高中数学经典例题—与圆有关的最值问题

高中数学经典例题-与圆有关的最值问题
I ．题源探究·黄金母题
【例1】已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=，直线
()():211740,l m x m y m m +++--=为任意实数．
（1）求证：直线l 恒过定点；
（2）判断直线l 被圆截C 得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度． 【答案】（1）()3,1；（2）3
4
-
， 【解析】（1）直线l 的方程经过整理得
()()2740x y m x y +-++-=．由于m 的任意性，于是有
27,4.x y x y +-⎧⎨+-⎩解此方程组，得3,
1x y =⎧⎨
=⎩，即直线l 恒过定点()3,1D ．
（2）因为直线l 恒过圆C 内一点D ，所以当直线l 经过圆心
C 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l 垂直于C
D 时
被截得的弦长最短．由()()1,2,3,1C D ，可知直线CD 的斜率为1
2
CD k =-，故当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线
l 的斜率为2，于是有2121m m +-
=+，解得3
4
m =-，此时直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=。

又
CD
=精彩解读
【试题来源】人教A 版必修2P 144B 组T6．
【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．
线l 被圆C 截得的弦最短时m 的值为34
-，最短长度是45。

II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点
()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若
20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦
【解析】不妨设()00,P x y ，则22
0050x y +=，且易知
052,52x ⎡⎤∈-⎣⎦．
因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=
2
2000
0126x x y y ++-005012620x y =+-，故00250x y -+．
B (1,7)
A (-5,-5)
2x-y+5=0
O
y
x
52
所以点()00,P x y 在圆22
:50O x y +=上，且在直线
250x y -+=的左上方（含直线）．联立2250
250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩
，
得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知
052,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．
【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用．
【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题．
【难点中心】
1．直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d r >，则直线与圆相离； 若d r =，则直线与圆相切；
若d r <，则直线与圆相交． （2）代数法
故填52,1⎡⎤-⎣⎦．
【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
【答案】()2
2
12x y -+=
【解析】解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而
()
()2
2
21102r =
-+--=，故标准方程为
()
2
212x y -+=．
解法二（代数法——基本不等式）：
由题意22222111
2111
m m m m r d m m m ++==+--==+++ 211
m m
=+
+
212
12m
m
+
=，当且仅当1m =时，
取“=”．故标准方程为()2
2
12x y -+=．
解法三（代数法——∆判别式）：由题意211
m r d m --==
+22
21
1m m m ++=+，设22211
m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，m ∴∈R ，
2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点．
()()22
2410t ≥∴∆=---，解得02t ≤≤
，max
d ∴=
【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l 与圆
221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）()3,0；（2）
2
23953243
x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3
）3325,,447
7k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．
【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2
2
34x y -+=，所
以圆1C 的圆心坐标为()3,0；
（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即
1C M AB ⊥，所以1
1C M AB k k =-，即
13y y
x x
=--，所以线
段AB 的中点M 的轨迹的方程为
2
23953243
x y x ⎛⎫⎛⎫
-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （3）由（2）知点M
的轨迹是以3,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭为圆心，
32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭
，
525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C 相切时，由22
340
232
1k k ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
=+得3
4k =±． 又250255743
DE
DF
k
k ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭=-=-
=-，所以当
332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲
线C 只有一个交点．
III ．理论基础·解题原理
考点一 与截距有关的圆的最值问题
形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题
形如y b
x a
μ-=
-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． 考点三 与距离有关的圆的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：
（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -；
（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 考点四 与面积相关的最值问题
与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度． 【技能方法】
1．数形结合法
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如y b
x a
μ-=
-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2．建立函数关系求最值
根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．
2．利用基本不等式求解最值
如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a b ⋅或者a b +的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 与斜率有关的圆的最值问题
【例1】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()1
10,1x f x m
m m +=+>≠的图象恒过同一个定
点，且该定点始终落在圆()()2
2
1225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么
b
a
的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫
⎝⎛3443，
【答案】C
【解析】函数()1
1x f x m
+=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得
22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆()()2
2
1225x a y b -+++-=内部或圆上
可得()()2
2
112225a b --+++-≤即2225a b +≤()0,0a b >>．22
7
3425a b a b a b +==⎧⎧⇒⎨
⎨=+=⎩⎩或4
3
a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．b
a
表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫==
⎪-⎝⎭，max
404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故C 正确． 【例2】已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 （ ）
A ．43-
B ．54-
C ．35-
D ．53
- 【答案】A
【跟踪练习】
1．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则
2
2-+y x xy
的最小值为 （ ）
A ．222-
B ．222-
C ．222+
D ．222-- 【答案】A
2．在平面直角坐标系x y O 中，圆1C :()()221625x y ++-=，圆2C :()()22
21730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA =AB ，则半径r 的取值范围是_______． 【答案】[]5,55
【解析】由题，知圆1C 的圆心为(1,6)-，半径为5，圆2C 的圆心为(17,30)，半径为r ，两圆圆心距为
22(171)(306)30++-=，如图，可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值，所以当点P 位于点1P 所在位
置时r 取得最小值，当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =，||2||PA AB =，所以
min 5r =，max 55r =．
3．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()2
2
3425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直
线l 的方程是 ． 【答案】: 30x y +-=
【解析】：要使ACB ∠最小，由余弦定理可知，需弦长AB 最短．要使得弦长最短，借助结论可知当
()1,2M 为弦的中点时最短．因圆心和()1,2M 所在直线的42
131
k
-=
=-，则所求的直线斜率为1-，由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=．
【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．
4．若圆C ：034222=+-++y x y x 关于直线062=++by ax 对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________． 【答案】4
【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．
考向2 与截距有关的圆的最值问题
【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____．
【答案】或者
【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案．【跟踪练习】
1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．
【答案】2
点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或
者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论．
2．【2018安徽六安模拟】若直线2x y m =-
+与曲线2142
y x =-恰有三个公共点，则实数m 的取值范
围是 （ ） A ．2) B ．(2121) C ．(121) D ．21)
思路分析：直线2x y m =-
+与曲线21
|4|2
y x =-m 的取值范围，可以转化为直 线2x y m =-
+的图象与曲线21
|4|2
y x =-的图象有三个交点时实数m 的取值范围，作出两个函数 的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线21
|4|2
y x =
- 画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．
3
．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线
320x y -+=均与圆C 相切．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)设点()0,1P ，若直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）()2
224x y -+=；（2）1515
222,
(,22222
⎛⎫---+--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭）．
试题解析：
（1）设圆C 的标准方程为：故由题意得，解得，
∴圆C 的标准方程为：．
（2）由()
2
2
{
24
y x m
x y =+-+=消去y 整理得．
∵直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，∴，解得，
设，则．∴
依题意得()()()()121212121111PM PN x x y y x x x m x m ⋅=+--=++-+-
()()()212122110x x m x x m =+-++->，∴()()()2
21210m m m m +--+->，整理得210m m +->，
解得或．又，∴15
222m ----<<
或15
2222
m -+<<-+．故实数m 的取值范围是．
点睛：（1）对于BAC ∠为锐角的问题（或点A 在以BC 为直径的圆外，或2
2
2
AB AC BC >＋），都可转化为0AB AC ⋅>，然后坐标化，转化为代数运算处理．
（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．
考向3 与距离有关的圆的最值问题
【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知()2
21125x y -+=，22240x y -+=，则
()()
22
1212x x y y -+-的最小值为（ ）
A ．
5．15 C ．1215
D 115【答案】B
【跟踪练习】
1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C ：
（a<0）的圆心在直线 上，且圆C 上的点到直线
的距离的最大值为
，则
的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】圆的方程为
，圆心为
①
，
圆C 上的点到直线的距离的最大值为②
由①②得，a <0，故得 ， =3．
点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用． 2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知()2,0A ，直线4310x y ++=被圆
()()22
:313(3)C x y m m ++-=<所截得的弦长为43P 为圆C 上任意一点，则PA 的最大值为（ ）
A ．2913
B ．513+．7132913 【答案】D
【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： 2
2
311(23=135m ⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭
），解得： 2m =或163m = (舍去)，当2m =时， PA 的最大值2913PC r +=+，故选D ．
3．【2017辽宁辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．6 C ．52 D ．42
【答案】C
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
4．【2017安徽宣城二模】已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上， ()2,0A ， ()0,2B ，直线
PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则2AN BM +的最小值为__________．
【答案】8
【解析】设点()2cos ,2sin P θθ，则直线PA 的方程： ()sin 2cos 1y x θθ=
--，则2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫
- ⎪-⎝
⎭
同理2cos ,0sin 1N θθ⎛⎫
-
⎪-⎝⎭
，则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++
--的最小值为8． 5．【2107吉林省延边州模拟】点N 是圆()2
251x y ++=上的动点，以点()3,0A 为直角顶点的R t ABC ∆另外两顶,B C 在圆2225x y +=上，且BC 的中点为M ，则MN 的最大值为__________．
【答案】
1541
+ 【解析】
6．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率
31l ： 1x y
a b
+=被椭圆C 5 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线1l 与圆D ： 22640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；
（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求
EF MN ⋅的取值范围．
【答案】（I ）2214
x y +=；（II ）（i ）()()22
325x y -+-=；（ii ）(]0,8．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ，可得到225a b +=
，再结合
c a =，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）利用圆的几何性质，求出圆心到直线1l 的距离等于半径，即可求出m 的值，即可求出圆D 的标准方程；（ii ）首先设直线2l 的方程为()3y k x =-，利用韦达定理即可求出弦长EF 的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长MN 的表达式，即可得到EF MN ⋅的表达式，再用换元法
29141,5t k ⎡⎫
=+∈⎪⎢⎣⎭
，即可求出EF MN ⋅的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）由已知得直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ， 225a b +=，
又2c a =， 222a b c =+，解得24a =， 2
1b =，故所求椭圆C 的标准方程为
2214
x y +=． （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得直线1l 的方程为
12
x
y +=，即220x y +-=，又圆D 的标准方程为()()2
2
3213x y m -+-=-，∴圆心为()3,2
，圆的半径r =
=
∴圆D 的标准方程为()()2
2
325x y -+-=．
（ii ）由题可得直线2l 的斜率存在，设2l ： ()3y k x =-，与椭圆C 的两个交点为()11,E x y 、()22,F x y ，
由()2
23,{1,
4y k x x y =++=消去y 得()
222214243640k x k x k +-+-=，由0∆>，得2105
k ≤<
， 21222414k x x k +=+， 2122
364
14k x x k
-=+， ∴
EF ==
又圆D 的圆心()3,2到直线2l ： kx -
∴圆D 截直线2l 所得弦长22
2
2
51
221
k MN r d k +=-=+， ∴()()()
()
2
224
2
2
2
22
11551
1254
281
1414k k k k EF MN k k k +-+-⋅=⨯=+++，
设2
9141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭， 214t k -=，则2
22
11251148295025t EF MN t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅==-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∵295025y x x =-+-的对称轴为259x =
，在5,19⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， 016y <≤， ∴2
1109502516t t ⎛⎫⎛⎫
<-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴08EF MN <⋅≤．
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 考向4 与面积相关的最值问题
【例5】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线
240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为_______________．
【答案】45
π
【例6】动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积的最小值_________________．
【答案】4π
【解析】设圆心为(,)a b ，半径为r ，|||1|r CF a ==+，即222(1)(1)a b a -+=+，即2
14
a b =
，∴圆心为21(,)4b b ，2114r b =+，圆心到直线221y x =++的距离为2
2|221|
4142b b b d -++=
≤+，∴2(223)b ≤-+或2b ≥，当2b =时，min 1
4124
r =
⨯+=，∴2min 4S r ππ==． 【跟踪练习】
1．设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为_____________． 【答案】3
【解析】l 与圆相交所得弦的长为2，故弦心距
2222
213d m n =
=-=+，所以
22123m n mn +=
≥，16mn ∴≤，l 与x 轴相交于点A 1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与y 轴相交于点B 1,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1111111632222
AOB S OA OB m n mn ∆∴=
==≥⨯=． 2．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：01222
2=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，
点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．
30【解析】3)1()1(01222
222=++-⇒=-+-+y x y x y x ，圆心M 到直线1:=-y x l 距离为
21
2|111|=-+，BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时，四边形ABCD 面积取最大值，为30322
1
322121=⨯-⨯=⨯⨯BD AC ．
3．【2017河南安阳二模】已知圆：
，动点在圆：上，则
面积的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和222
2:(3)(4)(04)F x y r r -+=-<<，
把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．
（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM ∆面积S 的最大值．
【答案】（1）
2214
x y += ；（2）证明见解析，定点坐标为3(0,)5N -；（3）64
25． 【解析】
试题分析：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=> ，根据椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出(0,1)M ，设1122(,),()A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时设直线方程为y kx m =+ 与椭圆方程联立，由韦达定理计算1212(1)(1)0MA MB x x kx m kx m ⋅=++-+-=得3
5
m -=
，所以直线恒过定点3
(0,)5
N -，验证当直线AB 斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即ABM △面积212132254
225MNA MNB k S S S MN x x ∆∆+=+=⋅-=，令254t k =+，换元，由基本不等式即可求出面积的最大值．
试题解析： （1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为
椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2
214
x y +=． （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5
N -
当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：
22
14
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
①
②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k
-+=+③，2122
44
14m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，
221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：
22
2
22
448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k
--++-+-=++，（有公因式m －1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，3
5
m -=
或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5
N -．
证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，
解方程组22
1
4
1x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得点83(,)55A --，同理得点83(,)55
B -，
此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5
N -
下边证明点3(0,)5
N -满足条件0MA MB ⋅=
当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；
当AB 的斜率存在时，设直线AB ：3
5
y kx =-
，联立方程组： 2
21435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩①②
，把②代入①得：22
2464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=
+③，122
64
25(14)
x x k -⋅=+④， 所以121212128
8(1)(1)()()55
MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--
21212864(1)()525
k k x x x x =+-
++
2226482464
(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ （3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝
1212MN x x -
由第（2
）小题的③④代入，整理得：2
322514S k
=+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈
，可设2t ，2
3249t S t =
+32(2)94t t t
=≥+
9254
2t t +≥，∴6425S ≤（0k =时取到最大值）．所以ABM △面积S 的最大值为6425
．
考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式． 考向5 与圆有关的最值问题综合题
【例7】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： （1）y
x 的最大值和最小值；
（2）y －x 的最大值和最小值； （3）x 2＋y 2的最大值和最小值．
【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝
y －b x －a
形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最
值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【例8】设Q P ,分别为()262
2
=-+y x 和椭圆110
22
=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是________________．
【答案】26
【例9】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5
【跟踪练习】
1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆()2
21:24C x a y ++=和圆()2
22:1C x y b +-=只有一条公切线，若
,a b R ∈且0ab ≠，则
22
11
a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆和两点
，
，
，
若圆上存在点，使得
，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】设
为圆上一点，由题意知，
，即
，
，
，，，
所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以，故选D ．
3．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线
2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）
A ．(]0,3
B ．[]1,3
C ．[]2,3
D ．[]1,2 【答案】B
4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆C ： (()2
2
3
11x y +-=和两点()0A t -，，
()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·
0PA PB =，则t 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1 【答案】D
【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：
min min 11t t =+⇒=，
即t 的最小值为1．本题选择D 选项．
点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
5．【2017天津河西区二模】若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则
11
a b
+的最小值为（ ）
A ．
32+ C ．14 D ．3
2
+【答案】A
【解析】由题意得()()2
2
124x y ++-= ，所以直线20ax by -+=过圆心，即220,22a b a b --+=+= ，
因此
111121213332222
a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ，选A ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()2
2:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________．
【答案】
2
π 【解析】
当动点与圆心连线与y=x 垂直时，两条射线夹角的最大，如图，易得夹角的最大值为
2π．答案： 2
π 7．若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________．
【答案】[1,1]-
过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==
2
||12
OM ≤， 解得||2OM ≤M （0x ，1），所以20||12OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是
[1,1]-．
8．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆
2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则
2
211
a b
+的最小值为 ． 【答案】1
9．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系
中，圆：
．若圆
存在以
为中点的弦
，且
，则实数
的取值范围是
__________．
【答案】(或)
【解析】由于原C 存在以G 位中点的弦AB ，且AB=2GO ，故 ， 如图所示，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需
，即
，连结CB ，由
可得： ， ．
10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】
在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．
【答案】。