中学数学中数形结合初探
浅析数形结合法在初等数学中的应用
一
证 明 ： 图所 示 ， 如 已知 大 正方 形 的边 长 为 ａ 正方 形 的 Ｂ ， 的边 长 为 ｂ ，
那 么 － ２Ｓ ＋ Ｓ ｂ＝ Ａ ｓ ｃ
＝
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
（－ ）＋ ０ ６ （ ’ ） ｏ ６ ６ （ ＿ 。 ６ ｂ
（＿ ）２ ＋ — ｏ ６ （ ６ ０ ６） （ ６ （ ６） 叶 ）
Ａ Ｄ Ｃ
＝ （－ ）＋ ｎ ６） ２ａ ｂ６ （一 ２
＝
＝
或者 如 下 图所 示 ， 利用 割 补法， 将矩 形 Ｃ割 补成 等宽 等
长 的矩形 Ｃ ’ 那么， ６
＝
＋ Ｓ， ５ ｃ （ ６（＿ ） 叶 ）０ ６
Ｂ
Ｃ
、
运 用形 的直观 解 决数量 关 系
以（ ＋ ） ａ ２ ｂ ｂ 为例 证 明如 口 ６２ Ｚ ａ＋。 ＝ ＋ 证 明 ： 下 图所示 ： 是 边 长 为 。 如 Ｂ
Ａ
Ｄ
通过 图像 显而 易见 ， 是 一＜ ＞口 数轴 上 ， 于 右 应 ６６一（ 位
边 的数 总大于 在它左 边 的数。 ） 二、 运用 形的直 观分 析公 式推理
浅析 数形结合法在 初等数学 中的应用
（ 河北省石家庄市平山县苏家庄中学
数 形结 合方 法 ， 是在 研 究 数 学 问题 时， 就 由数 思形 、 以 形 思数 、 数形 结合考 虑 问题 的一种 思想方 法。 以数 促形 ， 用
郄进霞）
从 而达到 加深 记 忆的效果 。 例 ２ 平方 差公 式的推 理
ａ－ ２（＋ ） ６ ３ ｂ＝ ａ ｂ （ ）
形 助数， 合使 用 ， 使复 杂 问题 简单 化 ， 象 问题形 象化 。 结 能 抽
浅谈中学数学的数形结合思想
一
６
一 ０ ｎ
ａ
ｂ
图
Ｉ
形 巧 妙 地 结 合 起 来 ， 效 地 相 互 转 化 ， 成 为 解 决 问 题 的 关 有 就 键所在．１ ．解 决 集合 问题 ：在 集 合 运 算 中常 常 借 助 于 数 轴 、 Ｖｎ ｅ ｎ图 来 处 理 集 合 的 交 、 、 等 运 算 ， 而 使 问 题 得 以 简 并 补 从
堂 的 真 实 ． 生 发 展 的 和 谐 ， 就 已 经 是 课 堂 教 学 的成 功 者 ． 学 你 教 师 的教 学 只有 在 深 入 了解 学 生 的认 知 规 律 ， 如 实 按 照 学 并
不必追求完美 ， 因为 它 不 符 合 规 律 ， 开 却 迟 早 要 败 ， 花 燕 舞 虽 美 却 秋 来 南 飞 ，课 堂 不 是 让 每 一 名 学 生 都 成 为 北 大 、 清 华 的栋 梁 之 才 ， 堂是 学 生成 长 、 展 能 力 的地 方 ， 果 课 堂 课 发 如 完 美 将 会 失 去课 堂 生 命 的 色 泽 ， 去 课 堂 的真 实 ． 失 不 必 追 求 完美 ，因 为 完美 的课 堂 破 坏 真 实 与 和 谐 ． 白璧 微 瑕 的 透 玉 ， 砖 残 垣 的古 长 城 ， 至 维 纳 斯 都 是 美 的 ， 种 断 甚 这
三 、 数 形 结 合 ” 中学 数 学 中 的应 用 例 谈 “ 在 数轴 是进 行数 形 结 合 的 极好 材 料 和 有 力 工 具 ． 能 够 直 它
相 互 转 化 ， 些 看 似 无 法 人 手 的 问 题 就 会 迎 刃 而 解 ． 生 事 一 产 半功倍的效果．
一
、
渗 透 数 形 结 合 的 思 想 ， 成 用 数 形 结 合 分 析 问题 的 养
例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用
课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。
在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。
下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。
第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。
【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。
【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。
b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。
因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。
第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。
【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：邵凯来源：《中学课程辅导·教师教育》 2018年第2期深入探究当前初中数学学科教学实践活动后可知，“数形结合”方法在初中数学课堂教学活动中受到了广泛地运用和教育者的极力推崇。
数形结合的高效学习方法不仅仅被运用于数学课程中实数、函数、统计与概率以及不等式……诸多模块的知识讲解过程中，与此同时教师也注重将“数形结合”学思想渗透于每一环节的教学指导之中，以此实现引导初中生高效理解与掌握数学课程知识并且激发学生抽象逻辑思维能力的不断发展。
一、数形结合在初中数学实数模块教学中的应用在初中数学课程内容安排中，实数是重要的学习知识点之一。
根据新课程教学改革中设计的初中实数模块教学知识点中，数轴不仅仅是辅助学生学习数学实数知识的高效学习手段，同时也是数形结合思想和数学学习方法在教学活动中的具体应用。
借助数形结合数学思想从而找寻图形中与实数特性相同的事例，从而进行知识点的有效转换并且落实于数形结合理念，数轴便是以此而来的。
数轴上的每一个点都能够对应唯一的实数，数轴上有无数个点——这一特征也与实数的性质不谋而合。
与此同时，将数轴定义“左小右大”的数学关系，还将辅助学生根据实数在数轴上的具体对应位置而快速判断实数间的数量大小关系，不仅直观形象，同时还具有高效性。
另外，数形结合的数学方法在实数模块教学中还能够成为学生学习初中数学课程该模块重难点内容的有效学习手段，即有关相反数以及绝对值的数学内容。
数轴充分地运用了数学结合的数学思想，将直线从中心点一分为二，中心点定义为零点，零点往左则为复述，零点往右则为整数。
而数轴这一数学特征恰好符合相反数和绝对值的学习需求，有助于抽象逻辑思维能力水平发展较低的初中生根据直观的数轴图形理解相反数和绝对值的数学含义以及运算法则，这也是数形结合的教学目的。
二、数形结合在初中数学统计模块教学中的应用初中数学学科课程中，统计模块的数学知识不仅体现了数学知识与生活实际息息相关的特点，同时也反映出了数学课程知识的实用性。
初中数学小课题研修报告1 数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究
初中数学小课题研修报告一、课题名称数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究二、课题的提出随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更重视考查能力。
“数形结合”是中学数学学习中一个重要数学思想，下面结合具体例子谈谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透。
三、课题研究的目的、意义数形结合的其实质是代数问题与几何问题的相互转化。
数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。
四、本学期小课题研究过程、及策略教学中可以从以下几个方面进行：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）。
（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。
（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的结合点。
如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。
（二）培养学生1、渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识例:小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。
父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。
你能在下面的平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系吗？结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。
浅析初中数学教学中数形结合教学方法的意义
浅析初中数学教学中数形结合教学方法的意义摘要：数形结合教学法是初中数学解题中一种重要的数学教学方法，也是广大数学教师经常用到的教学方法。
在初中数学教材中，有很多知识在讲解过程中都运用到了数与形的有机结合。
本文比较全面地分析了数形结合在初中数学教学中的运用，从而提高课堂效率，培养学生的数学素质。
关键词：数形结合教学方法课堂效率初中数学思想方法是初等数学教育中的重要内容。
学生通过领悟一定的数学思想方法不仅能提高数学学习成绩，还能帮助学生树立科学的思维方式，形成正确的数学观，培养创造思维能力。
要实现中学数学教学的现代化，关键并非内容的现代化，重要的是数学教学手段的现代化和数学思想方法的现代化。
所以，增强数学思想方法的教学成为了数学教育现代化的重要环节。
一、初中数学教学中数形结合教学方法的意义1.有助于学生理解数学概念。
初中数学教材中的数学概念是对相关数学知识的高度浓缩与概括，是学生认识数学的基础。
初中数学内容最大的特点就是大部分定理或者推论等直接用文字阐述结论，而省略了相应的推算过程，从而导致了初中数学知识的抽象性。
也正是因为抽象性，使得数学看起来单调、枯燥、无味、难以理解。
比如：关于一次函数的对称问题：(1)（一点对称）若函数y=f(x)，对任意，满足f(a+x)=-f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于（a，0）中心对称。
(2)（两点对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称（其中a≠b），则y=f(x)是周期函数，周期2[a-b]。
(3)（轴对称）若函数y=f(x)对任意满足f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)关于x=a对称。
(4)（轴轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称（a≠b），则函数y=f(x)是T=2|b-a|的周期函数。
(5)（点轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于直线x=b 对称（其中a≠b），则函数y=f(x)是周期T=4|b-a|的周期函数。
中学数学中数形结合初探
出 隐 含 在 其 内 部 的几 何 背 景 ． 复 杂 的 问 题 简 单 化 ． 象 的 问 使 抽 题具体 、 观化 ． 而有效地找到解题途径 ， 到优化解题 的 目 直 从 达
的． 同时 也 能 开 阔和 发 展 学 生 的思 维 六 、 态 中的 数 形 结 合 问 题 动 例 ６如 图 ６所 示 ， 行 四 边 形 Ｂ Ｄ 中 ， Ｂ ４ 点 Ｄ 的 坐 平 Ｃ Ａ ＝ ， 标 是 （ ， ） 以 点 Ｃ为 顶 点 的 抛 物 线 ｙ ａ２ｂ ＋ 经 过 轴 上 ０８． ＝ ｘ＋ ａ ｃ
得 Ｂ ＝ Ｄ＝ ／ ｎ ４ ， Ｅ ＡＥ １ ｉ４ 。 Ｄ Ａ １ ｉ２ 。 Ｄ ＝ ＝ ／ ｎ ８ 。如 图 ３可 知 ， ／Ｂ Ａ＝ ｓ ｓ 则 Ｆ
８ 。 ＺＢＡＦ ８ 。 以 Ｅ ４Ｆ ／ｉ８ 。 ／ｉ９ 。 所 以 Ａ日＝ ４。 ＿ ＝４所 ＝ｌｓｎ ４ ＝ｌｓｎ ６ ， 日
为 Ｄ Ｃ∥ＡＢ． ＝ ．点 Ｄ的 坐标 是 ＡＢ ４
角 三 角 形 Ａ Ｃ 中 ．ｉｌ 。 １ Ｂ ｓ ２ ＝／ ｎ ＡＢ． 以 Ａ ＝ ／ｉｌ 。 同理 可 所 Ｂ ｌ ｎ２ ． ｓ
Ｄ Ｅ ＣＦ 图３
分 析 ：本 题 是 平 行 四边 形 和 抛
物 线 组 合 在 一 起 的题 目 ．可 以 借 助
于平 行 四边 形 的 性 质 进 行 分 析 因
一
故 问 题 转 化 为 证 此 等 式 成 例 即 可 ：Ｃ＋ Ｅ ＋ Ｄ ＋ Ｆ ≤２ Ｐ ＺＱ ：ｐ ２Ｑ （ 题等号不能成立 ） 此 尸 ｃ和 Ｐ Ｑ 和 Ｑ Ｄ．Ｅ Ｆ分 别 在 同 一直 线 上 ． 就 启 发 我 们证 明 这
只要 Ｐ ２ＱＥ ≤１ Ｐ ｐ ≤１ Ｃ＋ ２ ， Ｄ ＋
浅析初中数学中如何渗透数形结合思想
２ １ 年第 ２ 期 ００ ０
嘉 浅析初中数学中如何渗透数形结合思想
张雅丽
（ 江苏省南通 市启秀 中学 ，２ ０ １ ２６ ０ ）
数与形是数 学 中的两 个最基本 的研究对 象 在一
—
对应关系 ， 架起 了函数 与 图形 的桥 梁． 因此 ， 我们 能
定条件下， 问题中的数量关系与几何图形能够有效地 结合起来 ， 在解决问题的过程中相互转化、 相互渗透，
关系， 加深对 图形本质 的理解 和认 识 再 例如 ： 勾股 定 理是一个 基本 的几 何定理 ， 但其 给 出的却是一个 数量 化 的结论 勾股定理指 出， 角三 角形两直角边边长平 直 方和等于斜边边长的平方 也 就是说 ， 直角三角形两 设
直角边为 口和 ｂ斜边为 ｃ那么 口 ｂ ＝ 反之， ， ， ＋ ｃ； 三边
公式得 Ａ Ａ Ｂ ＝（ Ｂ ＋ Ｃ ～２ Ｄ ａ＋ｃ ＋ｂ ） ＋（ Ⅱ一ｃ ）
＋ｂ 一２ ＝２ａ ｃ ＋２ｂ ．
①求 出 ／ 的值， Ｔ ｔ 并画出这条抛物线 ； ②求 它 与 轴 的交点 和抛物 线 的顶点坐 标 ； 取何值时 ， 抛物线在 轴的上方； ④ 取何值时 ， Ｙ的值随着 的增大而减小． 解 ： 将 ２ ， ３代人抛物 ① ０Ｙ＝
使问题 化繁 为 简 ， 化难 为易 ， 来研究几何 问题 ， 几何方法来表述 能用 函数关系． 另外借 助于平面 直角坐标 系 ， 可以导 出“ 两 点间距离公式 ”二元一次方 程、 比例 函数 与直线 ， ， 正 二 次 函数与抛物线等 因此 ， 上述概念教学 中数形结合思 想 的有效渗 透能够使学生对 “ ” 形 的认识 更为清 晰， 对 “ 的理解更 为形象、 数” 具体
①平方差公式 口 一 口 ｂ （ 一 ） ｂ ＝（ ＋ ） 口 ｂ ； ②完全平方公式（ ＋ ） ０ ＋ ａ ＋ 口 ６ ＝ ２ ｂ ｂ．
浅谈中学教学中的数形结合思想
可 以说 ， 整个 中学 的数学都是 在数 形结合 思想 指导
下展开 的， 它渗透 在中学数学 教学 的各个方 面． 目前 ， 在 全 国各地进行 的初 高 中新课改 中 ， 多地 区已经不 再把 许 数学课划分 为代数 、 几何 （ 析几何 、 解 立体几 何 ）而 是综 ， 合为一 门数学课 ， 这便十分有利 于数 学各部 分 内容 相互 联系 ， 有利 于学生 将 分散 的知 识 点 串联 成 一个 知识 网 ， 有利 于培养 学 生 的数学 综合 素 养． 代数 与几 何 融合 ， 将 便突显 了数 形结 合 思想 的重 要 性． 中学教 学 大纲 提 出 ：
“ 通过数形结 合 思想 的教 学 ， 学 生进 行对 立 统一 观 点 对
的教育． 在 中学教 育 中， 数 形结 合思 想 的理 解 ， ” 对 我们
不能单单 停 留在作 为 解 题 的 一种 方 法 ， 试 的一 种 手 应
段， 而是应 该 立足 于这 种思想 的实质 ， 这 种思想 作 为 将
其 ， 关 键是代数 问题与 图形之 间 的相 互转换． 简而 言之 就是
代 数问题几何化 ， 几何 问题代数 化． 在思 想上 ， 便是使 抽
象思维和形象思维相互作 用 ， 将抽 象 的的数量 关系 和直 观的 图形结合起来研究数 学问题．
一
解题高手． 了解数形 结合思想 的发 展历史 对我 们 中学 数 学教育具有重 要的意义． 它能帮 我们 了解 数学 发展 的历
史进 程 、 识数 学发 展 的规律及 数学 本质 ， 助于学 生 认 有 数形结合 思想 的形成．
、
中学数学 中数形结合思想 的重要性 与必要性
最初 的数 形结合体现在数 和形 的发展过 程 中． 的 数 产 生源 于对具 体 物体 的计 数 ， 产生 数 的概 念 之后 ， 古 在 代 的各 种各样 的计数 中， 都是 以具体 的 图形来 表达 抽象 的数． 国的算 盘 是一个 历史 上最 长 的计 数 工具 ， 是 中 也 数 形结 合的典范． 而且数形结 合也体 现在行 的发展 过程 中： 如古时候土地 的丈量需要 ． 近代 ， 在 在数 和形 的结合 中， 有两次历史性 的飞跃 ， 次便是 建立数 轴 ， 实数与 一 把 数轴上 的点一一对应起来 ； 二次便 是笛 卡儿建 立 了平 第 面直角坐标系 以及 他和 费 马创造 了新 的研 究 几何 的方 法及解 析几 何 的思想 方法． 以说 ， 可 数形 结合 在 近代 的 发展就是解析几何 的发展 ， 而在 现代 ， 平面几 何 、 从 立体 几何发 展 到 维 空 间的仿 射几何 、 射影 几何 ， 以及 在 现 代数学研究 中 ， 数量关 系的几 何解 释 中也 起到 了极其 重 要 的作用 ， 如果 不 对数 量关 系用 一 个形 的术 语来 描 写 ， 就无法一 步 步讨 论 下 去． 非 线 性 代数 中 的可 行 方 向 如
初中数学教学中数形结合思想的应用--以“全等三角形的判定”为例
初中数学教学中数形结合思想的应用--以“全等三角形的判定”为例摘要：数学是一门将数字和图形有机结合的学科，它将数字和图形紧密联系起来，从而使得数学问题的解决更加有效。
“全等三角形”的内容清晰地表明，在课堂教学中，三角形可以作为一个重要的实例，帮助学生更好地理解数学概念，并将其应用到实际生活中，从而更好地掌握数学知识，提高学习效率。
“数量关系”和“相等是否全等”都是推理的基础，它们的结合使得数形结合的例证更加完整，这样的推理模式有助于培养学生的逻辑思维能力，使他们更好地理解和应用知识。
关键词：数形结合；全等三角形；教学思想引言研究表明，推理能力的培养受到了广泛的重视，这主要体现在两个方面：首先，传统的初中数学课堂上，学生们通过构建自身的知识体系，可以更好地锻炼他们的推理能力；其次，中学生正处于抽象思维的快速发展阶段，他们也更容易运用推理思维去解决实际的数学问题；最后，这也是核心素质的体现。
在初中数学课堂上，逻辑推理是必不可少的，它不仅仅是推理的一部分，而且还起到了规范作用。
因此，我们应该充分利用这个机会，积极探索和实践，以提高学生的逻辑思维能力，从而更好地培养他们的数学核心素养。
通过我的教学经验，我想分享一些关于数学课堂的感受。
一、数形结合的概念在初中数学课堂上，数形结合是一种将代数概念与几何概念有机地结合起来的方法，也就是说，通过分析代数概念，揭示几何概念，将数量关系和空间形式融为一体，从而形成正确的解题思路，最终达到解决数学问题的目的。
数学和形的关系历史悠久，它们之间的紧密联系不仅是数学思想的核心，而且也是普遍应用的数学技术。
在数学教学研究中，将数学和形结合起来，不仅能够更好地理解和掌握数学知识，而且还为解决实际问题提供了坚实的理论基础。
二、初中数学教学中数形结合思想的重要意义(一)数形结合思想在初中数学中的地位数形结合思想在数学理论和思维中扮演着至关重要的角色，它的实施方式既灵活又实际，能够有效地将几何概念、图像、函数、方程等融入到数学课堂上，从而发挥出它的最大价值。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合思想探析
Ｎｏ． ２ ７， ０１１
Ｍｏ ｅｎＢ ｓ ｅｓ ａｅＩｄ ｓ ｙ ｄｒ ｕｉ ｓ Ｔｒｄ ｕｔ ｎ ｎ ｒ
２ １ 年第 ７ ０１ 期
数 形 结 合 思 想 探 析
杨 光
（ 西财 经职 业技 术 学 院 ， 西 西 安 ７ １ ０ ） 陕 陕 ２ ０ ０
能 力 的 要 求 也 日益 增 加 ， 此 同 时 女 生 对 于 数 学 的 学 习 就 与 不 是 很 轻松 了 ， 男 生 的 优 势 却 日益 明 显 了 。可 见 ， 别 对 而 性
数学 的学习有一定影 响。 对 于数 形 结 合 思 想 的学 习 和 运 用 也 是 如 此 ， 生 对 于 男
摘
要 ： 就 数 形 结 合 思 想 在数 学 中的 应 用做 一 综 述 ， 于 如 何 培 养 学 生 的 数 形 结 合 意 识 ， 强 数 形 结 合 思 想 训 练 的 试 对 加
方 法做 一 总 结 和 建 议 ， 现 数 形 结合 思 想 在 数 学 中的 基 础 性 和 重 要 性 。 体
其 不 意 的效 果 。
４ 培养 学生对 “ 形结合” 兴趣 数 的
数 学 家 哈 代 曾说 过 ：数 学 就 像 画 家 的 颜 色 或 者 诗 人 的 “ 文 字 一 样 ， 定 会 和 谐 地 组 合 在 一 起 。美 感 是 首 要 的 试 金 一 丑 ” 直觉思维就是人脑对 于突然 出现在 面前 的事物 、 象 、 现 问题 石 ， 陋 的 数 学 在 世 界 上 是 站 不 住 脚 的 。 数 学 美 感 是 数 学 如 及 其 关 系 的 一 种 迅 速 识 别 ， 锐 而 深 入 的 洞 察 ， 接 的 本 质 美 在 生 活 和 情 感 等 方 面 的 体 现 ， 果 在 数 学 教 学 中 揭 示 数 敏 直 也 那 理 解 和 综 合 的整 体 判 断 。 直 觉 思 维 是 贯 穿 于 日常 生 活 学 习 形 结 合 思 想 的 同 时 ， 能 够使 学 生 享 受 到 美 感 ， 么 就 能 激 发学 生 学 习和 运 用 数 形 结 合 思 想 的 兴 趣 ， 而 大 大 地 提 高 从 中 ， 有 迅 捷 性 、 接 性 、 能 意 识 等特 点 。 具 直 本
浅析初中数学中的数形结合思想
所 以 ．＞ ２ ０ ． 费者 选 用 节 能 灯 可 以节 省 费用 ． ｘ２８时 消 评析 ： 通过 函数 分 析 式 和 函 数 模 型 ， 数 形 结 合 的思 想 将 即 这 道 复 杂 问 题 简 单 化 、 观化 了 ． 样 学 生 更 容 易 理 解 问题 、 直 这 分析 问题 ， 而解 决 问题 。 从 例 ２ 数 形 结 合 与 解 三 角 形 函数 问题 ： 题 目 ： 图 ． 艘 轮 船 自西 向东 航 行 ， Ａ处 测 得 东 偏 北 如 一 在 ２ ＿ 方 向有 一 座 小 岛Ｃ． 续 向东 航 行 ６ 海 里 到 达 Ｂ ． 得 １。 ３ 继 ０ 处 测 小 岛 Ｃ 时 在 轮 船 的东 偏 北 ６ ． 方 向 上 ． 后 ， 此 ３５ ｏ 之 轮船 继 续 向东 航行 多少 海 里 ． 离 小 岛Ｃ 近 ？ 距 最
罨 周 ２１ 第 ２ ；式 刊 ｏ 年 ４ Ｉ ２ 期
浅 析 初 中 数 学 中 的 数 结 口
黄 艳 曦
（ 州 市 惠 港 中学 ， 东 惠州 惠 广 ５６０ ） １０ ７
△
田
， 、 ．
想
我 国著 名 的数 学 家华 罗庚 曾说 ：数缺 形 时少 直观 ，形少 数 “ 时难人 微 。数 形 结合 百 般好 ， 裂分 家万 事 非 。 ” 隔 这句 话 说 明 了 “ ” “ ” 紧密 联 系的 。“ ” 形 ” 数 和 形 是 数 和“ 是数 学 的两根 柱 石 ， 谓 所 数 形 结合 就 是根 据 数 学 问题 的题 设 和结 论 之 间 的 内在 联 系 ， 既 分析其数量关系 ， 又揭 示 其 几 何 意义 ， 数 量 关 系 和 几 何 图形 使 巧妙 地 结 合 起 来 ．并 充 分 利 用 这 种 结 合 来 探 索 解 决 问题 的思 路 ． 而 使 问题 得 以解 决 的思想 方 法 。 于 “ 形结 合 ” 从 关 数 思想 在初 中数学 中的运 用 ， 总结 了几 点 自己的看法 与 大家 交流 。 我 数 形 结合 思想 在 初 中数 学 中 的 重 要 性 。 数 形结合思想是 中学数学 中的一种重要 的数学思想 ， 贯 穿 于 整 个 中学 数 学 始终 ， 包 含 “ 它 以形 助 数 ” “ 数 辅 形 ” 和 以 两 个 方 面 。 运 用 大致 可 以分 为 两 种情 形 ： 助 于形 的生 动 和 直 其 借 观性 来 阐 明数 之 间 的联 系 ， 比如 运 用 函数 的 图像 来 直 观地 说 明 函数 的性 质 ：借 助 于 数 的精 确 性 和规 范 严 密性 来 阐 明形 的 某 些 属 性 ． 运用 曲线 的方 程来 精 确 地 阐 明 曲 线 的 几 何 性 质 。 如 数 形 结 合 即 以数 作 为 手 段 ， 形作 为 目的 ， 这 种 思 想 来 解 决 数 用 学 问题 往 往 可 以使 复 杂 问 题 简单 化 、 象 问 题具 体 化 。 抽 数形 结 合 思想 既能 发 挥 代 数 的优 势 ， 可 以 充 分 利 用 图 形 的 直 观 性 ， 又 从 多个 角度 探 索 问题 ， 思 维 能 力 的 发 展 大 有裨 益 。 对 数 学 学 习离 不 开 思 维 ， 学 探 索 需 要 通 过 思 维 来 实 现 ， 数 在 初 中数 学 教 学 中逐 步 渗 透 数 学 思 想 方 法 ， 养 思 维 能 力 ， 成 培 养 良好 的数 学 思 维 习惯 ， 既符 合新 的课 程 标 准 ． 又是 进 行 数学 素 质 教育 的一 个 切 人 点 。 二、 学中渗透数形结合思想 。 教 形成 用数 形 结 合 分 析 问 题 的意识。 纵 观 近 年 来 的 中考 ． “ ” “ ” 一 体 的 试 题 屡 见 不 熔 数 和 形 于 鲜 。 目前 我 们使 用 的新 课 本 ， 再 把数 学 课 划 分 为 “ 不 代数 ”“ 、几 何 ” 而 是 综 合 为 一 门数 学课 ， 样 更 有 利 于 “ ” “ ” 结 ， 这 数 与 形 的 合 ． 此数 学 教 师 在 教学 中要 做 好 “ ” “ ” 系 的揭 示 与 转 因 数 与 形 关 化 ， 用 数 形 结合 的方 法 ， 助 学 生 类 比 、 掘 ， 析其 所具 有 运 帮 发 剖 的几 何 模 型 ， 对 于 帮助 学 生 深 化 思维 ， 这 拓展 知 识 ． 高 能 力 都 提 有 很 大 的 帮助 。 用数 形 结合 思 想 不仅 直 观 、 发现 解 题 途径 ， 运 易 而且 能 避 免 复 杂 的计 算 与 推理 ， 大简 化 了 解题 过 程 。所 以 要 大 注 意培 养 这 种 思想 意 识 ． 争 取 胸 中有 图 ． 要 见数 想 图 ． 以开 拓 自 己 的思 维 。 下 面通 过 几 个 例 题 的 分 析 给 予解 评 。 例 １数 形 结 合 与 函数 问 题 ： 题 目 ： 哪 种 灯省 钱 ？ 用 种 节 能 灯 的 功 率 为 １ 瓦 （ ．１ 瓦 ） 售 价 为６ 元 ： 种 Ｏ ０ 千 ０ ， ０ 一 白 炽 灯 的 功 率 为 ６ 瓦 。 价 为３ ． 种 灯 的照 明效 果 一 样 ， ０ 售 元 两 使 用 寿命 也 相 同 （０ ０ ￣ 以 上 ）如 果 电 费 价 格 为０５ （ 瓦 ・ ３０４ 时 ． ．元／千 时 ） 消 费者 选 用 哪 种 灯 可 以 节 省 费用 ？ ， 解 析 ： 题是 一 道 代 数 题 ， 们 可 以利 用 数形 结合 的 思 想 本 我 通 过建 立 函数 模 型 将 代 数 问题 转化 为几 何 问题 加 以证 明。 解 ： 照 明 时 间 为ｘｉ时 ， 设 ／ ｘ 则 用 节 能 灯 的总 费 用ｙ 为 ： ．０５ Ｏ １＋ ０ ００ ５ ＋ ０ ． ｙ＝ ． ． ｘ ６ ＝ ． ｘ ６ ｘ ０ ０
数形结合思想在初中数学教学中的应用探究
数学探究ShuXueTanJiu2019年5月May.2019教师・TEACHER数形结合思想在初中数学教学中的应用探究刘昕（福建省福州时代中学，福建福州350007）摘要：对初中生而言，“形”比“数”更加形象，容易被理解、接受。
从学生的兴趣以及认知出发，构建数形结合思想是有必要的。
在常见的数学问题中，融入数形结合思想，能够保证学生在系统认识“数”“形”联系的前提下，实现复杂问题简单化，理解与掌握问题的解决策略以及方法。
关键词：数形结合思想；初中数学；应用中图分类号：G633.6文献标识码：A收稿日期：2019-03-03文章编号：1674-120X（2019）14-0039-02-、初中数学教学中数形结合思想应用的必要性（一）有助F推动学科发展从数学发展情况来看，数形结合思想当中的“数”与“形”彼此影响，所以在数形结合教学法应用的过程中,需要将“数”与“形”进行有机联系，保证二者的深度融合，使学生可以全面掌握学科含义，从而深入了解数学问题，解答数学问题，从脑海中构建完备的数学知识结构。
（二）有助于提升教学质I*在初中数学教学活动中应用数形结合教学法，可以有效实现教学模式的改革创新，也是提升教学成果以及教学质量的有效方法。
教师向学生灌输教学方法的时候，利用数形结合的方法有助于实现复杂数学难题的转化，以帮助学生全面、快速而又准确地理解题目的意思。
（三）有助于启发学生思维数学学科与实际生活有着紧密的联系，很多生活案例都具备不同的数学图形。
比如，每天气温变化造成了温度计中水银柱的刻度变化、过马路的时候看到的路标、学生做广播体操的时候的站位等，都是由各种各样的图形所组成。
假如可以引导学生充分认识这些图形，在思考以及分析数学问题的过程中，合理地使用数形结合的方法，特别是在一元二次方程以及不等式、反比例函数中，可以有效地简化数学问题，启发学生的思维，便于学生更好地理解数学知识。
由此可见，只有在思想上充分地认识到数形结合思想，才可以更加深入地思考相关的数学问题，从而发挥数形结合思想的价值。
初中数学教学中数形结合思想的运用探究
课学研究2020年第6期前言在学习数学时，数与形的灌输是必不可少的。
遇到复杂多变的、抽象的数学问题时，巧妙地运用“数形结合思想”能够将问题简单化、形象化。
数形结合思想是将复杂、繁琐的数学问题用图形的方式表达出来。
比如：处理代数问题。
由于代数的问题、知识具有复杂的特点。
因此，想要更轻松地解决相关问题，学生就有必要学会“数形结合思想”。
同时，在处理图形问题时，由于图形具有任意性、普遍性等使问题变得无意义。
因此，为了图形具有一定的特殊性，学生就有必要学会“数形结合思想”。
一、数形结合思想的要点我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而解决数学问题。
因此，教师应该通过典型例题来锻炼学生的这种思想。
同时，在授课时，教师应该提醒学生以下三点：其一，理清限制约束条件。
约制条件往往影响着问题的结果，因此，在利用数形结合思想时，需得符合约制条件。
例如求集合的问题，在解答的过程中，学生能够想到运用数形结合思想进行解答，但是往往易忽视约制条件。
其二，掌握图像变换规律。
在解决图形问题时，常常需要记忆相关的口诀，比如：平移图形时，需要知道“左加右减”。
其三，熟悉函数性质。
在学习函数时，学生对函数的单调性、周期性等性质与大致图形需要熟练。
在记忆时，这要求学生结合两者一起熟练。
只有这样，解决问题时才能够保证正确率。
二、数形结合在初中数学教学中的策略在学习数学的过程中，数与形的学习是不可避免的。
而数形结合思想是将两者的完美统一。
在学习数形结合思想时，可以从两个角度来思考：一是，“以数解形”。
图形往往具有任意性，但在解决问题时却是具体的问题，因此，为了能够使得图形特殊化，常常赋予图形一定的代数，这更便于解决问题；二是，“以形解数”，数字是枯燥、冗长的，因此，为了更轻松、直观地看懂题目意思，需要对数字进行转换。
中学数学中形数结合问题初探
文ｆ ｛ ｉ 化 教 育
科
中学 数学 中形 数结合 问题 初探
耿 朝 霞
（ 州 市职 教 中心 ， 北 冀 州 ０ ３ ０ ） 冀 河 ５ ２０
摘 要： 形数结合是数学 中重要 的解题 方法， 有形象直观 ， 具 简捷明快等特 点， 应用比较广泛 。 关键词 ： 中学数 学； 形数结合 ； 初探 用“ 形帮数” 的方 法 ， 就变得简便多 了。 条件中的 并帮助学生掌握数形结合重要思想方法 ，同时 方法的迁移能力 。 数量关 系 ａ ｍ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ， ＋ ｂ ｎ ｅ ｐ ｋ 所表示形 的特征是 提高学生数学原理 ， 相等 的三条线段 ； 求证结论 中的两条线段积的 ２数形结合需要注意的问题 ２１转移不是分散。 ． 转移应该主动地 ， 迅速 形式 ａｌｂ 、ｍ可 以看成相应 的三角形 面积的 Ｉ ｐｃ 、 地从一种活动有 目的地转移到另 种活动中。 如： 特征 ， ａｓｎｔ 即 ｂｉｃ等等 ， 数形联想产生构造 出 从数量关系转移到图形特征 ，或从 图形特征转 移 到数量关系 ， 进行观察分析。 ２ ． ２注意的分配性 。 做题时 ， 注意题 中 既要 条件与结论特点 ，同时要注意二 者之 问关 系以 及数形 间的联系 ， 二者相 互转化 ， 相互配 合 ， 相 互协调 。 ２ － ３注意转 移的目标 与速度 。 一方 面， 是对 数 形之 间转 移对 象 的必要性 与重 要性认 识有 如 图 １等 边 Ａ Ｃ，则 由 Ｓ Ｄ＋ △ Ｓ ＜ 关 ；另一方面依 赖于学生对数形转化迁移熟练 ＡＢ △＾ Ｓ ＋ △ Ｆ 程度与经验积累。 Ｓ＾， △日 得 ｃ ｃ ４ ｃ ＋ ｂ ２ ｍ ｐ＜＋ ｋ ３ ａｎ ＋ ｂ ＝＋＝ ＋ｎ ｃ ｐ ｋ 总之 ， 数学 教学 中帮助学 生掌握 “ 在 数形 ４ ４ ４ ４ 求ｉ ａ＋ｐｅ ＜ ￣：ｎ ｂ ＋ ｍ ｋ 结合” 方法 ， 并引导学生掌握 注意的转移规 律 ， 分析 ： 如直接运用代数方 法来证明这个数 命 题得证 。这里运用形帮数的同构迁移达 到解 来保证实 现数形转 化迁移 的实际效果 ，从而提 责任 编辑 ： 程■ 量关系 ， 显然十分繁 杂 ， 对学生更难下 手 ， 如运 题思路与方法 的形象 、 直观 、 流畅、 简捷 的效果 ， 高学生的数学能力 。 形数结合是数学中重要的解题方法 ， 具有 形象直观 ， 简捷明快等特点 ， 应用 比较广泛。在 中学数学 中大量 的数式问题暗含着 形的信息 ， 将抽象复杂的数量关 系， 通过形的直观 ， 形象地 揭示 出来 ， 即所 谓“ 形帮数 ”反 之 ， ； 图形 的特征 也隐藏着数的因素 ， 运用数的规律与数值计算 ， 寻找处理形 的方法 ， 即所谓“ 数促形” 。 １数形结合应用 数形结 合是根 据数量关 系与 图形特 征之 间 的联 系和规律 ， 借助于坐标 法、 函数图象 、 方 程与曲线等关 系。 以及构造出特殊的三角形 、 四 边形等这些常用方法与手段 ， 解决一个 形的 把 问题转化迁移 到与之相应数的问题。 反之 ， 把数 的问题转化迁移 ， 运用图形性 质来解决 。 例： ： 已知 正数 ａｂ ｃｍ、 满 足条件 ａ ｍ 、 、、 Ｐ －＝
数形结合初探
数形结合初探吴柱君引言：加强数学思想方法的教学是当今中学数学教学改革的重要方向之一。
如何才能加强思想方法的教学呢？研究表明：要加强思想方法的教学就必须对数学思想方法有深刻的认识。
这就要求我们对思想方法进行探讨。
本文就数形结合思想作初步探讨。
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。
换而言之，数学包含“数”和“形”两部分。
数学发展史表明：“数”和“形“并不是相互独立的。
正如数学家华罗庚所说：”数缺形时少直观，形少数时难入微”。
“数”与“形”这种本质存在的必然联系促使了数形结合的诞生。
1、什么是数形结合所谓的数形结合是指：通过形理解数、利用形的直观加深数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解。
简言之，就是图形位置问题的坐标化，数量关系图形化。
数形结合是一种重要的解题策略。
数学中的许多问题，如方程、不等式的解的讨论，或者不等式的证明，仅局限于数的方面考虑，虽然能解决问题，但过程繁琐，甚至较为困难。
但若根据问题的条件与结论的内在联系，揭示数式的几何意义，即数形结合，问题就会迎刃而解。
数形结合也是一种基本的数学思想。
遗憾的是在中学数学教学中，一般只停留解题策略的认识上。
其实数形结合是贯穿于数学发展历史长河的一条主线。
我们知道数轴的引入建立了实数与数轴上的点之间的一一对应，实现了“形”中的点与“数”中的实数间的初步结合；平面直角坐标系的引入建立了平面上的点与有序实数对间的一一对应，为数形结合进一步创造了条件；17世纪，笛卡尔建立了解析几何，把几何研究转换成对应的代数研究，从而真正地实现了“数”与“形”的完美结合，开创了数学的新局面，使得数学在实践中的应用更为广泛。
从这个意义上讲，数形结合的而且确是一种基本的数学思想。
2、数形结合的运用。
数形结合，无论是作为一种解题策略，还是作为一种数学思想，在中学数学中都有着十分广泛的应用，概括起来，主要包括以下的两个方面。
2.1数形结合在教学中的运用数形结合贯穿于数学的发展，也渗透在中学数学的各个部分。
高中数学教学中学生数形结合思维的培养
高中数学教学中学生数形结合思维的培养高中数学教学中，数形结合是一种非常重要的教学方式。
利用数形结合的教学方法，可以激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学思维能力，提高学生的数学解决问题的能力。
本文将从数形结合的重要性、培养学生数形结合思维的方法以及数形结合教学对学生的益处等方面进行探讨。
一、数形结合的重要性数学是一门抽象的学科，数学问题往往需要通过抽象的符号和计算进行求解。
而数形结合的教学方法可以将抽象的数学知识与具体的几何形式进行结合，使得学生能够更直观地理解数学概念，进而更好地掌握数学知识。
数形结合不仅可以帮助学生理解数学知识，还可以帮助学生培养数学思维能力和解决问题的能力。
通过数形结合的教学，可以让学生在具体的空间中感受数学的魅力，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
二、培养学生数形结合思维的方法1. 引导学生学会观察数形结合思维的培养首先需要学生学会观察。
在数学教学中，教师可以通过引导学生观察一些数学问题的实际情况，让学生在观察中逐渐形成对数学事物的感性认识。
在学习坐标系时，可以通过引导学生观察图形在坐标系中的位置、属性以及与数学函数的关系，让学生从直观的观察中理解数学概念，从而培养学生的数形结合思维能力。
2. 练习数形转化数形结合思维的培养还需要学生掌握数和形之间的转化。
在数学教学中，教师可以通过一些练习题让学生将数学问题转化为几何图形的形式，或者将几何图形转化为数学公式的形式，从而训练学生的数形结合能力。
通过大量的练习，学生可以逐渐掌握数形结合的方法和技巧，从而提高数学解决问题的能力。
3. 鼓励学生思维延伸在数学教学中，教师还可以通过鼓励学生进行思维延伸的方式来培养学生的数形结合思维能力。
在学习三角函数的时候，教师可以鼓励学生思考三角函数的图形特征与数学公式的关系，从而引导学生将抽象的数学概念与具体的几何形式进行结合，培养学生的数形结合思维能力。
三、数形结合教学对学生的益处1. 激发学生的学习兴趣通过数形结合的教学方法，学生可以更直观地感受到数学的魅力，从而激发学生的学习兴趣。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中学数学中数形结合初探
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”可见“数”和“形”是紧密联系的“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
所谓数形结合其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合
起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形性质的问题来讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。
沟通数与形的内在联系，由数构形，以形促数，或由形思数，以数论形。
运用这种思想，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，避开繁琐的运算过程，这样简捷解题，提高解题速度。
通过几年的实践教学表明，数形结合在解题过程中有着不可估量的作用。
下面主要通过举例说明形与数结合在初等数学中的地位和作用。
一、数形结合巧求某些式子的值
例1设a，b，c为实数且a﹤b﹤-2，|b|﹤c﹤|a|，求
|a-b|-|a-c|+|b+1|+|c-2|的值。
分析：此题若直接由已知的数量来求值，比较困难，若借助于数轴的直观性来研究，问题则比较简便。
解：由题设知：a，b，c，-a-b在数轴上位置，如图（1）所示，图（1）则|a-b|=b-a|a-c|=c-a|b+1|=-b-1|c-2|=c-2，故原式=（b-a）－（ｃ－ａ）＋（－ｂ－１）＋ｃ－２＝３。
二、数形结合巧求某些参数的取值范围
例2设关于x的方程x2+（2m-1）x+m-6=0有一个根大于1，另一个根小于1，试求实数m的取值范围。
分析：若直接丛数入手，即先求出方程的两根，再研究其性质很复杂，若把它转化为形则很简便。
如图2。
解：设y=x2+（2m-1）x+m-6，因为a=1＞0，所以抛物线开口向上。
设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2且x1＜1＜x2，如图2所示，由图像的直观性可知，当x=1时y＜0，1+2m-1+m-6＜0，解得m＜2，即m的取值范围为小于2的实数。
三、数形结合巧证某些相等关系
例3 证明：1/sin12°=1/sin24°+1/sin48°+1/sin96°。
分析：这就是“数”的问题，但直接从“数”入手较困难，观察发现其角度有一个特点，后一个角恰好是前一个角的2倍，我们把它转化为“形”的问题来解决，则较为简单。
证明：作直角三角形abc，使∠c=90°，∠b=12°，ac=1，如图所示，分别作ab的中垂线交bc于d，连接ad。
作ad的中垂线，交bc于e点。
连接ae，作ae的中垂线，交bc的延长线于f点，
连接af，在直角三角形abc中，sin12°=1/ab，所以ab=1/sin12°，同理可得bd=ad=1/sin24°，de=ae=1/sin48°。
如图3可知，则∠bfa=84°。
∠baf=84°所以ef=af=1/sin84°=1/sin96°，所以
ab=bf=bd+de+ef，所以等式成立。
四、数形结合，巧证某些不等关系
例４设⊙o的直径ab的长为2的算术平方根，弦cd和ef平行，且均与ab成45°角，cd和ef分别交ab于p、q两点。
求证：pc·qe+pd·qf0，抛物线开口向上，与x轴两交点横坐标为2和3。
由图像直观性可知，x2-5x+6>0的解为x≥3或x≤2，
x2-5x+6≤0的解为2≤x≤3。
上例是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能开阔和发展学生的思维。
六、动态中的数形结合问题
例6 如图6所示，平行四边形abcd中，ab=4，点d的坐标是（0，8），以点c为顶点的抛物线y=ax2+ba+c经过x轴上的点a、b。
1.求点a、b、c的坐标；
2.若抛物线向上评议后恰好经过点d，求平移后的抛物线的表达式。
分析：本题是平行四边形和抛物线组合在一起的题目，可以借助于平行四边形的性质进行分析。
因为dc∥ab，ab=4，点d的坐标是（0，8）所以抛物线的顶点c的坐标为（4，8）抛物线的对称轴就是x=4，所以点a的坐标为（2，0），点b的坐标为（6，0），将函数表达式设为y=a（x-h）2+k，即可求出原来的函数表达式，也就可以求出抛物线与y轴的交点坐标，将抛物线向上平移经过点d，向上移动几个单位，顶点也就向上移动几个单位，就可以求出移动后的抛物线的顶点坐标，再借助a不变，就可以求出平移后的函数表达式。
解：（1）在平行四边形abcd中，dc∥ab，ab=4，点d的坐标是（0，8）所以抛物线的顶点c的坐标为（4，8）抛物线的对称轴就是x=4，所以点a的坐标为（2，0），点b的坐标为（6，0）。
（2）设原来的函数表达式为y=a（x-h）2+k，根据题意得h=4，k=8，所以原来的函数表达式为y=a（x-4）2+8，又因为抛物线经过点a（2，0），所以0=a（2-4）2+8，解得a=-2。
所以原来的函数表达式为y=-2（x-4）2+8。
当x=0时，y=-24，因为8-（-24）=32，所以抛物线向上平移32个单位长度时经过点d，所以抛物线的顶点也就相应的向上平移32个单位长度，所以平移后的抛物线的顶点坐标为（4，40）。
因为平移前后抛物线的形状没有变化，所以a=-2，所以平移后的函数表达式为y=-2（x-4）2+40。
从以上例题可以看出，合理、灵活、巧妙的运用数形结合的思想
来解题证题，常可避繁就简、化难为易，有事半功倍的效果，善于联想就成了解题的关键，这就要求必须具备扎实的数学基础知识、熟练的数学基本技能和严谨的数学思维能力。
这些都有赖于我们在日常的教学实践中坚持不懈地对学生培养和训练，才能逐步提高。