2018年江苏省淮安市、宿迁市高三上学期期中数学试卷与解析答案
最新-江苏省宿迁市2018学年度高三年级第三次统测试卷
宿迁市2018—2018学年度高三年级第三次统测试卷物 理本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共12页；试卷1~6页，答题卡7~12页；全卷共18小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意：所有答案都要填入答题卡中，填写在试卷中的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、共10小题；每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确。
有的小题有多个选项正确。
全部选对的得4分，选不全的得2分，选错或不选的得0分。
1.下列说法正确的是（ ）Ａ．天然放射现象的发现，揭示了原子核是由质子和中子组成的 Ｂ．卢瑟福的α粒子散射实验揭示了原子核有复杂结构Ｃ．玻尔的原子结构理论是在卢瑟福核式结构学说基础上引进了量子理论 Ｄ．α射线、β射线、γ射线本质上都是电磁波 2．下列关于电磁波的说法中，正确的是（ ）A ．各种电磁波中最容易表现出干涉和衍射现象的是γ射线B ．红外线有显著的热作用，紫外线有显著的化学作用C ．X 射线的穿透本领比γ射线更强D ．在电磁波谱中，X 射线与γ射线有很大的重叠区域，但二者产生的机理是不一样的 3．用中子轰击铝27，产生钠24 和X 粒子，钠24 具有放射性，它衰变后变成镁24 ，则X 粒子和钠的衰变过程分别是（ ）A ．质子 α衰变B ．α粒子 β衰变C ．电子 α衰变D ．正电子 β衰变4．若以μ表示水的摩尔质量，v 表示在标准状态下水蒸气的摩尔体积，ρ表示在标准状态下水蒸气的密度，N A 为阿伏加德罗常数，m 、v 0分别表示每个水分子的质量和体积。
下列关系式中正确的是 ( ) A ．N A ＝m v ρ B ．ρ＝0v N A μ C ．m ＝A N μ D ．v 0＝AN v 5．静止的镭核Ra 22686发生α 衰变，释放出的α 粒子的动能为E 0，假设衰变时能量全部以动能形式释放出来，则衰变过程中总的质量亏损是（ ） A ．20c E B ． 202c E C ． 201112c E D ． 20111113c E绝密 ★ 启用前2018.05.186．下列关于热现象的论述中正确的是（ ）A ．给自行车车胎打气时，要克服空气分子间的斥力来压活塞B ．玻璃被打碎后分子间的势能将减小C ．布朗运动现象反映了分子运动的无规则性D ．热机的效率不可能提高到100%，是因为它违背了热力学第二定律7．1924年法国物理学家德布罗意提出物质波的概念，任何一个运动着的物体，小到电子，大到行星、恒星都有一种波与之对应，波长为λ=h /p ，p 为物体运动的动量，h 是普朗克常数。
江苏省淮安、宿迁等2018届高三上学期期中学业质量检测英语试题(附答案可编辑精品)-物理圣殿之子系列
2017～2018学年期中学业质量监测高三英语注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共12页，包含第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分。
考试时间120分钟。
考试结束后，只要将答题纸交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔把答题纸上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
第I卷（三部分，共85分）第一部分听力（共两节，满分20分）第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.W h e r e a r e t h e s p e a k e r s g o i n g?A.T o N e w Y o r k.B.T o C a n a d a.C.T o M e x i c o.2.W h y c a n’t T i m t a k e J e n n y’s s h i f t?A.H e h a s a s o c c e r g a m e.B.H e i s o n v a c a t i o n.C.H e h a s t o g o t o a f u n e r a l.3.W h a t d o e s t h e w o m a n m e a n?A.T h e r e i s a b o m b i n t h e r e f r i g e r a t o r.B.T h e y w i l l p r o b a b l y r u n o u t o f f o o d.C.M o r e t h a n e n o u g h f o o d h a s b e e n p r e p a r e d.4.W h a t s u b j e c t d o e s t h e w o m a n t h i n k l e s s d i f f i c u l t?A.L i t e r a t u r e.B.H i s t o r y.C.M a t h e m a t i c s.5.W h a t d i d t h e w o m a n s t u d y i n c o l l e g e?A.B u s i n e s s.B.A r t.C.S p a n i s h.第二节听下面5段对话或独白。
江苏省苏北四市(徐州、连云港、宿迁、淮安)2018届高三第一次模拟考试 数学试卷(含答案)
苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)B （第14题） A DC E （第16题）1A 1B NM1C CBA某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2（第17题）（第18题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A C D E F(第21－A 题) O .B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11AC 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C =，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ===答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分（第16题）1A 1B NM1C CB AP18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x -+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③②①q ，得21q =λ ，③②q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以131********M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d == 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|4α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC=， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=， 所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y 121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分 令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'<得0t<<，f t'>得t>()0所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t=时，()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值s t=+=．……………………………………………………………10分此时21。
江苏省宿迁市2018届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
高三年级一模考试数学I参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高.2.圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥底面的周长，是母线长.一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1.已知集合，则___________．【答案】【解析】集合，则故答案为：.2.已知复数（为虚数单位），则的模为____．【答案】【解析】，所以。
3.函数的定义域为____．【答案】【解析】，解得定义域为。
4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．【答案】13【解析】根据题意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件，故得到此时输出的b值为13.故答案为：13.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．【答案】750【解析】因为，得，所以。
6.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____．【答案】【解析】，所以，得离心率。
7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．【答案】【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。
8.已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是_________【答案】54【解析】Aa设正四棱柱的高为h得到故得到正四棱柱的体积为故答案为：54.9.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为__________．【答案】4【解析】函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，故得到函数的周期为：，故得到故答案为：4.10.在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为__________．【答案】【解析】，所以，得，由图象对称性，取点，所以。
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宿迁市2018～2018学年度高三年级第四次考试数 学本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.第一卷(选择题共50分)注意事项：1．作答第一卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔填写在答题卡上.2．第一卷答案必须用2B 铅笔填涂在答题卡上，在其他位置作答一律无效.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3．考生作答时，应保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠. 参考公式：一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集{12345}S =，，，，，集合{123}A =，，，集合{245}B =，，，则集合()S A B ð等于 (A){2} (B){1，3} (C) {4，5} (D){1，2，3，4}(2)若k ∈R ，则“4<k <9”是“方程22194x y k k -=--表示双曲线”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)已知函数2(21)()log (1)a f x x -=-在区间(2,)+∞上是减函数，则a 的取值范围是(A)102a <<(B)112a << (C)01a << (D)1a > (4)将函数2()f x x a=+的图象按向量(10)m =- ，平移后，得到函数y =g (x )的图象C ，若曲线C 关于原点对称，那么实数a 的值是（A ）1- （B ）3- （C ）0 （D ）1如果事件A ，B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率 是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 ()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式 24S R π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径(5)设,m n 为不重合的直线，α,1α,β,1β,γ为两两不重合的平面。
宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学
宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试数学参考公式：锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{|10,}A x x x =+>∈R ，{|230,}B x x x =-<∈R ，则A B =I▲ ． 2． 已知复数z 满足()12i 3i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 3． 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h 的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速 不低于80km/h 的汽车有 ▲ 辆．4． 如图是一个算法的伪代码，运行后输出S 的值为 ▲ ．5．春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 ▲ ．6. 设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3．（第3题） 51While 121End While Pr int n S S S S n n n S ←← < ←+ ←-（第4题）7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为 ▲ .8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，121n n a a +-=，11a =，则9S 的值为 ▲ ． 9． 已知正实数,a b 满足22a b +=，则1+43a bab+的最小值为 ▲ ． 10. 已知点(1,0),(1,0)A B -，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r,则实数a 的取值范围是 ▲ .11. 对于函数()y f x =，如果()f x 是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域,y x y x⎧⎨-⎩≥≥内，则称该函数为“V 型函数”.下列函数：①1y x x =+；②1||y x x =-； ③||e x y =； ④ππ|tan |((,))22y x x =∈-.其中是“V 型函数”的是 ▲ .（将符合条件 的函数序号都填在横线上）.12. 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧»EB(含端点B 、E )上 的一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是 ▲ . 13.已知函数()(cos sin ))f x x x x x =⋅+-∈R ，设点111222(,),(,),P x y P x y …， (,)n n n P x y ，…都在函数()y f x =图象上，且满足1π6x =，*1π()4n n x x n +-=∈N ， 则122019y y y +++L 的值为 ▲ .14. 已知函数1,12,()12(),2,2x x f x f x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≤≥ 如果函数()()(3)g x f x k x =--恰有2个不同的零 点，那么实数k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15. （本小题满分14分）已知三角形ABC 的面积是S，3AB AC ⋅=u u u r u u u r ． （1）求sin A 的值；（2）若BC =，当三角形ABC 的周长取得最大值时，求三角形ABC 的面积S ．(第12题)在四棱锥S ABCD -中，SA ABCD ⊥面，底面ABCD 是菱形．（1）求证：SAC SBD ⊥面面；（2）若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且12AN NS =，求证：SC BMN 面∥．17．（本小题满分14分）如图所示，桌面上方有一盏电灯A ，A 到桌面的距离AO 可以变化，桌面上有一点B 到点O 的距离为a （a 为常数），设ABO θ∠=，灯A 对B 点的照度J 与sin θ成正比、与AB 长的平方成反比，且比例系数为正常数k . （1）求灯A 对B 点的照度J 关于θ的函数关系式；（2）问电灯A 与点O 多远时，可使得灯A 对B 点的照度J 最大？18．（本小题满分16分）如图所示，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，右准线方程为4x =，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点,A B ，2l 与椭圆交于不同两点,D C .（1）求椭圆M 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ；（3）求线段AC 长的取值范围.(第17题) ABC DS MN(第16题) (第18题)已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N 都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12b b a ,a ,3n b b a ,,a ⋅⋅⋅是等比数列．（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式n b ； （3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln xf x x=，()(,)g x kx b k b =+∈R . （1）求函数()y f x =的定义域和单调区间；（2）当2e =4b 且1x >时，若直线()y g x =与函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（3）当=b k -时，若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得1()()2f xg x +≤，求k 的取值范围.数学Ⅱ(附加题)本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a M 的一个特征值为3λ=，其对应的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ， 求直线1l ：210x y ++=在矩阵M 对应的变换作用下得到的曲线2l 的方程.22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,()sin ,x y t ααα⎧⎪⎨=⎪⎩为参数．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为πsin()4ρθ-．(1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的普通方程； (2)若直线l 与椭圆C 有公共点，求t 的取值范围．23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC AC BC ⊥==，，12BB =，点D 在棱1BB 上，且11C D AB ⊥． （1）求线段1B D 的长；（2）求二面角11D A C C --的余弦值．DC C 1BA24．（本小题满分10分）已知12012()(1)n n n f x ax a a x a x a x =+=+++⋅⋅⋅+，若对于任意*n ∈N ，都有2()3nnii a ==∑． （1）求实数a 的值；（2）若[]2220122()n n f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+，求232123211113333nnb b b b +++⋅⋅⋅+的值．高三数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．3(1,)2-； 2； 3．20； 4．13； 5.13;；8. 1013 9．252； 10. [2,1]-；11. ③④；12. [8-；13. 14. 168(1,0)[,)2913-U .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15解：（1）由2AB AC S ⋅=u u u r u u u r得1cos sin 2AB AC A AB AC A ⋅⋅=⋅⋅，所以cos A A =. ………… …………………………2分 在三角形ABC 中()0A ,π∈得tan A =4分所以3A π∠=,sin A =， ……………………………7分 （2）在三角形ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，所以()21222cos3b c bc bc π=+--，即()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，…………………………10分当且仅当b c =时取等号，所以b c +≤所以周长的最大值为b c ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分 解法二：在三角形ABC 中sin sin sin AB AC BCC B A==得4sin sin 3ABAC CC π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以周长4sin 4sin 3l BC AB CA C C π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭6C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………10分由203C ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，当3C π=时，周长l取得最大值为此时AC AB ==所以面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=……………………………14分16解：（1）因为SA ABCD ⊥面，BD ABCD ⊂面，所以SA BD ⊥， ………………………………2分又因为底面ABCD 是菱形，得AC BD ⊥， 由SA ，AC 都在面SAC 内，且SA AC A ⋂=， 所以BD SAC ⊥面，………………………………5分AD SMN由BD SAC ⊂面，得SAC SBD ⊥面面；…………7分 （2）由底面ABCD 是菱形，得AD BC ∥所以12AE AM AM EC BC AD ===………………9分 又因为12AN NS =，所以12AE AN EC NS == ，所以NE SC ∥…，………………………11分因为NE BMN ,SC BMN ⊂⊄面面，所以SC BMN 面∥.………………………………14分17解：（1）因为2sin ()J kk AB θ=为正常数，………………3分 又0<<π()cos 2θθ=a AB ，所以2222sin cos =sin 1-sin 2k J k a a θθπθθθ⋅=⋅（）（0<<），…………6分 （2）令sin ,t t θ=∈则（0,1），232=1--1k J t t t t t a⋅因为（）=（0<<）， 由2=1-30J t '=得-33t =（舍），………………………0t J '∈>所以,,则J 单调递增； 10t J '∈<所以）,,则J 单调递减，…………………12分 t J 所以当取得最大值，此时sin 33θθ==， sin =tan cos OA OB a θθθ=所以时，J 取得最大值，答：当电灯A 与点O 时，可使得灯A 对B 点的照度最大. ……14分18解：（1）由24c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-， 212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-212122483()122+=2+2202412k x x k k k k k x x k -++==-=+，………8分=BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（）42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q 在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<4AC ∴<< …………………………………………………16分19解：（1）当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =； …………………………………………………1分当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-， 所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+， …………………………3分 由0n a >知10n n a a -+> 所以113n n a a --=所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列. …………………5分 (2)由（1）得()11211333n a n n =+-=+，由121412b b a a ,a a ,====所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列所以12n n b a -=， …………………………………………………7分又1233n b n a b =+， 所以112233n n b n a b -=+=，即1322n n b -=⨯-.…………………………10分（3）由()()121526n n n a a S n n +==+， 所以22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯，……………………………………12分 设()25292n nn S n n f n b +==+⨯， 则()()()()22122215117612692152102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⨯===+ ⎪+++⎝⎭⨯，令()()11f n f n +>得222761360210n n ,n n n n ++>+-<+即， 由*n N ∈得1n =，所以()()()()()1234f f f f f n <>>>⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅，………………14分 又因为()11611121834S f b ===>+， ()2214712236184S f b ===>+， ()332411327234S f b ===>+， ()44361421444S f b ===+，()5550251522881444S f b ===<+， 所以当5n ≥时，()14f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5. …………………………16分 20解（1）由ln 0x x ≠⎧⎨>⎩得()y f x =的定义域()()0,11+x ∈∞U ，，2ln 1()=ln x f x x -'∴ ，………………………………………………2分由2ln 1()=0ln x f x x -'>得()+x e ∈∞，， 由2ln 1()=0ln x f x x-'<得()()0,11,x e ∈U ， 所以()y f x =的单调增区间为()+x e ∈∞，，单调减区间为()0,1x ∈和()1,e ；………………………………………4分（2）设24e y kx =+与()y f x =相切于点0000,1ln x x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭（）， 0020ln 1()=ln x k f x x -'∴=，且2000ln 4=0x e x k x --，2000200ln 4ln 1=0ln x e x x x x --∴-，化简得2200ln =4e x x ，………………………6分001,ln x x >∴Q令()ln 1)h x x x =>，1()h x x '∴==， 由()0h x '>得)2x e ∈1,，由()0h x '<得()2+x e ∈∞，，()y h x ∴=在()2x e ∈1,单调递增，在()2+x e ∈∞，单调递减，………8分2()=()=0y h x h e ∴=极大值，0ln x ∴方程01+)x ∈∞（，上有唯一解20=x e ， 2222ln 11()=ln 4e kf e e -'∴==.………………………………………10分（3）令2()()()ln x x f x g x kx k e x e x ϕ=-=-+≤≤（），依题意知min 1()2x ϕ≤， 22ln 1111()=ln ln 24x x k k x x ϕ-⎛⎫'∴-=--+- ⎪⎝⎭的值域为1,4k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，………12分①当0k -≥，即0k ≤时，()0x ϕ'∴≥，2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递增，min 1()=()(1)2x e e k e ϕϕ∴=--≤， 解得12(1)e k e -≥-，不合题意， ②当104k -≤，即14k ≥时，()0x ϕ'∴≤，2()x e e ϕ⎡⎤∴⎣⎦在，单调递减，222min 1()=()(1)22e x e k e ϕϕ∴=--≤，解得12k ≥，满足题意，………………………………………14分③当104k <<时，存在唯一()20,x e e ∈满足0()=0x ϕ'，()0x e x ∴∈,时，()0x ϕ'<；()20x x e ∈,时，()0x ϕ'>，()x ϕ∴在()0x e x ∈,单调递减，在()20x x e ∈,单调递增，0min 0001()=()(1)ln 2x x x k x x ϕϕ∴=--≤， 解得0000011111))(1)ln 2(1)222x x k x x x ≥->-=--(( ， 这与104k <<矛盾，不合题意，综上所述，k 的取值范围为12k ≥.………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21解：由M αλα=u r u r得12113111a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2a =，1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………2分 设()111P x ,y 是直线1C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下得到点()222P x ,y ，且2P 在曲线2C 上，由12121221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得21121122x x y y x y =+⎧⎨=+⎩，…………………………4分所以12212212332133x x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， …………………………6分代入曲线1C 的方程得210x +=，所以曲线2C 的方程10x +=. ……………………………10分 22解:(1)2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20y x --=，…………………2分由()sin x y t ααα⎧=⎪⎨=⋅⎪⎩为参数，得(22213x y t t+=≠. ……………………………………5分(2)由2222013y x x y t--=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()3223121230t x x t +++-=.因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以()()22212431230t t ∆=-+-≥,即420t t -≥．……………7分 所以t 的取值范围是11t t ≥≤-或，所以t的取值范围是((1][1+),-∞-∞U U U .………10分23解：在直三棱柱111ABC A B C -中，由AC BC ⊥，则以{}11111C A ,C B ,C C u u u u r u u u u r u u u u r为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()11102010000012002A ,,,B ,,,C ,,,B ,,,C ,,,所以()1112AB ,,=--u u u r, 设1B M t =，则()101C D ,,t =u u u u r,（1）由11DC AB ⊥得110C D A B ⋅=u u u u r u u u r,所以11202t t -=⇒=, 所以1B M =12．……………………………………………3分 （2）由111B C AC C ⊥面，取11AC C 面的一个法向量为()11010C B ,,=u u u u r , 设1ACD 面的一个法向量()n x,y,z =r, 由（1）知()111111022A D ,,,AC ,,,⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r又因为1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u r ,所以10220x y z x z ⎧-++=⎪⎨⎪-+=⎩，取2z =， 则34y ,x ==,…………………6分所以()432n ,,=r,所以11129n C C cos n,C C |n||C C |⋅<>==r u u u u rr u u u u r r u u u u r ．所以二面角111D AC B --的余弦值为29．…………………………10分A 1 D1(第23题)24解（1）由012(1)(1)=nn f a a a a a =+=+++⋅⋅⋅+04()3nnii a ==∑, 所以13a =-,………………………………………………………………2分（2）[]2220122()nn f x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+2211=(1)=(1)33n n x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,所以21=3k kk n b C （-），令23(1)k k kk n b C =-，1,2,3,2k n =⋅⋅⋅，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)! ＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n，则1 C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)， 因此1 C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)． ………………………………6分 故232123211113333n nb b b b +++⋅⋅⋅+ 123222222(1)k k n n n n n n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1 C 2n －12n ＋1－1C 2n ＋12n ＋1) ＝- 2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1) ＝nn ＋1． ………………………………………………………………………10分。
2018-2019学年江苏省宿迁市高三(上)期末数学试卷
2018-2019学年江苏省宿迁市高三（上）期末数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x+1＞0，x∈R}，B={x|2x-3＜0，x∈R}，则A∩B=______．2.已知复数z满足z（1+2i）=3-i（其中i为虚数单位），则|z|的值为______．3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速在80km/h以上的汽车有______辆．4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为______．5.春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为______．6.设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为______cm3．7.已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则双曲线C的顶点到渐近线的距离为______．8.已知数列{a n}前n项和为S n，a n+1-2a n=1，a1=1，则S9的值为______．9.已知正实数a，b满足a+2b=2，则的最小值为______．10.已知点A（-1，0），B（1，0），若圆（x-a+1）2+（y-a-2）2=1上存在点M满足•=3，则实数a的取值范围是______．11.对于函数y=f（x），如果f（x）是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域内，则称该函数为“V型函数”．下列函数：①；②；③y=e|x|；④．其中是“V型函数”的是______．（将符合条件的函数序号都填在横线上）．12.如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是______．13.已知函数，设点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），…都在函数y=f（x）图象上，且满足，，则y1+y2+…+y2019的值为______．14.已知函数如果函数g（x）=f（x）-k（x-3）恰有2个不同的零点，那么实数k的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知三角形ABC的面积是S，．（1）求sin A的值；（2）若，当三角形ABC的周长取得最大值时，求三角形ABC的面积S．16.在四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：面SAC⊥面SBD；（2）若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且，求证：SC∥面BMN．17.如图所示，桌面上方有一盏电灯A，A到桌面的距离AO可以变化，桌面上有一点B到点O的距离为a（a为常数），设∠ABO=θ，灯A对B点的照度J与sinθ成正比、与AB长的平方成反比，且比例系数为正常数k．（1）求灯A对B点的照度J关于θ的函数关系式；（2）问电灯A与点O多远时，可使得灯A对B点的照度J最大？18.如图所示，椭圆的离心率为，右准线方程为x=4，过点P（0，4）作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C．（1）求椭圆M的方程；（2）证明：直线AC与直线BD交于点Q（0，1）；（3）求线段AC长的取值范围．19.已知数列{a n}各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项的和，对任意的n∈N*都有．数列{b n}各项都是正整数，b1=1，b2=4，且数列，是等比数列．（1）证明：数列{a n}是等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式b n；（3）求满足的最小正整数n．20.已知函数，g（x）=kx+b（k，b∈R）．（1）求函数y=f（x）的定义域和单调区间；（2）当且x＞1时，若直线y=g（x）与函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（3）当b=-k时，若存在x∈[e，e2]，使得，求k的取值范围．21.已知矩阵的一个特征值为λ=3，其对应的一个特征向量为，求直线l1：x+2y+1=0在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线l2的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；（2）若直线l与椭圆C有公共点，求t的取值范围．23.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，BB1=2，点D在棱BB1上，且C1D⊥AB1．（1）求线段B1D的长；（2）求二面角D-A1C-C1的余弦值．24 已知，若对于任意n∈N*，都有．（1）求实数a的值；（2）若，求的值．2018-2019学年江苏省宿迁市高三（上）期末数学试卷答案和解析【答案】1. {x|-1＜x＜}2.3. 204. 135.6.7.8. 10139.10. -2≤a≤111. ③④12.13.14.15. 解：（1）由得，所以．……………………………………（2分）在三角形ABC中A∈（0，π）得，………………（4分）所以，，……………………………（7分）（2）在三角形ABC中，a2=b2+c2-2bc cos A，所以，即，…………………………（10分）当且仅当b=c时取等号，所以，所以周长的最大值为，此时，所以面积．……………………………（14分）解法二：在三角形ABC中得所以周长=……………………………（10分）由得，当时，周长l取得最大值为此时，所以面积．……………………………（14分）16. 证明：（1）因为SA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以SA⊥BD，………………………………（2分）又因为底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，由SA，AC都在面SAC内，且SA∩AC=A，所以BD⊥面SAC，………………………………（5分）由BD⊂面SAC，得面SAC⊥面SBD；…………（7分）（2）由底面ABCD是菱形，得AD∥BC所以………………（9分）又因为，所以，所以NE∥SC…，………………………（11分）因为NE⊂面BMN，SC⊄面BMN，所以SC∥面BMN．………………………………（14分）17. 解：（1）因为J=k•，（k为正常数），又，所以，（2）令t=sinθ，则t∈（0，1），，由J'=1-3t2=0得，所以t∈（0，），则J′＞0，则J单调递增；所以t∈（，1），则J′＜0，则J单调递减，所以t=时，J得最大值，此时，所以OA=OB tanθ=a•=a时，J取得最大值，答：当电灯A与点O的距离为时，可使得灯A对B点的照度最大．18. 解：（1）由题意可得得，∴b2=a2-c2=4，所以椭圆M的方程．证明：（2）设直线l1：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则D（-x1，y1），C（-x2，y2），联立，消y得（1+2k2）x2+16kx+24=0，∴，又，∴=，∴k BQ=k DQ，故点B，D，Q三点共线，即直线BD经过点Q（0，1）同理可得直线AC经过点Q（0，1），所以直线AC与直线BD交于点Q（0，1）．解：（3）由（2）可知，=，=，=，=，令，又由△=162k2-4×24×（1+2k2）＞0得，所以t＞8，∴==，∵在t∈（8，+∞）上恒成立，∴在t∈（8，+∞）上单调递增∴，∴，∴，∴16＜AC2＜24，∴．19. 解：（1）当n=1时，，即，（3a1+2）（a1-1）=0，由a1＞0得a1=1；…………………………………………………（1分）当n≥2时，由得，所以两式相减得，所以3（a n-a n-1）（a n+a n-1）=a n+a n-1，…………………………（3分）由a n＞0知a n+a n-1＞0所以，所以数列{a n}是首项a1=1，公差的等差数列．…………………（5分）（2）由（1）得，由，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列所以，…………………………………………………（7分）又，所以，即．…………………………（10分）（3）由，所以，……………………………………（12分）设，则，令得，由n∈N*得n=1，所以f（1）＜f（2）＞f（3）＞f（4）＞…＞f（n）＞…，………………（14分）又因为，，，，，所以当n≥5时，，所以满足的最小正整数n为5．…………………………（16分）20. 解：（1）由得y=f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∴，由得x∈（e，+∞），由得x∈（0，1）∪（1，e），所以y=f（x）的单调增区间为x∈（e，+∞），单调减区间为x∈（0，1）和（1，e）；（2）设与y=f（x）相切于点，∴，且，∴，化简得，∵x0＞1，∴，令，∴，由h'（x）＞0得x∈（1，e2），由h'（x）＜0得x∈（e2，+∞），∴y=h（x）在x∈（1，e2）单调递增，在x∈（e2，+∞）单调递减，∴，∴在x0∈（1，+∞）上有唯一解，∴；（3）令，依题意知，∴的值域为，①当-k≥0，即k≤0时，∴φ'（x）≥0，∴φ（x）在[e，e2]单调递增，∴，解得，不合题意，②当，即时，∴φ'（x）≤0，∴φ（x）在[e，e2]单调递减，∴，解得，满足题意，③当时，存在唯一满足φ'（x0）=0，∴x∈（e，x0）时，φ'（x）＜0；时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在x∈（e，x0）单调递减，在单调递增，∴，解得，这与矛盾，不合题意，综上所述，k的取值范围为．21. 解：由特征值与特征向量的定义，可知：即：，∴=．∴a=2，∴．又由题意，可设P1（x1，y1）是直线C1上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P2（x2，y2），且P2在曲线C2上，则：即：=．∴，∴，∵P1（x1，y1）是直线C1上任意一点，∴可将代入曲线C1的方程，可得：整理，得：x2+1=0．∴曲线C2的方程x+1=0．22. 解：（1）∵直线l的方程为，即ρsinθ-ρcosθ=2，∴直线l的直角坐标方程为y-x-2=0，即x-y+2=0．…………………（2分）∵椭圆C的参数方程为．∴由，得椭圆C的普通方程为．……………………………………（5分）（2）由消去y得（t3+3）x2+12x+12-3t2=0．因为直线l与椭圆C有公共点，所以△=122-4（t2+3）（12-3t2）≥0，即t4-t2≥0．……………（7分）所以t的取值范围是t≥1或t≤-1，所以t的取值范围是．………（10分）23. 解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AC⊥BC，以为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），B（0，1，2），C（0，0，2），所以，设B1D=t，则，由DC1⊥AB1得，所以，所以B1D=．（2）由B1C1⊥面A1C1C，取面A1C1C的一个法向量为，设面A1CD的一个法向量，由（1）知，又因为，所以，取z=2，则y=3，x=4，所以，所以．所以二面角D-A1C-C1的余弦值为．24. 解：（1）由f（1）=（1+a）n=a0+a1+a2+…+a n=．得；（2）=，∴，令，k=1，2，3…，2n，首先考虑=+===，则=（），因此=（）．故==-（）=-（）=（-1）=．【解析】1. 解：∵集合A={x|x+1＞0，x∈R}={x|x＞-1}，B={x|2x-3＜0，x∈R}={x|x＜}，∴A∩B={x|-1＜x＜}．故答案为：{x|-1＜x＜}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：由z（1+2i）=3-i，得，则|z|的值为．故答案为：．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，然后由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 解：交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h的汽车中抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，由频率分布直方图得时速在80km/h以上的频率为0.01×10=0.1，∴时速在80km/h以上的汽车有：200×0.1=20辆．故答案为：20．由频率分布直方图得时速在80km/h以上的频率为0.01×10=0.1，由此能求出时速在80km/h以上的汽车数量．本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算并输出S=1+5+4+3=13．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序的语言的应用问题，是基础题．5. 解：三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人依次任意抽取1张，基本事件总数n==6，三人都没抽到自己制作的贺卡包含的基本事件个数m==2，∴三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为p=．故答案为：．基本事件总数n==6，三人都没抽到自己制作的贺卡包含的基本事件个数m==2，由此能求出三人都没抽到自己制作的贺卡的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，∴圆锥的底面半径r=1，高为h==，∴该圆锥的体积为V==（cm3）．故答案为：．推导出圆锥的底面半径r=1，高为h==，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：抛物线y2=16x的焦点为（4，0），则双曲线的c=4，双曲线的离心率等于2，即=2，可得a=2，b==2，则双曲线的渐近线方程为y=±x，顶点坐标为（±2，0），可得双曲线的顶点到其渐近线的距离等于d==，故答案为：．求出抛物线的焦点，可得双曲线的c，运用离心率公式可得a，再由a，b，c的关系，求得b，求出顶点到渐近线的距离，即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．8. 解：根据题意，数列{a n}满足a n+1-2a n=1，即a n+1+1=2（a n+1），又由a1=1，则a1+1=2，则数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，则a n+1=2×2n-1=2n，则a n=2n-1，则S9=（21-1）+（22-1）+……+（29-1）=-9=1013；根据题意，将a n+1-2a n=1变形可得a n+1+1=2（a n+1），又由a1+1=2，分析可得数列{a n+1}是以为首项，2为公比的等比数列，则a n+1=2×2n-1=2n，变形可得a n=2n-1，据此计算可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析得到数列{a n}的通项公式，属于综合题．9. 解：∵a+2b=2，则，所以，=，由基本不等式可得=．当且仅当，即当时等号成立．所以，的最小值为．故答案为：．先由a+2b=2，得出，代入代数式化简为，并将该代数式与代数式相乘，展开之后利用基本不等式可求出的最小值．本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行灵活配凑，考查计算能力，属于中等题．10. 【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，圆与圆的位置关系，属中档题.先设出M的坐标，求出M的轨迹是圆x2+y2=4，再将问题转化为两圆有交点，利用圆与圆的位置关系可得.【解答】解：设M（x，y），则•=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x2-1+y2=3，即x2+y2=4，则问题转化为圆x2+y2=4与圆（x-a+1）2+（y-a-2）2=1有交点，则2-1≤≤2+1，解得：-2≤a≤1.故答案为-2≤a≤1.11. 解：①是奇函数，不满足条件．；②是偶函数，当x=1时，y=0，不满足条件．y≥x，不在平面区域内，不是“V 型函数”；③y=e|x|是偶函数，满足e|x|≥x且e|x|≥-x，在平面区域内内，是“V型函数”；④．是偶函数，满足在区域内，∵当0≤x＜时，∴函数y=tan x的导数y′=（）′==，∵0≤x＜，∴0＜cos x≤1，则y′=≥1，当x=0时取得最小值，此时y′的最小值为1，满足tan x≥x，故④是“V型函数”则满足是“V型函数”的是③④，故答案为：③④．首先判断函数是否是偶函数，然后判断函数中的点是否都在平面区域内，进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性以及平面区域问题，综合性较强，有一定的难度．12. 解：以C为原点，建立如图所示平面直角坐标系，点P的轨迹方程为x2+y2=4，点P的坐标为P（2cosθ，2sinθ），（θ∈[π]），A（-4，-2），B（0，-2），=（-4-2cosθ，-2-2sinθ），=（-2cosθ，-2-2sinθ），=8cosθ+8sinθ+8=8sin（）+8，θ∈[]，∈[]，当=，即时，取到最小值8-8，当=，即θ=π时，取到最大值0．∴的取值范围是[8-8，0]．故答案为：[8-8，0]．以C为原点，建立平面直角坐标系，点P的轨迹方程为x2+y2=4，P（2cosθ，2sinθ），（θ∈[π]），A（-4，-2），B（0，-2），=（-4-2cosθ，-2-2sinθ），=（-2cosθ，-2-2sinθ），从而=8cosθ+8sinθ+8=8sin（）+8，由此能求出的取值范围．本题考查向量积的取值范围的求法，考查向量的数量积、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．13. 解：根据题意，f（x）=3cos x（cos x+sin x）-=（cos2x+sin x cosx）-=3sin（2x+）；则f（x）的周期T==π，则y1=f（x1）=3sin（2×+）=3sin（）=，y2=f（x2）=3sin[2×（+）+）=3sin（+）=-，y3=f（x3）=3sin[2×（2×+）+）=3sin（π+）=-，y4=f（x4）=3sin[2×（3×+）+）=3sin（+）=，则y1+y2+y3+y4=0；y1+y2+…+y2019=（y1+y2+y3+y4）+（y5+y6+y7+y8）+……（y2013+y2014+y2015+y2016）+（y2017+y2018+y2019）=（y1+y2+y3）=-，故答案为：-．根据题意，由三角函数恒等变形公式可得f（x）=3sin（2x+），求出函数的周期，计算y1、y2、y3、y4的值，分析可得y1+y2+y3+y4=0，结合函数的周期性可得y1+y2+…+y2019=（y1+y2+y3+y4）+（y5+y6+y7+y8）+……（y2013+y2014+y2015+y2016）+（y2017+y2018+y2019）=（y1+y2+y3），计算可得答案．本题考查三角函数的化简求值，涉及三角函数的周期的求法，属于基础题．14. 解：根据题意，由函数f（x）的解析式，在区间[1，2）上，f（x）=x-1；当2≤x＜4时，x∈[1，2），则区间[2，4）]上，f（x）=2f（x）=2（x-1）=x-2；当4≤x＜8时，x∈[2，4），则区间[4，8）]上，f（x）=2f（x）=2（x-2）=x-4；当8≤x＜16时，x∈[4，8），则区间[8，16）]上，f（x）=2f（x）=2（x-4）=x-8；当16≤x＜32时，x∈[8，16），则区间[16，32）]上，f（x）=2f（x）=2（x-8）=x-16，…在区间[2n-1，2n），f（x）=x-2n-1，其图象如图：y=k（x-3）的函数图象是过定点（3，0）的直线，若函数g（x）=f（x）-k（x-3）恰有2个不同的零点，则函数f（x）与直线y=k（x-3）有2个交点，当直线经过点（2，1），可得k=-1，即有-1＜k＜0，满足题意；当直线经过点（16，8），可得k=；当直线经过点（32，16），可得k=，即有≤k＜，满足题意．综上可得k的范围是（-1，0）∪[，）．故答案为：（-1，0）∪[，）．根据题意，分析函数f（x）的解析式，作出其在区间[1，32]上的图象，而y=k（x-3）的函数图象是过定点（3，0）的直线；若函数g（x）=f（x）-k（x-3）恰有2个不同的零点，则函数f（x）与直线y=k（x-3）有2个交点，结合图象分析可得答案．本题考查函数的零点，涉及分段函数的图象，关键是分析函数f（x）的图象，考查数形结合思想方法，属于中档题．15. （1）由向量数量积运算求出tan A，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（2）由余弦定理和重要不等式求出+bc的最大值，由三角形的面积公式求出三角形ABC 面积S．本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及重要不等式在求最值中的应用，属于中档题．16. （1）推导出SA⊥BD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥面SAC，从而面SAC⊥面SBD．（2）推导出AD∥BC，NE∥SC，由此能证明SC∥面BMN．本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17. （1）根据题意可得J=k•，根据，即可求出函数的表达式；（2）令t=sinθ，则t∈（0，1），则J=t-t3，利用导数求出函数的最值即可．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，属于中档题．18. （1）由题意可得，即可求出a，c，再根据b2=a2-c2，求出b，即可求出椭圆方程，（2）设直线l1：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则D（-x1，y1），C（-x2，y2），根据韦达定理和直线的斜率公式可得k BQ=k DQ，故点B，D，Q三点共线，即直线BD经过点Q（0，1）同理同理可得直线AC经过点Q（0，1），问题得以证明．（3）由（2）可得AC2=，令，根据函数的单调性即可求出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，韦达定理，函数的单调性，直线的斜率，推理能力与计算能力，属于难题．19. （1）当n=1时，求出a1=1；当n≥2时，由得，两式相减得，由此能证明数列{a n}是首项a1=1，公差的等差数列．（2），推导出数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出数列{b n}的通项公式b n．（3）由，得，设，令得，由此能求出满足的最小正整数n为5．本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足数列不等式的最小正整数的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. （1）由对数的真数大于0和分母不为0，可得f（x）的定义域，求得f（x）的导数，解不等式可得单调区间；（2）设与y=f（x）相切于点，求得f（x）的导数，可得切线的斜率，切线的方程，由构造函数，通过导数判断单调性，求得极值，解方程可得k；（3）令，求得最小值不大于，讨论k，结合单调性求得最小值，解不等式可得所求范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法，以及分类讨论，考查化简运算能力，属于综合题．21. 本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式，然后将矩阵代入计算可得a的值，然后根据题意设P1（x1，y1）是直线C1上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P2（x2，y2），且P2在曲线C2上，根据变换可用x2，y2表示出x1，y1，然后代入到直线l1：x+2y+1=0方程中可得到曲线l2的方程．本题主要考查根据特征值与特征向量的定义得出矩阵中的参数，以及一条直线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，知道其中一条直线和相应的矩阵求出另一条直线方程．本题属中档题．22. （1）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程，由椭圆C的参数方程能求出椭圆C的普通方程．（2）由，得（t3+3）x2+12x+12-3t2=0．由直线l与椭圆C有公共点，利用根的判别式能求出t的取值范围．本题考查直线的直角坐标方程、曲线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AC⊥BC，以为基底构建空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1D．（2）由B1C1⊥面A1C1C，取面A1C1C的一个法向量为，求出面A1CD 的一个法向量，利用向量法能求出二面角D-A1C-C1的余弦值．24. （1）在已知等式中取x=1，结合即可求得a值；（2）由已知结合（1）可得，令，k=1，2，3…，2n，得到=（），因此=（），代入得答案．本题考查二项式定理的应用，考查组合数公式的性质，考查计算能力，是中档题．。
江苏省宿迁市2018届高三上学期第一次模拟考试数学试题(原卷版)
高三年级一模考试数学I参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高.2.圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥底面的周长，是母线长.一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1.已知集合，则___________．2.已知复数（为虚数单位），则的模为____．3.函数的定义域为____．4.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为___________．5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．6.在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____．7.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．8.已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是_________9.若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则实数的值为__________．10.在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为__________．11.已知等差数列满足，则的值为___________．12.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________．13.已知函数，函数，则不等式的解集为_______.14.如图，在中，已知为边的中点.若，垂足为，则的值为____________.第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.16.如图，在直三棱柱中，分别是的中点．求证：（1）平面；（2）.17.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为. （1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若，求的值；⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在与函数的图象都相切的直线，求实数的取值范围.20.已知数列，其前项和为，满足，其中，. （1）若，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，求的值；（3）若，且，求证：数列是等差数列.。
江苏省宿迁市马陵中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
江苏省宿迁市马陵中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则等于（ ）A．10 B．1) C1 D．2． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．3． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.4． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.6． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-7． 函数的定义域为（ ）ABC D8． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.9． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}10．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 11．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设全集______.14．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则3s i n c o s ()4A B π-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．16．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。
江苏省淮安市2018届高三期中学业质量监测试题
开 始i ←01200S >输出i 结 束S ←0 S ←400S +i ←1i +NY （第5题）江苏省淮安市2018届高三期中学业质量监测试题数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B = ▲ ．2． 复数i (12i )z =-（i 是虚数单位）的实部为 ▲ ． 3. 函数2()log (31)f x x =-的定义域为 ▲ ．4. 某校高三年级500名学生中，血型为O 型的有200人，A 型的有125人，B 型的有125人，AB 型的有50人． 为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法 从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽 取 ▲ 名血型为AB 的学生．5. 右图是一个算法流程图，则输出的i 的值为 ▲ ．6. 抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为 ▲ ．7. 已知2πsin cos 5α=，0πα<<，则α的取值集合为 ▲ ．8. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60ABC ∠=︒，则AB AC ⋅的值为 ▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a的通项公式n a = ▲ ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1-，0），B （1，0）均在圆C ：()()22234x y r -+-=外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP BP ⊥，则半径r 的值为 ▲ ．11. 已知函数3()f x x =．设曲线()y f x =在点()11()P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点()22()Q x f x ，，记()f x '为函数()f x 的导数，则12()()f x f x ''的值为 ▲ ． 12. 已知函数()f x 与()g x 的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z ”形折线段ABOCD ，不含A （0，1）， B （1，1），O （0，0），C （-1，-1），D （0，-1）五个点．则满足题意的函数()f x 的一个解析式为 ▲ ．13. 不等式63242(2)(2)2x x x x x x -++-+++≤的解集为 ▲ ．14． 在锐角三角形ABC 中，9tan tan tan tan tan tan A B B C C A ++的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点．求证：（1）//AB 平面11A B C ；（2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．xy O ABCD1 -11 -1 （第12题）ABCA 1B 1C 1M（第15题）16．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．向量()3a b =，m ，()sin cos B A =-，n ， 且⊥m n ． （1）求A 的大小；（2）若64=n ，求cos C 的值．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：2214x y +=的左顶点A 作直线l ，与椭圆C和y 轴正半轴分别交于点P ，Q ． （1）若AP PQ =，求直线l 的斜率；（2）过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M N ，，求证：2AP AQMN ⋅为定值．APQ xy Ol MN（第17题）18．（本小题满分16分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：对任意正整数()n n k >， 21111k n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=总成立，那么称{}na 是“()Q k 数列”．（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“(2)Q 数列”，并说明理由； （2）若{}n a 既是“(2)Q 数列”，又是“(3)Q 数列”，求证：{}n a 是等比数列．（第18题）甲乙20. （本小题满分16分）设命题p ：对任意的)π02x ⎡∈⎢⎣，，sin tan x ax b x +≤≤恒成立，其中a b ∈R ，． （1）若10a b ==，，求证：命题p 为真命题． （2）若命题p 为真命题，求a b ，的所有值．2018届高三期中学业质量监测试题数 学（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）在△ABC 中，AB AC =，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ． 求证：△ABD ∽△AEB ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知变换T 把直角坐标平面上的点(34)A -，，(05)B ，分别变换成点(21)A '-，， (12)B '-，，求变换T 对应的矩阵M ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知直线()πcos 23ρθ+=与圆cos (0)a a ρθ=>相切，求a 的值．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知正数x y z ，，满足4x y z ++=，求22249y x z ++的最小值． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。
推荐-宿迁市2018-2018学年度高三年级第二次考试数学试
宿迁市2018～2018学年度高三年级第二次考试数学参考答案及评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.(1)C (2)D (3)A (4)B (5) D (6)D (7) B (8)B (9)C (10)B (11)B (12)C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 (13) x-y+2=0； (14)36；(15) [)1,1- ；(16) π；(17)()()(),10,12,-∞-+∞ ； (18) wqri.三、解答题：本大题共5小题，总分66分. (19)（本题满分12分）解：设ABC ∆外接圆半径为R2s i n s i n s i na b cR A B C === ……………………………2分 ()c o s c o s a b c B A -=- ∴ 2s i n 2s i n 2(c o sc o s R A R B R B A C-=-……………………………4分 即：sin()sin()sin cos sin cos B C A C C B C A +-+=-……………………………6分 展开并整理得：cos sin cos sin 0C B C A -=∴ (sin sin )cos 0B A C -=……………………………8分 ∴ c o s 0s i n s i n C B A ==或……………………………10分又A,B,C 为ABC ∆的三个内角∴ 2C π=或A=B ……………………………11分∴ABC ∆为直角三角形或等腰三角形……………………………12分(20) （本题满分12分）解：(I)由条件知： 0a b =≠且2222(2)444a b a b a b b +=++=………………………2分24aa b =- ……………………………4分设a b 和夹角为θ，则1cos 4a b a bθ==- ……………………………5分 ∴1cos 4arc θπ=- 故a b 和的夹角为1cos 4arc π- …………………………6分(II)令)a a b -和(的夹角为β222211022a b a b a b a a a-=+-=+=……………………8分∴2221()4cos10a aa ab a a ba ab a a ba aβ+--====--……………10分∴)a a b-和(的夹角为……………………………12分(21) （本题满分14分）解：设1(,0)F c-，则L方程为()y k x c=+，得(0,)M k c又B为1MF的中点，∴(,)22c kcB-……………………………2分又B点在双曲线上，∴222222244b c a k ca b-=……………………………4分∴22222222472b c a bk ka c-=≤≤又∴222222472b c a ba c-≤≤……………………………6分由2222222(4)040b c ac aa c-≥-≥得，∴24e≥①……………………………8分由22222222222487b c a bc a b a ca c-≤-≤27得2b2即422421780c ac a-+≤4221780e e-+≤……………………………10分解得：2182e≤≤，②……………………………11分由①，②得2e≤≤13分所以，双曲线的离心率的取值范围为2,⎡⎣……………………………14分(22) （本题满分14分）解：（Ⅰ）21()()1xf x yx-==+1101xxx->∴>+11xx-∴=+，x=1()f x-=3分又11101yxy+=>->-00101y>∴<∴<<即f（x）反函数为1()f x-=其定义域为（0，1）……….5分（Ⅱ）设1212,(0,1),x x x x ∈<且1112()()fx f x ---==..7分12010110,10x x <<<∴<<<∴->-><∴11112()()0()f x f x f x ----<∴在（0，1）上为增函数………9分（Ⅲ）由(1(a a >得2(1110a a a +>-+≠显然…………………………..10分1,1a a ∴>-∴<当a+1>0即a>-111115351116442424x a <≤∴<∴<≤∴-<≤ (12)1,1a a <-∴>当a+1<0,即a<-15331422a <≤∴>∴与a<-1矛盾,此时a 无解……………13分 综上所述a 的取值范围是51,4⎛⎤- ⎥⎝⎦……………………………..14分(23) （本题满分14分）解：(I) 记此数表中第n 行第一个数为n a则12342,4,8,14a a a a ====……………………………2分212a a -= 324a a -= 436a a -= ……………12(1)n n a a n --=-……………………………4分 将上述个(n-1)式子相加得:12462(1)n a a n -=++++-∴2(222)(1)222nn n an n +--=+=-+……………………………6分∴ 858a=……………………………7分由题意知：第8行共有8个偶数，所以第8行所有数之和为：8758822S ⨯=⨯+⨯=520……………………………9分(II) 设2018是第n 行中的某一个数，则12006nn a a +≤<………………………10分即222006(1)22006n n n n ⎧-+≤⎨++>⎩n <≤又n N +∈，∴n =45 451982a =设2018是第45 行第m 个数，则2006198221m -=-， ∴m=13……………………………13分所以，2018是该数表中的第45行中第13个数。
高2018级2020年10月江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中考试数学试题参考答案
淮安市高中校协作体2020～2021学年第一学期高三年级期中考试数学试卷参考答案(本试卷满分为150分,考试时间为120分钟).一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.若复数z 满足(1)|34|i z i +=+,则z 的虚部为( )DA. 5B. 5-C. 52D. 52- 2.命题“x ∀∈(0,1),20x x -<”的否定是( )BA.0x ∃∉(0,1),2000x x -≥B.0x ∃∈(0,1),2000x x -≥ C.0x ∀∉(0,1),2000x x -< D.0x ∀∈(0,1),2000x x -≥ 3.设x R ∈,则“38x >”是“2x >”的( )AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设0.5log 3a =,30.5b =,0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系为( )AA. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<5.已知角α的终边经过点()1,3,则222cos sin cos 2ααα-=( )BA. B.78C.78±D.36.已知集合{lg(2)1}A xx =-<∣,集合{}2230B x x x =--<∣,则A B 等于( )CA.()2,12B.()1,3-C.()1,12-D.()2,37. 若幂函数()f x 的图象过点212⎫⎪⎪⎝⎭,则函数()()x f x g x e =的递减区间为( )B A. ()0,2 B. (),0-∞和()2,+∞ C. ()2,0- D. (),0-∞()2,+∞8.已知函数()24,07,0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩, ()()g x f x x a =+-,若()g x 存在两个零点,则a 的取值范围是( )CA.(]4,0-B. (),9-∞-C. ()(],94,0-∞-- D. (]9,0-二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.若函数()f x 的图像在R 上连续不断,且满足()00f <,()10f >,()20f >, 则下列说法错误．．的是( )ABD A.()f x 在区间()0,1上一定有零点,在区间()1,2上一定没有零点 B.()f x 在区间()0,1上一定没有零点,在区间()1,2上一定有零点 C.()f x 在区间()0,1上一定有零点,在区间()1,2上可能有零点 D.()f x 在区间()0,1上可能有零点,在区间()1,2上一定有零点 10.设正实数,a b 满足1a b +=,则下列结论正确．．的是( )ACD A.11a b+有最小值4 B.ab 有最小值12C.a b +有最大值2D.22a b +有最小值1211. 已知函数()3cos(2)3f x x π=+,则下列结论正确的是( )ABCDA.函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在[0,]π上有2个零点C.当56x π=时,函数()f x 取得最大值 D.为了得到函数()f x 的图象,只要把函数()3cos()3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变) 12.下列说法中正确的是( )ACA. 数列}{n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ,都有;221+++=n n n a a aB. 数列}{n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ,都有221++=n n n a a a ;C.若数列}{n a 是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S --也是等差数列；D. 若数列}{n a 是等比数列,则232,,n n n n n S S S S S --也是等比数列.三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 13.已知tan 2α=,则cos(2)2πα-=________4514.已知向量AB 与AC 的夹角60,且||3AB =,||2AC =,若AP AB AC λ=+, 且AP BC ⊥,则实数λ的值为1615.已知0x >,0y >,且3x y xy +=,若23t t x y -≤+恒成立,则实数t 的取值范围是_________[3,4]-16.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,且12n n n S a a +=,*n N ∈, 则4a = ； 若12a =,则10S = .(本题第一空2分,第二空3分) 4, 60四、解答题：本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10, 且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求n a 和n b ； (2)设()11n n n n c b a a =++,求的前n 项和n S .解：(1)设数列{}n a 的公差为d ,因为等差数列{}n a 的前4项和为10, 所以123410a a a a +++=,1434102a d ⨯+=,即1235a d +=…………1分 因为124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. 所以2214a a a =,2111()(3)a d a a d +=+,21d a d =,……………………………2分又等差数列{}n a 各项均不相等,所以0d ≠,所以1d a =,又1235a d +=,所以11,1a d ==,所以n a n =,……………4分 因为124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项,所以等比数列{}n b 的前3项是1,2,4,所以12n n b -=………………………5分(2)由(1)得112(1)n n c n n -=++,…………………6分12n n S c c c =+++011111(2)(2)[2]1223(1)n n n -=++++++⨯⨯+011111(222)[]1223(1)n n n -=+++++++⨯⨯+1(12)11111[(1)()()]122231n n n -=+-+-++--+ 11211211n n n n =-+-=-++ 所以数列{}n c 的前n 项和n S 是121nn -+…………………10分 18.(本小题满分12分)在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c , ,A ＝3π,b , (1)求角B ； (2)求△ABC 的面积.解： (1)若选①,222b a c =+,则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===,……………………2分 因为(0,)B π∈,所以4B π=……………………4分若选②,cos sin a B b A =,由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得sin cos sin sin A B B A =,…………………………………………………2分又(0,)A π∈,所以sin 0A >,所以cos sin B B = 又(0,)B π∈,tan 1B =,4B π=,…………………………………………4分若选③,由sin cos B B +=)4B π+=………………2分所以sin()14B π+=,又(0,)B π∈,所以5(,)444B πππ+∈,42B ππ+=,所以4B π=,……………………4分 (2)由正弦定理得sin sin a b A B =,又3A π=,b =4B π=所以sin sin 2b Aa B===………………6分512C A B ππ=--=,………………8分所以5sin sinsin()sin cos cos sin 124646464C πππππππ==+=+=………10分所以11sin 22ABC S ab C ∆===………12分 19.(本小题满分12分)中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x 台,需另投入成本()c x (万元),当年产量不足80台时,21()402c x x x =+(万元)；当年产量不小于80台时,8100()1012180c x x x=+-(万元).若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备全部售完.(1)求年利润y (万元)关于年产量x 台的函数关系式；(2)当年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解：(1)当080x <<时,2211100(40)5006050022y x x x x x =-+-=-+-,……2分当80x ≥时,81008100100(1012180)5001680()y x x x x x=-+--=-+,……4分于是2160500,080281001680(),80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………6分(2)当080x <<时,221160500=(60)130022y x x x =-+---+, 此时当60x =时,max 1300y =(万元)……………8分 当80x ≥时,81001680()16801500y x x =-+≤-=, (当且仅当8100x x=即90x =时取=),…………………10分 所以当90x =时,max 1500y =(万元)综上所述,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大。
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2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始←输出结束←←←NY（第5题）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=．2．（5分）复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为．3．（5分）函数y=log2（3x﹣1）的定义域是．4．（5分）某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取名血型为AB的学生．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的i的值为．6．（5分）连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为．7．（5分）已知，0＜α＜π，则α的取值集合为．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为．11．（5分）已知函数f（x）=x3．设曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为．12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为．13．（5分）不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2的解集为．14．（5分）在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量=（a，b），=（sinB，﹣cosA），且⊥．（1）求A的大小；（2）若||=，求cosC的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A 作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．18．（16分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．19．（16分）对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{a n}满足：对任意a n﹣k+1…a n﹣1a n+1…a n+k﹣1a n+k=a n2k总成立，那么称{a n}是“Q（k）正整数n（n＞k），a n﹣k数列”．（1）若{a n}是各项均为正数的等比数列，判断{a n}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；（2）若{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{a n}是等比数列．20．（16分）设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．【选做题】本题包括21.22.23.24.四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC 的延长线于点E．求证：△ABD∽△AEB．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知变换T把直角坐标平面上的点A（3，﹣4），B（0，5）分别变换成点A'（2，﹣1），B'（﹣1，2），求变换T对应的矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ（a＞0）相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分20分）24．已知正数x，y，z满足x+y+z=4，求的最小值．25．（10分）小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．（1）求手机被锁定的概率；（2）设第X次输入后能成功开机，求X的分布列和数学期望E（X）．26．（10分）设n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．（1）当n=3时，求a，b的值；（2）求证：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．2017-2018学年江苏省淮安市、宿迁市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始←输出结束←←←NY（第5题）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0＜x＜1} ．【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．（5分）复数z=i（1﹣2i）（i是虚数单位）的实部为2．【解答】解：∵z=i（1﹣2i）=﹣2i2+i=2+i，∴复数z=i（1﹣2i）的实部为2．故答案为：2．3．（5分）函数y=log2（3x﹣1）的定义域是（，+∞）．【解答】解：由3x﹣1＞0，得x＞，∴函数y=log2（3x﹣1）的定义域是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．4．（5分）某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取6名血型为AB的学生．【解答】解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵=，故AB型血抽：50×=6人，故答案为：65．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的i的值为3．【解答】解：第一次执行循环体后，S=400，不满足退出的循环的条件，i=1；第二次执行循环体后，S=800，不满足退出的循环的条件，i=2；第三次执行循环体后，S=1200，不满足退出的循环的条件，i=3；第四次执行循环体后，S=1600，满足退出的循环的条件，故输出的i值为3，故答案为：36．（5分）连续抛一枚均匀的硬币3次，恰好2次正面向上的概率为．【解答】解：每枚硬币正面向上的概率都等于，故恰好有两枚正面向上的概率为C32（）2（）=故答案为：7．（5分）已知，0＜α＜π，则α的取值集合为{，} ．【解答】解：∵=sin（﹣）=sin=sin（π﹣）=sin，0＜α＜π，∴则α=，或，∴α的取值集合为{，}故答案为：{，}．8．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则的值为3．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，则BC=1．=•（+）=+=+||||cos=22﹣2×1×=3；故答案为：3．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1（n∈N*）．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则∵a3=5，且S1，S5，S7成等差数列，∴，解得：∴a n=2n﹣1（n∈N*}，故答案为：2n﹣1（n∈N*）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为4．【解答】解：根据题意，点A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足AP⊥BP，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为（0，0），|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|==5，解可得r=4，故答案为：4．11．（5分）已知函数f（x）=x3．设曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线与该曲线交于另一点Q（x2，f（x2）），记f'（x）为函数f（x）的导数，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）=x3．∴f′（x）=3x2．则曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线斜率为：f′（x1）=3x12．则曲线y=f（x）在点P（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣x13=3x12（x﹣x1），联立y=x3得：x3﹣3xx12+2x13=（x﹣x1）2（x+2x1）=0，即x2=﹣2x1，∴f′（x2）=3x22=12x12．∴=，故答案为：12．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为f（x）=．【解答】解：由图可知，线段OC与线段OB是关于原点对称的，线段CD与线段BA也是关于原点对称的，根据题意，f（x）与g（x）的图象关于原点对称，所以f（x）的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，比如其组合形式为：OC和AB，CD和OB，且OC的方程为：y=x（﹣1＜x＜0），OB的方程为：y=x（0＜x＜1），所以，f（x）=，g（x）=，或f（x）=，g（x）=，故答案为：f（x）=填也给分13．（5分）不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2的解集为[﹣1，2] ．【解答】解：根据题意，不等式x6﹣（x+2）3+x2≤x4﹣（x+2）2+x+2，则有x6﹣x4+x2≤（x+2）3﹣（x+2）2+x+2，令f（x）=x3﹣x2+x，则原不等式等价于f（x2）≤f（x+2），f（x）=x3﹣x2+x，其导数f′（x）=3x2﹣2x+1=3（x﹣）2+＞0，则函数f（x）=x3﹣x2+x为增函数，则f（x2）≤f（x+2）⇔x2≤x+2，即x2﹣x﹣2≤0，解可得﹣1≤x≤2，即原不等式的解集为[﹣1，2]；故答案为：[﹣1，2]．14．（5分）在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为25．【解答】解：如图，不妨设AD=1，BD=m，CD=n，∴tanA=，tanB=，（m＞0，n＞0），∴tanC=tan（A+B）==，∵tanC＞0，∴9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=+（+），=+，≥+，=（+）[mn+（1﹣mn）]，=9+4++，≥13+2=13+12=25，当且仅当=，即m=n=时取等号，故最小值为25，故答案为：25二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．【解答】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C．（2）由（1）证明同理可知AC=A1C1，BC=B1C1，∵AB=BC，∴A1B1=B1C1，∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1A1，又CC1∩C1M=C1，∴B 1A1⊥平面C1CM，又B1A1⊂平面A1B1C1，∴平面C1CM⊥平面A1B1C．16．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量=（a，b），=（sinB，﹣cosA），且⊥．（1）求A的大小；（2）若||=，求cosC的值．【解答】解：（1）∵⊥，∴•=asinB﹣bcosA=0，由正弦定理知，sinAsinB﹣sinBcosA=0；又sinB≠0，∴tanA=；∵A∈（0，π），∴A=；（2）∵||==，∴sin2B+=，解得sin2B=；由B∈（0，π），∴sinB=；当B为锐角时，cosB==，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=；当B为钝角时，cosB=﹣，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×（﹣）+×=；综上，cosC的值为或．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A 作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q．（1）若AP=PQ，求直线l的斜率；（2）过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值．【解答】解：（1）A（﹣2，0），设Q（0，m）（m＞0），∵AP=PQ，∴P（﹣1，），代入椭圆方程得：=1，解得m=，∴直线l的斜率为．（2）证明：设直线l的斜率为k（k＞），直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0得y=2k，即Q（0，2k），∴AQ==2．联立方程组，消元得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴AP=•=．∴AP•AQ=．直线MN的方程为y=kx，联立方程组，得（1+4k2）x2﹣4=0，设N（x3，y3），M（﹣x3，﹣y3），则，∴MN=2ON=2=4，∴=•=．∴为定值．18．（16分）将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．【解答】解：（1）甲图对应的圆锥如图丙，圆锥母线为PA=L，圆锥底面圆半径为OA=r则有L+r+=，解得L=，r=∴该圆锥的母线长及底面半径分别为分米、分米．（2）图乙剩余部分覆盖的长方体如图丁所示，设其棱长为a\b，c则2（a+b）=1，2b+c=1⇒a=，c=1﹣2b长方体体积的V=abc=（）b（1﹣2b）=，（0）令g（b）=，（0），g′（b）=4b2﹣4b+=（3b﹣）（2b﹣1）b时，g′（b）＞0，b时，g′（b）＜0∴g（b）在（0，）递增，在（）递减，∴当b=时，长方体体积最大值，V max=（）××（1﹣2×）=．19．（16分）对于给定的正整数k，如果各项均为正数的数列{a n}满足：对任意a n﹣k+1…a n﹣1a n+1…a n+k﹣1a n+k=a n2k总成立，那么称{a n}是“Q（k）正整数n（n＞k），a n﹣k数列”．（1）若{a n}是各项均为正数的等比数列，判断{a n}是否为“Q（2）数列”，并说明理由；（2）若{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，求证：{a n}是等比数列．【解答】（1）解：假设{a n}是各项均为正数的等比数列，由等比数列的性质可得：a n﹣2•a n﹣1•a n+1•a n+2=a n﹣2•a n+2•a n﹣1•a n+1=•=．∴{a n}为“Q（2）数列”．（2）证明：{a n}既是“Q（2）数列”，又是“Q（3）数列”，∴a n﹣2•a n﹣1•a n+1•a n+2=．（*）a n﹣3•a n﹣2•a n﹣1•a n+1•a n+2•a n+3=．可得：a n﹣3•a n+3=．对于任意n∈N*（n≥4）都成立．∴a3，a4，a5，…，成等比数列，设公比为q．∴n=3，4时，由（*）可得：，a2a3a5a6=，可得a1q=a2，a2q=a3．∴{a n}是等比数列．20．（16分）设命题p：对任意的，sinx≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．【解答】证明：（1）若a=1，b=0，则命题p：对任意的，sinx ≤x≤tanx恒成立，如图由三角函数线的定义可知，sinx=MP，cosx=OM，x=，tanx=AT．∵时S△AOP=|OA|•|MP|=sinx，S扇形AOP=•|OA|=x，S△AOT=|OA|•|AT|=tanx，且S△AOP ＜S扇形AOP＜S AOT．∴sinx＜x＜tanx即sinx＜x＜tanx（2）若命题p为真命题，则当x=0时，sin0≤b≤tan0，所以b=0，此时sinx≤ax≤tanx恒成立，若a＜1，令f（x）=ax﹣sinx，，则f′（x）=a﹣cosx=0在时有唯一解，记为x0，当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，此时f（x）≤f（0）=0恒成立，即ax≤sinx，矛盾，舍去；若a＞1，令h（x）=ax﹣tanx，，则h′（x）=a﹣=0在时有唯一解，记为x1，当x∈[0，x1）时，h′（x）＞0，此时h（x）≥h（0）=0恒成立，即ax≥tanx，矛盾，舍去；故a=1，b=0．【选做题】本题包括21.22.23.24.四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC 的延长线于点E．求证：△ABD∽△AEB．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠ACB与∠ADB所对应的弧为．∴∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD共用，∴△ABD∽△AEB．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知变换T把直角坐标平面上的点A（3，﹣4），B（0，5）分别变换成点A'（2，﹣1），B'（﹣1，2），求变换T对应的矩阵M．【解答】解：设M=，则有：M：→===，解得b=﹣，d=，M：→===，∴，解得a=，c=．∴M=．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ（a＞0）相切，求a的值．【解答】解：直线的方程转化为：x﹣，圆ρ=acosθ（a＞0）转化为：ρ2=aρcosθ，整理成直角坐标方程为：x2+y2﹣ax=0，整理为：，由于直线与圆相切，则：（）到直线x﹣的距离等于．则：，解得：a=（负值舍去）．故a的值为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分20分）24．已知正数x，y，z满足x+y+z=4，求的最小值．【解答】解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（）•（4+9+1），…（5分）故≥=，当且仅当，即：x=，y=，z=时，取得最小值为．…（10分）25．（10分）小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他决定逐个（不重复）进行尝试．（1）求手机被锁定的概率；（2）设第X次输入后能成功开机，求X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）设事件A：“手机被锁定”，则手机被锁定的概率P（A）==．（2）依题意X的所有可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==；P（X=4）==，∴X的概率分布表为：∴E（X）=（1+2+3+4）×=．26．（10分）设n≥3，n∈N*，在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．（1）当n=3时，求a，b的值；（2）求证：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．【解答】（1）解：当n=3时，集合{1，2，3}的所有元素个数为2的子集为{1，2}，{1，3}，{2，3}，即有a=2+3+3=8，b=1+1+2=4；（2）证明：对任意的n≥3，n∈N*，为定值．运用数学归纳法证明．当n=3时，由（1）可得a=8，b=4，为，成立；假设n=k时，为定值，则n=k+1时，a'=a+（k+1）k，b'=b+（1+2+3+…+k）=b+k（1+k），由a=2b，可得a'=2b+k（1+k）=2b'，则n=k+1时，结论仍然成立．故对任意的n≥3，n∈N*，为定值．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。