⎰2lim
2lim
00
()()x ,0∈ξ ()102=''=f 故()2
1
0=
''f 21．设()()
⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎰2122
cos 21cos cos t udu u t t y t x ，求dx dy ，2
2
2
π
=
t dx y
d 。

解：()
()
()
()
t t
t t
t t
t t t t x y dx dy t t =--
-=
'
'=2sin 2cos 21
2sin cos 222
22
()()
π
π
πππ212
2
1s i n 21
2
2
2
2
2
2-=-=
-=
'
'=
=
=
=
t t t t t t x t dx y d
习题5.4
一 略
二1．⎰∞
+∞-++dx x x 4
2
11 解：原式⎰⎰
∞+∞
+++=++=0
2220
4
2
1
11211dx x x
x dx x x
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=⎰
∞+x x d x x 12
1120
2
π22
1
220=-
=+∞
+
x x arctg
2．⎰20
sin ln π
xdx
解：原式()⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln π
πdt t t dx x x t x 令
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎰⎰4040c o s ln sin ln 22ln 2π
ππ
tdt tdt
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎰⎰-=24402
s i n ln sin ln 22ln 2π
πππ
π
udu tdt u
t ⎰+=
20
s i n ln 22ln 2
π
π
tdt
故2ln 2
sin ln 20
π
π
-
=⎰xdx
3．(
)()
⎰
∞
+++0
211α
x x dx ()0≥α
解：令t x 1=，则dt t
dx 21
-=
原式()()
⎰⎰∞+∞+++=+⋅+-
=020********
ααα
αt t dt t t t t t dt t ∴(
)()()()()()
⎰⎰⎰
∞+∞+∞
++++++=++02020
21111112ααααx
x dx
x x x dx x x dx 2110
2π==+=∞
+∞+⎰a r c t g x dx x
故(
)()
4110
2π
α
=++⎰∞
+x
x dx
自测题
1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛+=
⎰
12140611
f f f dx x f ，求()dx x
g b a ⎰。

解：设()a t a b x +-=，则
()()()()⎰⎰-+-==1
dt a b a t a b g dx x g I b
a
()()()⎰+--=1
dt a t a b g a b
令()()()t f a t a b g =+-
于是()()a g f =0，⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛221a b g f ，()()b g f =1
由已知得()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫
⎝⎛++-=
b g a b g a g a b I 246
2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，
使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f b a
''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰3
24
12。

证：由泰勒公式
()()()()()()20000!
2x x f x x x f x f x f -''+
-'+=ξ 其中()b a x x ,,0∈，ξ位于0x 与x 之间。

两边积分得：
()()()()()()dx x x f dx x x x f dx x f dx x f b
a b
a
b a
b a
2
0000!2-''+-'+=⎰
⎰⎰⎰
ξ ()()()()()[]
()()
()[]
3
03
2020006
2
x a x b f x a x b x f x f a b ---''+
---'+-=ξ
令2
0b
a x +=，则
()()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰
2
2222122b a a b a b b a f b a f a b dx x f b a
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-''+3
3
226b a a b a b f ξ ()()()ξf a b b a f a b ''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3
24
12，()b a ,∈ξ。

3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。

试证
()()()()()()2
a f
b f a b dx x f a f a b b
a +-<<-⎰。

证明：当()b a x ,∈时，由()0>'x f ，()0>''x f 知()x f 是严格增及严格凹的，从而()()a f x f >及()()()()()a x a
b a f b f a f x f ---+
< 故()()()()a f a b dx a f dx x f b
a
b
a
-=>⎰⎰
()()()()()⎰⎰
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---+<b
a b a
dx a x a b a f b f a f dx x f
()()()()()22
1
a b a b a f b f a f a b ---+
-=
()()()2
a f
b f a b +-=
4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f b
a ⎰'≤
2
1 (b x a <<)。

证明：因为在[]b a ,上()x f '可积，故有
()()()⎰⎰⎰
'+'='b
x
x a
b a
dt t f dt t f dx x f
而()()⎰'=x
a
dt t f x f ，()()dt t f x f b
x
⎰'=-
于是()()()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡'-'=
⎰⎰b x x a dt t f dt t f x f 21 ()()()()⎰⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡'+'≤b a x a b x dt t f dt t f dt t f x f 2121
5．设()x f 在[]1,0上连续，()010
=⎰dx x f ，()11
=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，
10≤≤x ，使()4>x f 。

证：假设()4≤x f ，[]1,0∈x
由已知()⎰=1
0dx x f ，()11
=⎰dx x xf ，得
()()()⎰⎰⎰⎪⎭⎫
⎝
⎛-=-
=10101
21211dx x f x dx x f dx x xf ()⎰⎰
-≤-≤1010
2
1
421dx x dx x f x
1212
14121210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎰⎰dx x dx x
故()dx x dx x f x ⎰⎰
-=-1010
2
1421
从而()()042
1
1
=--
⎰dx x f x ∴()04=-x f
因为()x f 在[]1,0连续，则()4=x f 或()4-=x f 。

从而()41
0=⎰dx x f 或4-，
这与()⎰=1
0dx x f 矛盾。

故()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()
d t t x tf x F x
⎰-=0
22，求()4
lim
x x F x →。

解：令u t x =-2
2
，则()()⎰=2
21x du u f x F ，显然()()
2x xf x F ='
于是()()()
()
()(
)
()41
0410
40lim 4lim 4lim lim 2202203040='=--=='=→→→→f x f x f x x f x x F x x F x x x x 。

7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则
()
()()x f dx x f a b b
x a b
a
'≤-≤≤⎰max 4
2。

证：因()x f 在[]b a ,上连续可微，则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,b a a 和⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+b b a ,2上均满足拉格朗日定理条件，设()x f M b
x a '=≤≤max ，则有
()()()⎰⎰
⎰
+++=b
b a b a a
b a
dx x f dx x f dx x f 2
2
()()()()()()⎰⎰++-'++-'+=b
b a b
a a
dx b x f b f dx a x f a f 2
221ξξ
()()()()⎰⎰
++-'+-'=b
b a b a a
dx b x f dx a x f 2
22
1ξξ
()22
24
a b M
dx b x M dx a x M b
b a b a a
-=
-+-≤⎰⎰++ 故
()
()M dx x f a b b
a
≤-⎰2
4。

8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx k
x f k x f b a
k ⎰
-+→0
lim
()()a f b f -=。

证：()()()()⎰⎰⎰
-+=-+b
a
b a b a
dx x f k dx k x f k dx k x f k x f 11
令u k x =+，则()()⎰
⎰++=+k b k
a b
a
du u f dx k x f
于是()()()()⎰⎰⎰-=-+++b
a
k b k a b
a dx x f k dx x f k dx k k f k x f 11 ()()⎰⎰++-=k
a a k
b b dx x f k
dx x f k 11
故()()()()⎰⎰⎰
+→+→→-=-+k
a a k k
b b k b a
k dx x f k dx x f k dx k
x f k x f 1lim 1lim lim 000
()()a f b f -=
9．设()x f 为奇函数，在()+∞∞-,内连续且单调增加，()()()dt t f t x x F x
⎰-=03，
证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。

证：(1) ()()()()()⎰⎰-+-----=--=-x
u t x du u f u x dt t f t x x F 00
33
()()()⎰+-x
x f du u f u x 03为奇函数
()()()x F du u f u x x
-=--=⎰03
∴()x F 为奇函数。

(2)()()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='⎰⎰x
x dt t tf dt t f x x F 003 ()()()x xf x xf dt t f x
30-+=⎰
()()x xf dt t f x
20
-=⎰
()()[]()x xf dt x f t f x
--=⎰0
由于()x f 是奇函数且单调增加，当0>x 时，()0>x f ，
()()[]00
<-⎰x
dt x f t f ()x t <<0 ，故()0<'x F ，()+∞∈,0x ，即()x F 在[)+∞,0上
单调减少。

10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ⎰+1
0的结果与x 无关，试求()x f 。

解：记()()[]C dt xt xf x f =+⎰1
，则
()()[]()()C du u f x f dt xt xf x f x
=+=+⎰⎰0
10
由()x f 可微，于是 ()()0=+'x f x f
解之()x ke x f -=（k 为任意常数）
11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：
()()[]⎰=''+π
3sin xdx x f x f 。

解：因()()⎰⎰'=''π
π0
sin sin x f xd xdx x f
()()⎰'-'=π
π
0c o s s i n x d x
x f x f x ()⎰'-=π
c o s x
d x
x f ()()()⎰⎰--=-=π
π
π0
00
s i n c o s c o s x d x
x f x x f x x d f ()()()⎰-+=π
π0
s i n 0x d x
x f f f ()()⎰⎰-=-+=π
π0
s i n 3s i n 21x d x
x f x d x x f 所以()()[]⎰
=''+π
3sin xdx x f x f 。