江苏省无锡市江阴市 九年级(上)月考数学试卷(10月份)

九年级（上）月考数学试卷（10月份）
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. x2+1x=1
B. ax2+bx+c=0
C. (x+1)(x+2)=1
D. 3x2−2xy−5y=0
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sin A等
于（ ）
A. 35
B. 45
C. 34
D. 43
3.关于x的一元二次方程3x2=2x-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3，−2，−1
B. 3，2，−1
C. −3，−2，1
D. 3，−2，1
4.下列说法错误的是（ ）
A. 长度相等的两条弧是等弧
B. 直径是圆中最长的弦
C. 面积相等的两个圆是等圆
D. 半径相等的两个半圆是等弧
5.在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5cm，则它的实际长度约为（ ）
A. 0.2km
B. 2km
C. 20km
D. 200km
6.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和
9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A. 3cm
B. 4cm
C. 4.5cm
D. 5cm
7.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上
的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A. 100sin35∘米
B. 100sin55∘米
C. 100tan35∘米
D. 100tan55∘米
8.用总长10m的铝合金型材做一个如图所示的窗框（不计损耗），
窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为
3.52m2（材料的厚度忽略不计）．若设小正方形的边长为xm，下
列方程符合题意的是（ ）
A. 2x(10−7x)=3.52
B. 2x⋅10−7x2=3.52
C. 2x(x+10−7x2)=3.52
D. 2x2+2x(10−9x)=3.52
9.如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点
的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说
法，其中正确说法的个数是（ ）
（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；
（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；
（3）DG=AG；
（4）DE＞DG，
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10.如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分
别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN
上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于
点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动．设点
B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A. −14≤b≤1
B. −54≤b≤1
C. −94≤b≤12
D. −94≤b≤1
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11.若sinα=12，α是锐角，则α=______度．
12.关于x的方程（a-1）x|a|+1-3x+2=0是一元二次方程，则a=______．
13.若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2018的值为______．
14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金
分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的
长度为10cm，那么PB的长度为______cm．
15.如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交
半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器
上对应读数分别为45°，70°，160°，∠B的度数为
______．
16.如图，⊙A过点O（0，0），C（3，0），D（0，1），
点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD
的度数是______．
17.如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=53cm．能够将△ABC完
全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．
B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）
19.请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
x2+6x+5=x2+2•x•3+32-32+5=（x+3）2-4，
∵（x+3）2≥0
∴当x=-3时，x2+6x+5有最小值-4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（Ⅰ）x2+4x-1=x2+2•x•2+22-22-1=（x+a）2+b，则ab的值是______；
（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+26x+7的值都是正数；
（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．
四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
20.解方程：
（1）x2-6x-1=0；
（2）x（x-3）=10（x-3）
21.计算：
（1）2sin30°+3cos60°-4tan45°
（2）（-2）2-（2-3）0+2cos45°
22.已知：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，DE
与AB不平行．添加一个条件______，使得△CDE∽△CAB，然
后再加以证明．
23.已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于x的方程x2-mx+m2−14=0的两个实
数根．
（1）当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
24.在5×5的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点
三角形．
（1）请你在图1的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与一个格点三角形ABC相似（相似比不为1）．
（2）请你在图2的方格纸中，画一个格点三角形A2B2C2，使△A2B2C2与一个格点三角形ABC相似，面积最大，并求最大值是多少．
（3）与△ABC的相似比不是1的格点三角形共有几个（相似比相同时只算1个）？
25.如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD．
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
26.为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高
科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
27.自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是
某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，
cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）
（1）求∠ACB的大小（精确到1°）
（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）
28.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE=1．
（1）当m=3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．
（2）如图②，当m=3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、x2+=1是分式方程，故此选项错误；
B、ax2+bx+c=0（a≠0），故此选项错误；
C、（x+1）（x+2）=1是一元二次方程，故此选项正确；
D、3x2-2xy-5y=0是二元二次方程，故此选项错误．
故选：C．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】A
【解析】
解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC===6，
∴sinA===，
故选：A．
先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
3.【答案】D
【解析】
解：一元二次方程3x2=2x-1变为一般形式为：一元二次方程3x2-2x+1=0，
二次项系数是3、一次项系数是-2、常数项1，
故选：D．
要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，首先把方程化为一般式，然后再找出答案．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系
数，一次项系数，常数项．
4.【答案】A
【解析】
解：A、长度相等的弧的度数不一定相等，故错误；
B、直径是圆中最长的弦，正确；
C、面积相等的两个圆是等圆，正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，正确，
故选：A．
本题考查了圆的认识的知识，了解圆的有关定义是解答本题的关键，难度不大．
5.【答案】B
【解析】
解：设这条道路的实际长度为x，则：=，
解得x=200000cm=2km．
∴这条道路的实际长度为2km．
故选：B．
根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注
意单位的转换．
6.【答案】C
【解析】
解：设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：=，
解得：x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，
故选：C．
根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
7.【答案】C
【解析】
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
根据正切函数可求小河宽PA的长度．
考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
8.【答案】B
【解析】
解：设小正方形的边长为xm，则小矩形的宽为2xm，长为：m，
依题意得：．
故选：B．
设该窗框的宽为xm，则长：m，利用窗框的面积为3.52m2列出方程求
解即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是表示出矩形的宽，难度不大．
9.【答案】D
解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴AG=DG，
∴=；
∴HG⊥AD，
∵OG=OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；
∵∠DAB=90°，
∴DE是⊙的直径，
∴DE＞DG，
∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．
故选：D．
连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则=；接着利用OG=OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心，根据圆
周角定理得到DE是圆的直径，于是可判断DE＞DG．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，矩形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连
接CN．
在△PAB与△NCA中，
，
∴△PAB∽△NCA，
∴=，
设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，
∴=，
∴y=3x-x2=-（x-）2+，
∵-1＜0，≤x≤3，
∴x=时，y有最大值，此时b=1-=-，
x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是-≤b≤1．
延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出
=，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到y=3x-x2=-
（x-）2+，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求
出b的取值范围．
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
11.【答案】30
【解析】
解：∵sinα=，α是锐角，
∴α=30°．
根据特殊角的三角函数值解答．
熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
12.【答案】-1
【解析】
解：由题意可知：，
解得a=-1．
故答案为：-1．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
13.【答案】2021
【解析】
解：由题意可知：2m2-3m-1=0，
∴2m2-3m=1
∴原式=3（2m2-3m）+2018=2021．
故答案为：2021．
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】（15-55）
【解析】
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP=AB=×10=5-5，
∴PB=AB-PA=10-（5-5）=（15-5）cm．
故答案为（15-5）．
先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB
的黄金分割点有两个．
15.【答案】20°
【解析】
解：连结OD，
如图，则∠DOC=70°-45°=25°，∠AOD=160°-70°=90°，
∵OD=OA，
∴∠ADO=45°，
∵∠ADO=∠B+∠DOB，
∴∠B=45°-25°=20°．
故答案为：20°．
连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则
∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以
∠B=45°-25°=20°
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
16.【答案】30°
【解析】
解：连接DC，
在Rt△DOC中，tan∠OCD==，
则∠OCD=30°，
由圆周角定理得，∠OBD=∠OCD=30°，
故答案为：30°．
连接DC，根据正切的定义求出∠OCD，根据圆周角定
理解答．
本题考查的是圆周角定理，坐标与图形性质，正切的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】
解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是
△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，
∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
连接OB，OC，
∴BD=，∠OBD=30°，
∴OB=，得OB=5，
∴2OB=10，
即△ABC外接圆的直径是10cm，
故答案为：10．
根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．
本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的
辅助线，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】322或355
【解析】
解：如图，
由翻折的性质，得
AB=AB′，BE=B′E．
①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得
B′E=．
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
x2=，
BE=B′E==．
②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得
B′E=，
△B′EN∽△AB′M，
=，即=，
解得x2=，BE=B′E==，
故答案为：或．
根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．
本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．
19.【答案】-10
【解析】
解：（Ⅰ）∵x2+4x-1=x2+2•x•2+22-22-1=（x+2）2-5=（x+a）2+b，
∴a=2，b=-5，
∴ab=2×（-5）=-10．
故答案是：-10；
（Ⅱ）证明：x2+2x+7=x2+2x+（）2-（）2+7=（x+）2+1．
∵（x+）2≥0，
∴x2+2x+7的最小值是1，
∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；
（Ⅲ）2x2+kx+7=（x）+2•x•+（k）2-（k）2+7=（x+k）2-
k2+7．
∵（x+k）2≥0，
∴（x+k）2-k2+7的最小值是-k2+7，
∴-k2+7=2，
解得k=±2．
（Ⅰ）根据配方的过程求得a、b的值代入求值即可；
（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
20.【答案】解：（1）x2-6x=1，
x2-6+9=10，
（x-3）2=10，
x-3=±10，
所以x1=3+10，x2=3-10；
（2）x（x-3）-10（x-3）=0，
（x-3）（x-10）=0，
x-3=0或x-10=0，
所以x1=3，x2=10．
【解析】
（1）利用配方法得到（x-3）2=10，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形得到x（x-3）-10（x-3）=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
21.【答案】解：（1）2sin30°+3cos60°-4tan45°
=2×12+3×12-4×1
=-32；
（2）（-2）2-（2-3）0+2cos45°
=4-1+2×22
=3+2．
【解析】
（1）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22.【答案】∠CDE=∠A
【解析】
解：添加条件为：∠CDE=∠A，
理由：∵∠C=∠C，
∠CDE=∠A，
∴△CDE∽△CAB．
故答案为：∠CDE=∠A．
由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
23.【答案】解：
（1）当矩形ABCD为正方形时，可知AB=BC，
∴关于x的方程x2-mx+m2−14=0有两个相等实数根，
∴△=0，即（-m）2-4（m2−14）=0，解得m1=m2=1，
此时方程为x2-x+14=0，解得x1=x2=12，
即正方形的边长为12；
（2）当AB=2时，即x=2是方程的根，
∴22-2m+m2−14=0，解得m=52，
此时方程为x2-52x+1=0，解得x=2或x=12，
∴BC=12，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2×（2+12）=5．
【解析】
（1）由正方形的四边相等可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值，进一步求得方程的根即可求得正方形的边长；
（2）由条件可知x=2是方程的根，代入方程则可求得m的值，进一步可求得方程的根，则可求得该方程的另一个根，即可求得矩形的另一边长，则可求得周长．
本题主要考查一元二次方程根的判别式及矩形、正方形的性质，利用根的判别式或根的定义求得m的值是解题的关键．
24.【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
最大格点三角形三边分别为：10，25，52；
根据相似比为：110，
∴三角形面积比为：110，
∴最大值为：12×1×1×10=5．
（3）根据三角形最大边长以及最小边长即可得出答案：4个．
【解析】
（1）使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相
等，可知要画一个135°的钝角，因为要在5×5的方格纸中，所以钝角的两边扩大，又要在格点上，所以要扩大为2和2，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．顺次连接即可．
（2）根据三角形的边长最长为5，进而求出其他两边即可；
（3）根据相似三角形的性质得出，不同三角形即可．
此题主要考查了相似三角形的画法以及相似三角形的判定与性质，根据的主要是相似三角形的性质，注意此题已知条件，不要漏解．
25.【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴AD=BC，
∴AD-BD=BC-BD，即AB=CD，
∴AB=CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF=FD，BG=CG．
∵AD=BC，
∴AF=CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
AF=CGOA=OC，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF．
设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，
解得x =3．
则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．
【解析】
（1）欲证明AB=CD，只需证得=；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．
本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．
26.【答案】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
40k+b=60045k+b=550，解得：k=−10b=1000，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，
根据题意得：（x-30）（-10x+1000）=10000，
整理，得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
【解析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x-30）万元，销售数量为（-10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27.【答案】解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l
∴AD∥CF∥HE，
∵AD=33cm，CF=33cm，
∴AD=CF，
∴四边形
ADFC是
平行四边
形，
∵∠ADF=9
0°，
∴四边形
ADFC是
矩形，
∴HE=AD=33cm，
∵BE=90cm，
∴BH=57cm，
在Rt△HCB中，sin∠BCH=BHBC=5760=1920=0.95，
∴∠ACB=72°．
（2）如图所示，B'E'=96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，
∴△B'H'C∽△BHC，得B′H′BH=B′CBC．
即96.8−3357=B′C60，
∴B'C=67cm．
故BB'=B'C-BC=67-60=7（cm）．
∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．
【解析】
（1）根据上题证得的结论分别求得BH和BC的长，利用正弦函数的定义求得有关角的度数即可；
（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．
本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．
28.【答案】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，
要使△AEF∽△BFC，需AEBF=AFBC，即14−AF=AF3，
解得AF=1或3；
当∠AEF=∠BCF时，
要使△AEF∽△BCF，需AEBC=AFBF，即13=AF4−AF，
解得AF=1；
综上所述AF=1或3．
（2）延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；
连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．
（3）当1＜m＜4且m≠3时，有3个；
当m=3时，有2个；
当m=4时，有2个；
当m＞4时，有1个．
【解析】
（1）分两种情形，分别构建方程即可解决问题；
（2）利用对称性或辅助圆解决问题即可；
（3）根据交点个数分类讨论即可解决问题；
本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。