高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第5讲指数与指数函数练习

第二章 函数概念与基本初等函数I 第5讲 指数与指数函数练习
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x
，b ＝x 2
，c ＝log 23
x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关
系是( ) A.c <a <b B.c <b <a C.a <b <c
D.a <c <b
解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2
>1，c ＝log 23
x <0，所以c <a <b .
答案 A 2.函数f (x )＝a
x －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论
正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0
D.0<a <1，b <0
解析 由f (x )＝a x －b
的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b
在定义域上单调递减，所以
0<a <1. 函数f (x )＝a x －b
的图象是在f (x )＝a x
的基础上向左平移得到的，所以b <0.
答案 D
3.(2017·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352
5，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253
5，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫252
5
，则( )
A.a <b <c
B.c <b <a
C.c <a <b
D.b <c <a
解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x
在R 上为减函数，35>25，∴b <c .
又∵y ＝x 2
5在(0，＋∞)上为增函数，35>2
5
，
∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D
4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1
B.a
C.2
D.a 2
解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝
0.
又∵f (x )＝a x
，
∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x
2
＝a 0
＝1.
答案 A
5.(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|
(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1
9
，则f (x )的单调递
减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)
D.(－∞，－2]
解析 由f (1)＝19，得a 2
＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13|2x －4|
.由于y ＝|2x
－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题
6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－760
＋81
4×42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－232
3＝________.
解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫231
3×1＋234×21
4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫231
3＝2. 答案 2
7.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ≤1，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1，x >1，则f (f (2))＝________，不等式f (x
－3)<f (2)的解集为________.
解析 f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫122－1
＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12
， ∴f (f (2))＝1
2
，
当x －3>1时，即x >4时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －3－1
<1
2
，解得x >5， 当x －3≤1时，即x ≤4时，x －3<12，解得x <7
2
，
综上所述不等式f (x －3)<f (2)的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <7
2或x >5.
答案 12
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x |x <72或x >5
8.(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |
，e
|x －2|
}，则f (x )的最小值为________.
解析 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧e x
，x ≥1，e |x －2|，x <1.
当x ≥1时，f (x )＝e x
≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e
|x －2|
＝e
2－x
>e ，
因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题 9.已知f (x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫1a －1＋12x 3(a >0，且a ≠1).
(1)讨论f (x )的奇偶性；
(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立. 解 (1)由于a x
－1≠0，则a x
≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有
f (－x )＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫1a －x －1＋12(－x )3
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x
1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－1－1a x
－1＋12(－x )3
＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.
(2)由(1)知f (x )为偶函数，
∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1a x －1＋12x 3>0，
即1a x －1＋12>0，即a x
＋12（a x
－1）>0，则a x
>1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.
10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x
＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.
(1)求a ，b 的值；
(2)解关于t 的不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－1)<0.
解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即
－1＋b
2＋a
＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x
＋1
2x ＋1＋a
.
又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1
4＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝－2x
＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
.
由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).
又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－1)<0等价于f (t 2
－2t )<－f (2t 2
－1)＝f (－2t 2
＋1).
因为f (x )是减函数，由上式推得t 2
－2t >－2t 2
＋1， 即3t 2
－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13
，
故原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
t |t >1或t <－13.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.若存在正数x 使2x
(x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)
D.(－1，＋∞)
解析 因为2x
>0，所以由2x
(x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，
令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
， 则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭
⎪⎫120
＝－1，所以a >－1. 答案 D
12.已知函数f (x )＝|2x
－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )
A.a <0，b <0，c <0
B.a <0，b ≥0，c >0
C.2－a <2c
D.2a ＋2c
<2
解析 作出函数f (x )＝|2x
－1|的图象如图中实线所示， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0，0<c <1， ∴0<2a
<1，1<2c
<2， ∴f (a )＝|2a
－1|＝1－2a
<1， ∴f (c )＝|2c
－1|＝2c
－1，
又f (a )>f (c )，即1－2a
>2c
－1，∴2a
＋2c
<2. 答案 D
13.(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.
如果f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)对
应的图象如图所示，那么g (x )＝________.
解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝1
2
，
∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，x >0.当x <0时，－x >0.
∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x
＝－2x
.
答案 －2x
(x <0)
14.已知函数f (x )＝m ·6x
－4x
，m ∈R .
(1)当m ＝4
15时，求满足f (x ＋1)>f (x )的实数x 的范围；
(2)若f (x )≤9x
对任意的x ∈R 恒成立，求实数m 的范围. 解 (1)当m ＝4
15时，f (x ＋1)>f (x )，
则
415·6x ＋1－4x ＋1>415·6x －4x ，整理得43
·6x >3·4x
， 即⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x >⎝ ⎛⎭
⎪⎫
322，解得x >2，即实数x 的取值范围是(2，＋∞). (2)因为对任意的x ∈R ，f (x )≤9x
恒成立，则m ·6x
－4x
≤9x
， 整理得m ≤4x
＋9x
6x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
.
对任意的x ∈R ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
>0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
≥2，则m ≤2，即实数x 的取值范围是(－∞，2].
15.(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x
(x ∈R ，且e 为自然对数的底数). (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2
－t 2
)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵f (x )＝e x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x
， ∴f ′(x )＝e x
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x
， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数.
又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x
－e x
＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.
(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2
－t 2
)≥0对一切x ∈R 都成立，
⇔f (x 2
－t 2
)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，
⇔x 2
－t 2
≥t －x 对一切x ∈R 都成立，
⇔t 2
＋t ≤x 2
＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
－1
4
对一切x ∈R 都成立，
⇔t 2
＋t ≤(x 2
＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122
≤0，
又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋122
＝0，∴t ＝－12.
∴存在t ＝－12
，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2
)≥0对一切x ∈R 都成立.。