(汇总3份试卷)2019年上海市嘉定区九年级上学期数学期末学业水平测试试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．对于反比例函数
3
y
x
=，下列说法正确的是
A．图象经过点（1，﹣3）B．图象在第二、四象限
C．x＞0时，y随x的增大而增大D．x＜0时，y随x增大而减小
【答案】D
【解析】试题分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析：
A、∵反比例函数
3
y
x
=，∴当x=1时，y=3≠﹣3，故图象不经过点（1，﹣3），故此选项错误；
B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；
C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
故选D．
2．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出CQ
AB
＝1，
△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝1
2
AB＝3，BF＝CF＝
1
2
BC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，
∴CQ
AB
＝1，△AEI∽△QDI，
∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（
3
12
）2＝
1
16
，
∵AD＝10，
∴△AEI 中AE 边上的高＝2，
∴△AEI 的面积＝12×3×2＝3， ∵△ABF 的面积＝12×5×6＝15， ∵AD ∥BC ，
∴△BFH ∽△DAH ，
∴BH DH ＝BF AD ＝12
， ∴△BFH 的面积＝
12×2×5＝5， ∴四边形BEIH 的面积＝△ABF 的面积﹣△AEI 的面积﹣△BFH 的面积＝15﹣3﹣5＝1．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
3．关于抛物线2y 2x ，下列说法错误的是
A ．开口向上
B ．对称轴是y 轴
C ．函数有最大值
D ．当x>0时，函数y 随x 的增大而增大 【答案】C
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【详解】A. 因为a=2>0，所以开口向上，正确；
B. 对称轴是y 轴，正确；
C. 当x=0时，函数有最小值0，错误；
D. 当x>0时，y 随x 增大而增大，正确；
故选:C
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
4．已知反比例函数y ＝k x
的图象经过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A．(3，－2) B．(－2，－3) C．(1，－6) D．(－6，1)
【答案】B
【解析】反比例函数图象上的点横坐标和纵坐标的积为k，把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．
【详解】解:解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=6
x
，
则（-2，-3）在这个函数图象上，
故选：B．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（）
A．线段B．三角形C．平行四边形D．正方形
【答案】B
【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.
6．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）
A．（-3，0）B．（-2，0）C．（-4，0）或（-2，0）D．（-4，0）
【答案】A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】连接AQ ，AP ．
根据切线的性质定理，得AQ ⊥PQ ；
要使PQ 最小，只需AP 最小，
则根据垂线段最短，则作AP ⊥x 轴于P ，即为所求作的点P ；
此时P 点的坐标是（-3，0）．
故选A ．
【点睛】
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
7．已知33,33a b =+=22a ab b -+的值是（ ）
A ．32
B ．33
C ．32±
D ．18
【答案】A
【解析】先把二次根式化简变形，然后把a 、b 的值代入计算，即可求出答案. 【详解】解：∵33,33a b =+=- 222()a ab b a b ab -+-+ =2(3333)(33)(33)+-+++- =1293+- =32
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式进行化简. 8．下列叙述，错误的是（ ）
A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；
选：D．
【点睛】
此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．
9．在同一直角坐标系中，函数y=k
x
和y=kx﹣3的图象大致是（）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论；当两函数系数k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，观察只有B选项符合，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，熟练掌握它们的性质才能灵活解题．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，3
A的度数是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°．
11．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（）
A ．6 m
B ．5.6 m
C ．5.4 m
D ．4.4 m
【答案】A 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt △ACE ∽Rt △ABD ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD 的长．
【详解】解：∵EC ∥AB ，BD ⊥AB ，
∴EC ∥BD ，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt △ACE ∽Rt △ABD 中，∠A=∠A ，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt △ACE ∽Rt △ABD ， ∴EC CA BD CA BC =+，即1.60.80.8 2.2BD =+
，解得BD=6m ．
故选A ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
12．如图，在ABC ∆中，10AB =，8AC =，6BC =，以边AB 的中点O 为圆心作半圆，使BC 与半圆相切，点,P Q 分别是边AC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】C 【分析】如图，设⊙O 与BC 相切于点E ，连接OE ，作OP 2⊥AC 垂足为P 2交⊙O 于Q 2，此时垂线段OP 2最短，P 2Q 2最小值为OQ 2-OP 2，如图当Q 2在AB 边上时，P 2与A 重合时，P 2Q 2最大值，由此不难解决问题．
【详解】解：如图，设⊙O 与BC 相切于点E ，连接OE ，作OP 2⊥AC 垂足为P 2交⊙O 于Q 2，
此时垂线段OP 2最短，P 2Q 2最小值为OQ 2-OP 2，
∵AB=20，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP2A=90°，∴OP2∥BC．
∵O为AB的中点，∴P2C=P2A，OP2=1
2
BC=2．
又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°，∴OE∥AC,又O为AB的中点，
∴OE=1
2
AC=4=OQ2．
∴P2Q2最小值为OQ2-OP2=4-2=2，
如图，当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9，
∴PQ长的最大值与最小值的和是20．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理以及平行线的判定等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
二、填空题（本题包括8个小题）
1338﹣3π)0+(1
2
)﹣1＝_____．
【答案】1
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
383π）0+（1
2
）﹣1
＝2﹣1+2
＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是实数的混合运算，掌握立方根的定义、零指数幂的性质和负指数幂的性质是解决此题的关键．14．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径
长为1，则BC+AB 的值______．
【答案】4+23 【分析】如图所示：设圆O 与
BC 的切点为M ，连接OM ．由切线的性质可知OM ⊥BC ，然后证明△OMG ≌△GCD ，得到OM=GC=3，CD=GM=BC ﹣BM ﹣GC=BC ﹣3．设AB=a ，BC=a+3，AC=3a ，从而可求得∠ACB=20°，从而得到33
AB BC =，故此可求得AB=31+，则BC=3+2．求得AB+BC=4+23． 【详解】解：解：如图所示：设圆0与BC 的切点为M ，连接OM ．
∵BC 是圆O 的切线，M 为切点，
∴OM ⊥BC ．
∴∠OMG=∠GCD=90°．
由翻折的性质可知：OG=DG ．
∵OG ⊥GD ，
∴∠OGM+∠DGC=90°．
又∵∠MOG+∠OGM=90°，
∴∠MOG=∠DGC ．
在△OMG 和△GCD 中，
90OMG DCG MOG DGC OG DG ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OMG ≌△GCD ．
∴OM=GC=3．
CD=GM=BC-BM-GC=BC-3．
∵AB=CD ，
∴BC-AB=3．
设AB=a ，则BC=a+3．
∵圆O 是△ABC 的内切圆，
∴AC=AB+BC-3r ．
∴AC=3a ． ∴12AB AC =． ∴∠ACB=20°． ∴31,233AB BC AB =+=+=+，
∴423AB BC +=+．
故答案为：423+．
考点：3、三角形的内切圆与内心；3、矩形的性质；2、翻折变换（折叠问题）
15．从数﹣2，﹣12
，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k ＝mn ，则正比例函数y ＝kx 的图象经过第三、第一象限的概率是_____．
【答案】16
【解析】从数﹣2，﹣
12，1，4中任取1个数记为m ，再从余下，3个数中，任取一个数记为n ． 根据题意画图如下：
共有12种情况，由题意可知正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限，即可得到k=mn ＞1．由树状图可知符合mn ＞1的情况共有2种，因此正比例函数y=kx 的图象经过第三、第一象限的概率是
21=126． 故答案为16
． 16．在双曲线3m y x +=
的每个分支上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．
【答案】m ＜﹣1
【分析】根据在双曲线
的每个分支上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，可以得到m+1＜0，从而可以求得m 的取值范围．
【详解】∵在双曲线
的每个分支上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得，m ＜﹣1，
故答案为m ＜﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
17．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．
【答案】()1,2
【解析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义．
18．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．那么，小于100的自然数中，“纯数”的个数为___________个．
【答案】1
【分析】根据题意，连续的三个自然数各位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时不会产生进位，然后根据这个数是几位数进行分类讨论，找到所有合适的数．
【详解】解：当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，一共3个，
当这个数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，一共9个，
∴小于100的自然数中，“纯数”共有1个．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查归纳总结，解题的关键是根据题意理解“纯数”的定义，总结方法找出所有小于100的“纯数”．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，平面直角坐标系中，A 、B 、C 坐标分别是(-4，0)、(-4，-1)、(-1，1)．
（1）将△ABC 绕点O 逆时针方向旋转90°后得△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；
（1）写出A 1、B 1、C 1的坐标；
（3）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1．
【答案】（1）画图形见解析；（1）1(0,4)A -，1(2,4)B -，1(1,1)C --；（3）画图形见解析
【分析】（1）依据△ABC 绕点O 逆时针方向旋转90°后得到△A 1B 1C 1，进行画图即可；
（1）根据（1）所画的图形，即可写出坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1；
【详解】解：（1）画出图形，111A B C ∆即为所求；
（1）由图可知：1(0,4)A -，1(2,4)B -，1(1,1)C --；
（3）画出图形，222A B C △即为所求．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换作图，以及坐标和图形，正确得出三角形对应点的位置是解题的关键． 20．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G .
（1）证明：∽AMF BGM .
（2）连结FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长. 【答案】（1）见解析；（2）53
=FG 【分析】（1）由DME A ∠=∠，可证∠AFM=∠BMG，从而可证∽AMF BGM ；
（2）当=45α︒时，可得AC BC ⊥且4AC BC ==，再根据∽AMF BGM 可求BG ，从而可求CF ，CG ，进而可求答案.
【详解】（1）证明：∵DME A ∠=∠
∴AFM DME E A E BMG ∠=∠+∠=∠+∠=∠,
又∵A B ∠=∠
∴∽AMF BGM .
解：（2）∵=45α︒，DME A B α∠=∠=∠=
∴AC BC ⊥且4AC BC ==
∵M 为AB 的中点，
∴22AM BM ==
又∵∽AMF BGM ,
∴AF BM AM BG
= ∴2222833
AM BM BG AF ⋅⨯=== ∴431=-=-=CF AC AF ,84433=-=-
=CG BC BG ∴2
22245133FG CF CG ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握相似三角形的相关知识与勾股定理是解题的关键.
21．甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行
的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．
【答案】5
3米.
【分析】先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值.
【详解】由题意得：
C（0，1），D（6，1.5），抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+1（a≠0），
则据题意得：
4
2
1.53661
b
a
a b
⎧
-=
⎪
⎨
⎪=++
⎩
，
解得：
1
24
1
3
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=﹣1
24
x2+
1
3
x+1，
∵y=﹣1
24
（x﹣4）2+
5
3
，
∴飞行的最高高度为：5
3
米．
【点睛】
本题考核知识点：二次函数的应用.解题关键点：熟记二次函数的基本性质.
22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数图像关于x轴对称的图像所对应的函数表达式；
【答案】（1）y＝(x－1)2－1或y＝x2－2x－3；（2）y＝－(x－1)2＋1
【分析】（1）由表格中的数据，得出顶点坐标，设出函数的顶点式，将（0，－3）代入顶点式即可；（2）由（1）得顶点坐标和顶点式，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出抛物线的顶点坐标，然后根据新抛物线与原抛物线形状相同，开口方向向下写出解析式即可．
【详解】（1）根据题意，二次函数图像的顶点坐标为（1，－1），设二次函数的表达式为
y ＝a(x －1)2－1
把（0，－3）代入y ＝a(x －1)2－1得，a ＝1
∴y ＝(x －1)2－1或y ＝x 2－2x －3
（2）解：∵y= y ＝(x －1)2－1，
∴原函数图象的顶点坐标为（1，－1），
∵描出的抛物线与抛物线y ＝x 2－2x －3关于x 轴对称，
∴新抛物线顶点坐标为（1，1），
∴这条抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，
故答案为：y ＝－(x －1)2＋1．
【点睛】
本题考查了本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质以及二次函数图象与几何变换，根据顶点的变化确定函数的变化，根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出描出的抛物线的顶点坐标是解题的关键．
23．（1）2y 2+4y ＝y+2（用因式分解法）
（2）x 2﹣7x ﹣18＝0（用公式法）
（3）4x 2﹣8x ﹣3＝0（用配方法）
【答案】（1）y 1＝﹣2，y 2＝12；（2）x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 1＝1+2，x 2＝1﹣2
． 【分析】（1）先变形为2y （y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；
（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x ﹣1）2＝
74，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】解：（1）2y （y+2）﹣（y+2）＝0，
∴（y+2）（2y ﹣1）＝0，
∴y+2＝0或2y ﹣1＝0，
所以y 1＝﹣2，y 2＝12
； （2）a ＝1，b ＝﹣7，c ＝﹣18，
∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，
∴x ＝71121
±⨯， ∴x 1＝9，x 2＝﹣2；
（3）x 2﹣2x ＝34， ∴x 2﹣2x+1＝34
+1， ∴（x ﹣1）2＝
74， ∴x ﹣1＝±7， ∴x 1＝1+
7，x 2＝1﹣7． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
24．如图，矩形ABCD 中，8AB =，7BC =，
点P 为边BC 延长线上的一点，过DP 的中点E 作EM DP
⊥交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ，//EF BC ，交边AB 于F ，交边DC 于H
（1）当4CP =时，求EM EN
的值； （2）猜想MN 与DP 的数量关系，并证明你的猜想
【答案】（1）29；（2）78
MN DP =，证明见解析 【分析】（1）根据E 为DP 中点，//EF BC ，4CP =可得出EH=2，再利用平行线分线段对应成比例求解即可；
（2）作//MQ BC 交AB 于点Q ，可求证Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AB CD
∴EM EH EN EF
= ∵//EF BC
∴DH DE HC EP
=，7FH BC ==
∵DE EP =
∴DH HC = ∴114222EH CP ==⨯= ∴279EF EH FH =+=+=
∴29
EM EH EN EF == （2）答：78MN DP =
证明：作//MQ BC 交AB 于点Q
则7MQ BC ==，90MQN DCP QMC MED ∠=∠=∠=∠=︒ ∵90QMN NMC ∠+∠=︒，90CDP DME ∠+∠=︒，NMC DME ∠=∠，
∴QMN CDP ∠=∠
∴Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆
∴78
MN QM DP CD == ∴78MN DP =
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理及其性质以及平行线分线段成比例定理，解此题的关键是利用矩形的性质求出EH 的长．
25．阅读下列材料，完成相应的学习任务:如图（1）在线段AB 上找一点C ，C 把AB 分为AC 和BC 两条线段，其中AC ＞BC ．若AC ，BC ，AB 满足关系AC 2＝BC•AB ．则点C 叫做线段AB 的黄金分割点，这时AC AB ＝512≈0.618，人们把512
叫做黄金分割数，我们可以根据图（2）所示操作方法我到线段AB 的黄金分割点，操作步骤和部分证明过程如下：
第一步，以AB 为边作正方形ABCD ．
第二步，以AD 为直径作⊙F ．
第三步，连接BF与⊙F交于点G．
第四步，连接DG并延长与AB交于点E，则E就是线段AB的黄金分割点．证明：连接AG并延长，与BC交于点M．
∵AD为⊙F的直径，
∴∠AGD＝90°，
∵F为AD的中点，
∴DF＝FG＝AF，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∵∠2+∠5＝90°，∠5+∠4＝90°，
∴∠2＝∠4＝∠3＝∠1，
∵∠EBG＝∠GBA，
∴△EBG∽△GBA，
∴BG
BE
＝
AB
BG
，
∴BG2＝BE•AB…
任务：
（1）请根据上面操作步骤与部分证明过程，将剩余的证明过程补充完整；（提示：证明BM＝BG＝AE）（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是（填出下列选项的字母代号）
A．华罗庚
B．陈景润
C．苏步青
【答案】（1）见解析；（2）A
【分析】（1）利用相全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质以及平行线的性质证明BM=BG=AE即可解决问题．
（2）为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．
【详解】（1）补充证明：∵∠2＝∠4，∠ABM＝∠DAE，AB＝AD，
∴△ABM≌△DAE（ASA），
∴BM＝AE，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠5＝∠6＝∠8，
∴BM＝BG＝AE，
∴AE2＝BE•AB，
∴点E是线段AB的黄金分割点．
（2）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数．为优选法的普及作出重要贡献的我国数学家是华罗庚．
故答案为A．
【点睛】
本题考查作图-相似变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．
26．在学习概率的课堂上，老师提出的问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案.甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影.
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲同学的方案修改为只用2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说明理由.
【答案】（1）甲同学的方案不公平.理由见解析；（2）公平，理由见解析.
【解析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
（2）解题思路同上．
【详解】（1）甲同学的方案不公平.
理由如下：列表法，所有结果有12种，数字之和为奇数的有：8种，故小丽获胜的概率为：
82 123
，
则小芳获胜的概率为：1
3
，故此游戏两人获胜的概率不相同，即游戏规则不公平；
（2）公平，理由如下：
所有结果有12种，其中数字之和为奇数的有：6种，故小丽获胜的概率为：61122=，则小芳获胜的概率为：61122
=，故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平.
【点睛】
本题考查树状图或列表法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．计算
（1）()2
22(2)150a a ----= （2）
22)42x x -=-（ （3200001345sin 30tan 60sin 602-+
（4）
001032018sin60tan3038--+--（π）（）【答案】 (1) 121,7a a =-=；(2)120,2x x ==；3；(4)3 【分析】（1）先运用去括号原则以及完全平方差公式去括号，再合并同类项，最后利用因式分解法求解即可；
（2）先运用完全平方差公式去括号，再移项和合并同类项，最后利用因式分解法求解即可； （3）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则进行计算；
（4）由题意代入特殊三角函数值，并利用二次根式运算法则以及负指数幂和去绝对值的运算方法进行计算.
【详解】解：（1）()2
22(2)150a a ----= 24424150a a a +--+-=
2670a a --=
(1)(7)0a a +-=
解为：121,7a a =-=；
（2）2
2)42x x -=-（ 24442x x x +-=-
220x x -=
(2)0x x -=
解为：120,2x x ==；
（3
20000145sin 30tan 60sin 602
-+
21122-⎝⎭
= （4
）
00102018sin60tan30--+-（π）（）
=1122-⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
=12+
=3.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法和实数的计算，用到的知识点是因式分解法求一元二次方程和负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值，关键是根据式子的特点灵活运用解方程的方法进行求解．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．将抛物线y = x 2平移得到抛物线y = （x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向上平移2个单位
D ．向下平移2个单位
【答案】A
【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律即可得答案，故答案选A ．
考点：抛物线的平移规律．
2．函数y=-x 2-3的图象顶点是（ ）
A ．()03，
B ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，
C ．()03-，
D ．()1
3--， 【答案】C 【解析】函数y=-x 2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.
故选C.
3．半径为R 的圆内接正六边形的面积是（ ） A ．R 2
B ．3R 2
C ．33R 2
D ．3R 2 【答案】C
【分析】连接OE 、OD ，由正六边形的特点求出判断出△ODE 的形状，作OH ⊥ED ，由特殊角的三角函数值求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出△ODE 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积．
【详解】解：如图示，连接OE 、OD ，
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠DEF=120°，
∴∠OED=60°，
∵OE=OD=R ，
∴△ODE 是等边三角形，
作OH ⊥ED ，则33R OH
OE sin OED R ∴2112233ODE R R S DE OH R
∴223336642
ODE ABCDEF
R R S S 正六边形 故选：C ．
【点睛】 本题考查了正多边形和圆的知识，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键． 4．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB 的宽为8cm ，水面最深的地方高度为2cm ，则该输水管的半径为（ ）
A ．3cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm
【答案】B 【分析】先过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，由垂径定理可知AD ＝
12AB ，设OA ＝r ，则OD ＝r ﹣2，在Rt △AOD 中，利用勾股定理即可求出r 的值．
【详解】解：如图所示：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，
∵OD ⊥AB ，
∴AD ＝12
AB ＝4cm ， 设OA ＝r ，则OD ＝r ﹣2，
在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，即r 2＝（r ﹣2）2+42，
解得r ＝5cm ．
∴该输水管的半径为5cm ；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理及勾股定理的运用.
5．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y (万元)与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A ．4月份的利润为50万元
B ．污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C ．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D ．9月份该厂利润达到200万元
【答案】C
【分析】首先设反比例函数和一次函数的解析式，根据图像信息，即可得出解析式，然后即可判断正误. 【详解】设反比例函数解析式为()0k y x x
=
≠ 根据题意，图像过点（1,200），则可得出()2000y x x =≠ 当4x =时，50y =，即4月份的利润为50万元，A 选项正确；
设一次函数解析式为y kx b =+
根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）
则有4506110k b k b +=⎧⎨+=⎩
解得3070k b =⎧⎨=-⎩
∴一次函数解析式为3070y x =-，其斜率为30，即污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，B 选项正确；
治污改造完成前后，1-6月份的利润分别为200万元、100万元、
2003万元、50万元、110万元，共有3个月的利润低于100万元，C 选项错误；
9月份的利润为30970200⨯-=万元，D 选项正确；
故答案为C .
【点睛】
此题主要考查一次函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.
6．如图，四边形ABCD 内接于O ，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128°B．100°C．64°D．32°
【答案】A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
7．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）
A．1
4
B．
1
2
C．
3
4
D．1
【答案】C
【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：3
4
．
故选：C．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结
果，那么事件A的概率P（A）=m
n
．也考查了中心对称图形的定义．
8．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
【答案】B
【详解】随机事件.
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：
抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.
9．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把△EFO缩小为△E′F′O，且△E′F′O与△EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）。